考點24 拋物線 1.（20xx福建高考理科Ｔ２）以拋物線的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為（ ） 【命題立意】本題考查學生對拋物線焦點的識記以及圓方程的求解. 【思路點撥】的焦點為，求解圓方程時，確定了圓心與半徑即可. 【規(guī)范解答】選D.拋物線的焦點為，又圓過原點，所以r， 圓的方程為. 【一題多解】方法一：（設(shè)圓的標準方程）拋物線的焦點為，圓心為.設(shè)圓的方程為，又圓過原點，，，所求圓的方程為，即為. 方法二：（設(shè)圓的一般方程）設(shè)圓的方程為，拋物線的焦點為，圓心為，又圓過原點，∴，所求圓的方程為 . 2.（2010陜西高考理科Ｔ8）已知拋物線y2=2px（p＞0）的準線與圓x2+y2－6 x－7=0相切，則p的值為（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D) 4 【命題立意】本題考查拋物線、圓等的基本概念與性質(zhì)，屬送分題. 【思路點撥】y2=2px 準線 圓心到準線的距離等于半徑 求出p的值 【規(guī)范解答】選C.由y2=2px，得準線.圓x2+y2－6 x－7=0可化為.由圓心到準線的距離等于半徑得： 3.（20xx遼寧高考理科Ｔ7）設(shè)拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（ ） (A) (B)8 (C) (D) 16 【命題立意】本題考查拋物線的定義，考查拋物線的準線方程，考查兩點間的距離公式. 【思路點撥】 A點坐標 P點坐標 求|PA| |PF|＝|PA| 【規(guī)范解答】選B.由拋物線方程，可得準線l方程為：.設(shè)點A坐標為（-2,n）,.∴P點縱坐標為4. 由，∴P點坐標為（6，4），∴|PF|＝|PA|＝|6－（－2）|＝8，故選B. 4.（20xx山東高考文科Ｔ9）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于，兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為（　?。? （A） (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的分析問題、解決問題能力和運算求解能力. 【思路點撥】利用點差法先求出的值，再求拋物線的準線方程. 【規(guī)范解答】選B.設(shè)，，則因為，兩點在拋物線上，得 ①， ②，① - ②得 .又線段的中點的縱坐標為2，即，直線的斜率為1，故,因此拋物線的準線方程為 【方法技巧】弦中點問題 1.對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件是 2.在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率. 3.在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率. 4.在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率. 5.（20xx湖南高考理科Ｔ5） 設(shè)拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是（ ） (A)4 　 　 (B)6 　　 (C)8 　　 (D)12 【命題立意】本題考查拋物線的定義. 【規(guī)范解答】選B.∵點P到y(tǒng)軸的距離是4，延長使得和準線相交于點Q，則PQ等于點P到焦點的距離，從而PQ=6，故選B. 6.（20xx安徽高考文科Ｔ12）拋物線的焦點坐標是 . 【命題立意】本題主要考查拋物線方程及其焦點，考查考生對拋物線方程理解認知水平. 【思路點撥】方程為標準形式 確定焦距P 確定焦點坐標 . 【規(guī)范解答】拋物線，，焦點. 【答案】 7.（20xx浙江高考理科Ｔ13）設(shè)拋物線的焦點為，點.若線段的中點在拋物線上，則到該拋物線準線的距離為_____________. 【命題立意】本題考查拋物線的相關(guān)知識. 【思路點撥】先求出拋物線的焦點F，計算出點B的坐標，代入到拋物線方程，解出，從而可求出拋物線的方程，點B的坐標及準線方程. 【規(guī)范解答】拋物線的焦點坐標為F，F(xiàn)A中點在拋物線上，，，，拋物線的準線方程為，點B到該拋物線準線的距離為. 【答案】 8．（20xx湖南高考理科Ｔ4）過拋物線的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點，在軸上的正射影分別為．若梯形的面積為，則 ． 【命題立意】以拋物線為載體，考查直線和圓錐曲線的關(guān)系，本題還考查了學生的運算能力. 【思路點撥】直線和圓錐曲線→聯(lián)立得一元二次方程→根與系數(shù)的關(guān)系 【規(guī)范解答】設(shè)直線方程為y=x+，結(jié)合得到x2-2px-p2=0， 而梯形的面積==，∴p=2. 【答案】2 【方法技巧】關(guān)于直線和圓錐曲線的問題，常有三條思路：一是利用定義；二是點差法；三是利用根與系數(shù)的關(guān)系. 9.（20xx福建高考文科Ｔ１9）已知拋物線C：過點A （1 , -2）. （1）求拋物線C 的方程，并求其準線方程. （2）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由. 【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準線方程；第二步依題意假設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】（1）將代入，得，， 故所求的拋物線方程為，其準線方程為. （2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得.因為直線與拋物線C有公共點，所以22-41（-2t）=，解得.另一方面，由直線OA與直線的距離等于可得.由于所以符合題意的直線存在，其方程為. 【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式的限制.因為拋物與直線有交點，注意應(yīng)用0進行驗證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍. 10.（20xx浙江高考文科Ｔ22）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p>0）的焦點F在直線上. （1）若m=2，求拋物線C的方程. （2）設(shè)直線與拋物線C交于A,B，△A,△的重心分別為G,H. 求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外. 【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力. 【思路點撥】（1）寫出拋物線的焦點坐標代入到直線方程中可出求.（2）把點在圓外轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離大于半徑. 【規(guī)范解答】(1)因為焦點F(,0)在直線l上，得. 又m=2,故.所以拋物線C的方程為. （2）設(shè)A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y2－2m3y－m4＝0. 由于m≠0，故＝(-2m3)2-41(-m4)＝4m6＋4m4＞0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4. 設(shè)M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點，由于 可知G（），H（）， 所以 所以GH的中點M為 設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，則4. 設(shè)拋物線的準線與x軸交點N，則 ＞. 故N在以線段GH為直徑的圓外. 【方法技巧】（1）設(shè)而不求思想在解決圓錐曲線問題時較常用，一般設(shè)出后，通過聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到（或），再整體代入. （2）點與圓的位置關(guān)系問題，一是看點到圓心的距離；二是代入到圓的方程中驗證.