《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講2圓錐曲線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講2圓錐曲線的參數(shù)方程【教學(xué)參考】（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二圓錐曲線的參數(shù)方程 課標解讀 1.了解雙曲線、拋物線的參數(shù)方程． 2．理解橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用． 3．能夠利用圓錐曲線的參數(shù)方程解決最值、有關(guān)點的軌跡問題. 1．橢圓的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) 2.雙曲線的參數(shù)方程 普通方程 參數(shù)方程 －＝1(a>0，b>0) (φ為參數(shù)) 3.拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線y2＝2px的參數(shù)方程是(t∈R，t為參數(shù))． (2)參數(shù)t表示拋物

2、線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)． 1．橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)φ是OM的旋轉(zhuǎn)角嗎？ 【提示】　橢圓的參數(shù)方程(φ為參數(shù))中的參數(shù)φ不是動點M(x，y)的旋轉(zhuǎn)角，它是點M所對應(yīng)的圓的半徑OA(或OB)的旋轉(zhuǎn)角，稱為離心角，不是OM的旋轉(zhuǎn)角． 2．雙曲線的參數(shù)方程中，參數(shù)φ的三角函數(shù)sec φ的意義是什么？ 【提示】　sec φ＝，其中φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠π. 3．類比y2＝2px(p>0)，你能得到x2＝2py(p>0)的參數(shù)方程嗎？ 【提示】　(p>0，t為參數(shù)，t∈R) 橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用 　將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程，并判斷方程表示

3、曲線的焦點坐標． 【思路探究】　根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，消去參數(shù)，化為普通方程，進而研究曲線形狀和幾何性質(zhì)． 【自主解答】　由得 兩式平方相加，得＋＝1. ∴a＝5，b＝3，c＝4. 因此方程表示焦點在x軸上的橢圓，焦點坐標為F1(4,0)和F2(－4,0)． 　橢圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù)，a，b為常數(shù)，且a>b>0)中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長，焦點在長軸上． 　若本例的參數(shù)方程為，(θ為參數(shù))，則如何求橢圓的普通方程和焦點坐標？ 【解】　將，化為 兩式平方相加，得＋＝1. 其中a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲線表示焦點在y軸上的橢圓

4、，焦點坐標為F1(0，－4)與F2(0,4)． 　已知曲線C1：，(t為參數(shù))，曲線C2：＋＝1. (1)化C1為普通方程，C2為參數(shù)方程；并說明它們分別表示什么曲線？ (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：x－2y－7＝0距離的最小值． 【思路探究】　(1)參數(shù)方程與普通方程互化；(2)由中點坐標公式，用參數(shù)θ表示出點M的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式得到關(guān)于θ的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值． 【自主解答】　(1)由 得 ∴曲線C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1， C1表示圓心是(－4,3)，半徑是1的圓． 曲線C2：＋＝1表示中心是坐

5、標原點，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù)) (2)依題設(shè)，當(dāng)t＝時，P(－4,4)； 且Q(8cos θ，3sin θ)， 故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)． 又C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13| ＝|5cos(θ＋φ)－13|， 從而當(dāng)cos θ＝，sin θ＝－時，(其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定)cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值. 1．從第(2)問可以看出橢圓的參數(shù)方程在解題中的優(yōu)越性． 2．第(2)問設(shè)計十分新穎，題目的要求就是求動點M的軌跡上的點到

6、直線C3距離的最小值，這個最小值歸結(jié)為求關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)的最小值． 　(2013開封質(zhì)檢)已知點P是橢圓＋y2＝1上任意一點，求點P到直線l：x＋2y＝0的距離的最大值． 【解】　因為P為橢圓＋y2＝1上任意一點， 故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直線l：x＋2y＝0. 因此點P到直線l的距離 d＝＝. 所以，當(dāng)sin(θ＋)＝1，即θ＝時，d取得最大值. 雙曲線參數(shù)方程的應(yīng)用 　求證：雙曲線－＝1(a>0，b>0)上任意一點到兩漸近線的距離的乘積是一個定值． 【思路探究】　設(shè)出雙曲線上任一點的坐標，可利用雙曲線的參數(shù)方程簡化運算．

7、 【自主解答】　由雙曲線－＝1，得 兩條漸近線的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0， 設(shè)雙曲線上任一點的坐標為(asec φ，btan φ)， 它到兩漸近線的距離分別是d1和d2， 則d1d2＝ ＝＝(定值)． 　在研究有關(guān)圓錐曲線的最值和定值問題時，使用曲線的參數(shù)方程非常簡捷方便，其中點到直線的距離公式對參數(shù)形式的點的坐標仍適用，另外本題要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的應(yīng)用． 　如圖2－2－1，設(shè)P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，證明：|PF1||PF2|＝|OP|2. 圖2－2－1 【證明】　設(shè)P(sec φ，t

8、an φ)， ∵F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴|PF1|＝ ＝， |PF2|＝ ＝， |PF1||PF2|＝ ＝2sec2φ－1. ∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1， ∴|PF1||PF2|＝|OP|2. 拋物線的參數(shù)方程 　設(shè)拋物線y2＝2px的準線為l，焦點為F，頂點為O，P為拋物線上任一點，PQ⊥l于Q，求QF與OP的交點M的軌跡方程． 【思路探究】　解答本題只要解兩條直線方程組成的方程組得到交點的參數(shù)方程，然后化為普通方程即可． 【自主解答】　設(shè)P點的坐標為(2pt2,2pt)(t為參數(shù))， 當(dāng)t≠0時，直線OP的方程為y＝x，

9、 QF的方程為y＝－2t(x－)， 它們的交點M(x，y)由方程組 確定， 兩式相乘，消去t，得y2＝－2x(x－)， ∴點M的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0(x≠0)． 當(dāng)t＝0時，M(0,0)滿足題意，且適合方程2x2－px＋y2＝0. 故所求的軌跡方程為2x2－px＋y2＝0. 1．拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，參數(shù)t為任意實數(shù)，它表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)． 2．用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程．

10、 　(2012天津高考)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，其中p>0，焦點為F，準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線，垂足為E，若|EF|＝|MF|，點M的橫坐標是3，則p＝________. 【解析】　根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E(－，)，F(xiàn)(，0)，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(負值舍去)． 【答案】　2 (教材第34頁習(xí)題2.2，第5題) 已知橢圓＋＝1上任意一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1，B2的連線分別與x軸交于P、Q兩點，O為橢圓的中心．求證：|OP||OQ|為定值． 　(2012徐州模

11、擬)如圖2－2－2，已知橢圓＋y2＝1上任一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1、B2的連線分別交x軸于P、Q兩點． 圖2－2－2 求證：|OP||OQ|為定值． 【命題意圖】　本題主要考查橢圓的參數(shù)方程的簡單應(yīng)用，考查學(xué)生推理與數(shù)學(xué)計算能力． 【證明】　設(shè)M(2cos φ，sin φ)(φ為參數(shù))， B1(0，－1)，B2(0,1)． 則MB1的方程：y＋1＝x， 令y＝0，則x＝， 即|OP|＝||. MB2的方程：y－1＝x， ∴|OQ|＝||. ∴|OP||OQ|＝||||＝4. 因此|OP||OQ|＝4(定值). 1．參數(shù)方程，(θ為參數(shù))化為普通方程為

12、(　　) A．x2＋＝1　　　　　B．x2＋＝1 C．y2＋＝1 D．y2＋＝1 【解析】　易知cos θ＝x，sin θ＝， ∴x2＋＝1，故選A. 【答案】　A 2．方程(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線的一部分 【解析】　由xcos θ＝a，∴cos θ＝， 代入y＝bcos θ，得xy＝ab， 又由y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]， ∴曲線應(yīng)為雙曲線的一部分． 【答案】　D 3．(2013陜西高考)圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標是________． 【解析】　將參數(shù)方程化為普通方程為y2＝

13、4x，表示開口向右，焦點在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點坐標為(1,0)． 【答案】　(1,0) 4．(2012湖南高考)在直角坐標系xOy中，已知曲線C1：(t為參數(shù))與曲線C2：(θ為參數(shù)，a>0)有一個公共點在x軸上，則a＝________. 【解析】　將曲線C1與C2的方程化為普通方程求解． ∵消去參數(shù)t得2x＋y－3＝0. 又消去參數(shù)θ得＋＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝，將(，0)代入＋＝1，得＝1.又a>0，∴a＝. 【答案】　 (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．曲線C：，(φ為參數(shù))的離心率

14、為(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. 【解析】　由題設(shè)，得＋＝1， ∴a2＝9，b2＝5，c2＝4， 因此e＝＝. 【答案】　A 2．參數(shù)方程，(α為參數(shù))的普通方程是(　　) A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1 C．y2－x2＝1(1≤y≤) D．y2－x2＝1(|x|≤) 【解析】　因為x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1. 又因為y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1)， 所以y2－x2＝1. ∵－1≤sin α≤1，y＝， ∴1≤y≤. ∴普通方程為y2－x2＝1，y∈[1，]． 【答案】　C 3．點P(1,0)到曲線(

15、參數(shù)t∈R)上的點的最短距離為(　　) A．0 B．1 C. D．2 【解析】　d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2， 由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1. 【答案】　B 4．已知曲線，(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)上的一點P，原點為O，直線PO的傾斜角為，則P點的坐標是(　　) A．(3,4) B．(，2) C．(－3，－4) D．(，) 【解析】　由題意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝，又0≤θ≤π，則sin θ＝，cos θ＝， ∴x＝3cos θ＝3＝， y＝4sin θ＝4＝， 因此點P的坐標為(，)． 【答

16、案】　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知橢圓的參數(shù)方程(t為參數(shù))，點M在橢圓上，對應(yīng)參數(shù)t＝，點O為原點，則直線OM的斜率為________． 【解析】　由 得點M的坐標為(1,2)． 直線OM的斜率k＝＝2. 【答案】　2 6．(2013江西高考)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為________． 【解析】　化為普通方程為y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，所以化為極坐標方程為ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0. 【答案】　ρcos2θ

17、－sin θ＝0 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．(2013平頂山質(zhì)檢)如圖2－2－3所示，連接原點O和拋物線y＝x2上的動點M，延長OM到點P，使|OM|＝|MP|，求P點的軌跡方程，并說明是什么曲線？ 圖2－2－3 【解】　拋物線標準方程為x2＝2y，其參數(shù)方程為得M(2t,2t2)． 設(shè)P(x，y)，則M是OP中點． ∴ ∴(t為參數(shù))， 消去t得y＝x2，是以y軸對稱軸，焦點為(0,1)的拋物線． 8．(2012龍巖模擬)已知直線l的極坐標方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，橢圓

18、C的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，求直線l和橢圓C相交所成弦的弦長． 【解】　由題意知直線和橢圓方程可化為： x＋y－1＝0，① ＋y2＝1，② ①②聯(lián)立，消去y得：5x2－8x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點， 則A、B兩點直角坐標分別為(0,1)，(，－)， 則|AB|＝＝. 故所求的弦長為. 9．(2013漯河調(diào)研)在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (1)已知在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標為(4，)，判斷點P與直線l的位置關(guān)

19、系； (2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值． 【解】　(1)把極坐標系下的點P(4，)化為直角坐標，得點(0,4)．因為點P的直角坐標(0,4)滿足直線l的方程x－y＋4＝0，所以點P在直線l上． (2)因為點Q在曲線C上，故可設(shè)點Q的坐標為(cos α，sin α)，從而點Q到直線l的距離為 d＝ ＝ ＝cos(α＋)＋2，由此得，當(dāng)cos(α＋)＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 教師備選 10．設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e＝，已知點P(0，)到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標．

20、 【解】　設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，其中，a>b>0,0≤θ<2π. 由e2＝＝＝1－()2可得＝＝即a＝2b. 設(shè)橢圓上的點(x，y)到點P的距離為d， 則d2＝x2＋(y－)2＝a2cos2θ＋(bsin θ－)2 ＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋ ＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋ ＝－3b2(sin θ＋)2＋4b2＋3， 如果>1即b<，即當(dāng)sin θ＝－1時，d2有最大值，由題設(shè)得()2＝(b＋)2，由此得b＝－>，與b<矛盾． 因此必有≤1成立， 于是當(dāng)sin θ＝－時，d2有最大值， 由題設(shè)得()2＝4b2＋3， 由此可得b＝1，a＝2. 所求橢圓的參數(shù)方程是 由sin θ＝－，cos θ＝可得，橢圓上的點(－，－)，點(，－)到點P的距離都是. 最新精品資料