《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講1參數(shù)方程和普通方程的互化第2課時【教學(xué)參考】》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版人教A版數(shù)學(xué)選修44：第2講1參數(shù)方程和普通方程的互化第2課時【教學(xué)參考】（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 第2課時　參數(shù)方程和普通方程的互化 課標(biāo)解讀 1.了解參數(shù)方程化為普通方程的意義． 2．理解參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化與應(yīng)用． 3．掌握參數(shù)方程化為普通方程的方法. 　參數(shù)方程與普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式．一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程． (2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x

2、，y的取值范圍保持一致． 　普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．普通方程化為參數(shù)方程，關(guān)鍵在于適當(dāng)選擇參數(shù)，如果選擇的參數(shù)不同，那么所得的參數(shù)方程的形式也不同. 參數(shù)方程化為普通方程 　在方程(a，b為正常數(shù))中， (1)當(dāng)t為參數(shù)，θ為常數(shù)時，方程表示何種曲線？ (2)當(dāng)t為常數(shù)，θ為參數(shù)時，方程表示何種曲線？ 【思路探究】　(1)運用加減消元法，消t；(2)當(dāng)t＝0時，方程表示一個點，當(dāng)t為非零常數(shù)時，利用平方關(guān)系消參數(shù)θ，化成普通方程，進(jìn)而判定曲線形狀． 【自主解答】　方程(a，b是正常數(shù))， (1)①sin θ－②cos

3、θ得 xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0. ∵cos θ、sin θ不同時為零， ∴方程表示一條直線． (2)(ⅰ)當(dāng)t為非零常數(shù)時， 原方程組為 ③2＋④2得＋＝1， 即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一個圓． (ⅱ)當(dāng)t＝0時，表示點(a，b)． 1．消去參數(shù)的常用方法 將參數(shù)方程化為普通方程，關(guān)鍵是消去參數(shù)，如果參數(shù)方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加減消元法．如果參數(shù)方程是分式方程，在運用代入消元或加減消元之前要做必要的變形．另外，熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－

4、e－x)2＝4，()2＋()2＝1等． 2．把參數(shù)方程化為普通方程時，要注意哪一個量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響．本題啟示我們，形式相同的方程，由于選擇參數(shù)的不同，可表示不同的曲線． 　將下列參數(shù)方程分別化為普通方程，并判斷方程所表示曲線的形狀： (1)(θ為參數(shù)，0≤θ≤π)； (2)(θ為參數(shù))； (3)(a，b為大于零的常數(shù)，t為參數(shù))． 【解】　(1)將兩式平方相加，得x2＋y2＝4. ∵0≤θ≤π，∴－2≤x≤2,0≤y≤2. 所以方程的曲線表示圓心為(0,0)，半徑為2的圓的上半部分． (2)由得 即 ∴x－y＝0. ∵

5、0≤sin22θ≤1， ∴≤1－sin22θ≤1. 所以方程x－y＝0(≤x≤1)表示一條線段． (3)∵x＝(t＋)， ∴t>0時，x∈[a，＋∞)，t<0時，x∈(－∞，－a]． 由x＝(t＋)， 兩邊平方可得x2＝(t2＋2＋)① 由y＝(t－)兩邊平方可得 y2＝(t2－2＋)② ①－②并化簡，得－＝1(a，b為大于0的常數(shù))，這就是所求的曲線方程，它表示的曲線是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線． 普通方程化為參數(shù)方程 　曲線的普通方程為＋＝1，寫出它的參數(shù)方程． 【思路探究】　聯(lián)想sin2θ＋cos2θ＝1可得參數(shù)方程． 【自主解答】　設(shè)＝cos θ

6、，＝sin θ， 則(θ為參數(shù))，即為所求的參數(shù)方程． 1．將圓的普通方程化為參數(shù)方程 (1)圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))； (2)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 2．普通方程化為參數(shù)方程關(guān)鍵是引入?yún)?shù)(例如x＝f(t)，再計算y＝g(t))，并且要保證等價性．若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過x＝f(t)，y＝g(t)，調(diào)整t的取值范圍，使得在普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程的過程中，x，y的取值范圍保持一致． 　設(shè)y＝tx(t為參數(shù))，則圓x2＋y2－4y＝0的參數(shù)方程是________． 【解析】　把y＝tx代入x2＋

7、y2－4y＝0得x＝，y＝， ∴參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 【答案】　(t為參數(shù)) 利用參數(shù)思想解題 　已知x、y滿足x2＋(y－1)2＝1，求： (1)3x＋4y的最大值和最小值； (2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值． 【思路探究】　設(shè)圓的參數(shù)方程，將問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題來解決． 【自主解答】　由圓的普通方程x2＋(y－1)2＝1得圓的參數(shù)方程為(θ∈[0,2π))． (1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4 ＝4＋5sin(θ＋φ)， 其中tan φ＝，且φ的終邊過點(4,3)． ∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5， ∴

8、－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9， ∴3x＋4y的最大值為9，最小值為－1. (2)(x－3)2＋(y＋3)2 ＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2 ＝26＋8sin θ－6cos θ ＝26＋10sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝－， 且φ的終邊過點(4，－3)． ∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10， ∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36 所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值為36，最小值為16. 1．參數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，在參數(shù)方程中，參數(shù)(參變量)起著媒介作用，它是聯(lián)系曲線上任意一點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的橋梁．通過參數(shù)θ，間接建立曲

9、線上任意一點的坐標(biāo)間的聯(lián)系，拓寬了解題思路，簡化了思維過程．它是研究解析幾何問題的重要工具． 2．運用參數(shù)思想解題的關(guān)鍵在于參數(shù)的選擇．選擇參數(shù)時，應(yīng)注意所選擇的參數(shù)易于與兩個坐標(biāo)產(chǎn)生聯(lián)系．由于三角函數(shù)的巨大作用，常選擇角為參數(shù)，若軌跡與運動有關(guān)，常選擇時間為參數(shù)． 3．(1)解決與圓有關(guān)的最大值和最小值問題，常常設(shè)圓的參數(shù)方程，然后轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最大值和最小值問題． (2)注意運用三角恒等式求最值： asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)． 其中tan φ＝(a≠0)，且φ的終邊過點(a，b)． 　若本例條件不變，如何求的取值范圍？ 【解】　由于(θ∈[0,2π)

10、)， ∴k＝＝. ∴sin θ－kcos θ＝k－3 即sin(θ＋φ)＝k－3.(φ由tan φ＝－k確定) ∴sin(θ＋φ)＝. 依題意，得||≤1， ∴()2≤1，解得k≥. 所以的取值范圍是[，＋∞)． (教材第26頁習(xí)題2.1第4題) 把參數(shù)方程(φ為參數(shù))化為普通方程，并說明它表示什么曲線． 　(2013廣東高考)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為________． 【命題意圖】　本題考查了極坐標(biāo)方程、普通方程和參數(shù)方程的互化．利用普通方程過渡，三種方程的互化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想

11、的應(yīng)用，同時也考查函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，這個過程用計算串聯(lián)起來，考查考生的運算求解能力． 【解析】　ρ＝2cos θ化為普通方程為＝，即(x－1)2＋y2＝1，則其參數(shù)方程為(α為參數(shù))，即(α為參數(shù))． 【答案】　(α為參數(shù)) 1．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為(　　) A．y＝x－2　　　　　　B．y＝x＋2 C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 【解析】　消去sin2θ，得x＝2＋y， 又0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3. 【答案】　C 2．把方程xy＝1化為以t為參數(shù)的參數(shù)方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】　D

12、3．圓x2＋(y＋1)2＝2的參數(shù)方程為(　　) A.(θ為參數(shù)) B.(θ為參數(shù)) C.(θ為參數(shù)) D.(θ為參數(shù)) 【解析】　由x＝cos θ，y＋1＝sin θ知參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))．故選D. 【答案】　D 4．(2013鄭州模擬)在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的極坐標(biāo)方程為________． 【解析】　消去α得圓的方程為x2＋(y－2)2＝4. 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，整理得ρ＝4sin θ. 【答案】　ρ＝4sin θ

13、 (時間40分鐘，滿分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．曲線(θ為參數(shù))的方程等價于(　　) A．x＝　　　　　B．y＝ C．y＝ D．x2＋y2＝1 【解析】　由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故選A. 【答案】　A 2．參數(shù)方程(0≤t≤5)表示的曲線是(　　) A．線段 B．雙曲線的一支 C．圓弧 D．射線 【解析】　消去t，得x－3y－5＝0. ∵0≤t≤5， ∴－1≤y≤24. 【答案】　A 3．能化為普通方程x2＋y－1＝0的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由x2＋

14、y－1＝0，知x∈R，y≤1. 排除A、C、D，只有B符合． 【答案】　B 4．若x，y滿足x2＋y2＝1，則x＋y的最大值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由于圓x2＋y2＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，則x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)， 故x＋y的最大值為2.故選B. 【答案】　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．曲線(θ為參數(shù))上的點到原點的最大距離為________． 【解析】　設(shè)M(x，y)是曲線上任意一點， ∴|OM|＝ ＝ ＝(φ由tan φ＝－確定) 當(dāng)sin(θ＋φ)＝1時，|OM|取最大值6.

15、【答案】　6 6．(2013重慶高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|＝________. 【解析】　由ρcos θ＝4，知x＝4. 又∴x3＝y(tǒng)2(x≥0)． 由得或 ∴|AB|＝＝16. 【答案】　16 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t>0)．求曲線C的普通方程． 【解】　由x＝－兩邊平方得x2＝t＋－2， 又y＝3(t＋)，則t＋＝(y≥6)． 代入x2＝t＋－2，得x2＝－2. ∴3x2－y＋6＝0

16、(y≥6)． 故曲線C的普通方程為3x2－y＋6＝0(y≥6)． 8．已知P(x，y)是圓x2＋y2－2y＝0上的動點． (1)求2x＋y的取值范圍； (2)若x＋y＋c≥0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍． 【解】　方程x2＋y2－2y＝0變形為x2＋(y－1)2＝1. 其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (1)2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由sin φ＝，cos φ＝確定)． ∴1－≤2x＋y≤1＋. (2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos θ＋sin θ＋1)對一切θ∈R恒成立． ∵－(cos θ＋sin θ＋1)的最大值是－1. ∴

17、當(dāng)且僅當(dāng)c≥－1時，x＋y＋c≥0恒成立． 9．(2012福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l上兩點M，N的極坐標(biāo)分別為(2,0)，(，)，圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． ①設(shè)P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程； ②判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 【解】　①由題意知，M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0)，(0，)．又P為線段MN的中點，從而點P的平面直角坐標(biāo)為(1，)，故直線OP的平面直角坐標(biāo)方程為y＝x. ②因為直線l上兩點M，N的平面直角坐標(biāo)分別為(2,0)，(0，)， 所以直線l的平面直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. 又圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－)，半徑為r＝2， 圓心到直線l的距離d＝＝