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1、 考點(diǎn)24 拋物線 1.（20xx福建高考理科Ｔ２）以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（ ） 【命題立意】本題考查學(xué)生對(duì)拋物線焦點(diǎn)的識(shí)記以及圓方程的求解. 【思路點(diǎn)撥】的焦點(diǎn)為，求解圓方程時(shí)，確定了圓心與半徑即可. 【規(guī)范解答】選D.拋物線的焦點(diǎn)為，又圓過原點(diǎn)，所以r， 圓的方程為. 【一題多解】方法一：（設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）拋物線的焦點(diǎn)為，圓心為.設(shè)圓的方程為，又圓過原點(diǎn)，，，所求圓的方程為，即為. 方法二：（設(shè)圓的一般方程）設(shè)圓的方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，圓心為，又圓過原點(diǎn)，∴，所求圓的方程為 . 2.（2010陜西高考理科Ｔ8）已知拋物線y2=2

2、px（p＞0）的準(zhǔn)線與圓x2+y2－6 x－7=0相切，則p的值為（ ） (A) (B) 1 (C) 2 (D) 4 【命題立意】本題考查拋物線、圓等的基本概念與性質(zhì)，屬送分題. 【思路點(diǎn)撥】y2=2px 準(zhǔn)線 圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑 求出p的值 【規(guī)范解答】選C.由y2=2px，得準(zhǔn)線.圓x2+y2－6 x－7=0可化為.由圓心到準(zhǔn)線的距離等于半徑得： 3.（20xx遼寧高考理科Ｔ7）設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|=（ ） (A

3、) (B)8 (C) (D) 16 【命題立意】本題考查拋物線的定義，考查拋物線的準(zhǔn)線方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式. 【思路點(diǎn)撥】 A點(diǎn)坐標(biāo) P點(diǎn)坐標(biāo) 求|PA| |PF|＝|PA| 【規(guī)范解答】選B.由拋物線方程，可得準(zhǔn)線l方程為：.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2,n）,.∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4. 由，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），∴|PF|＝|PA|＝|6－（－2）|＝8，故選B. 4.（20xx山東高考文科Ｔ9）已知拋物線，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（　?。? （A）

4、 (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了考生的分析問題、解決問題能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】利用點(diǎn)差法先求出的值，再求拋物線的準(zhǔn)線方程. 【規(guī)范解答】選B.設(shè)，，則因?yàn)?，兩點(diǎn)在拋物線上，得 ①， ②，① - ②得 .又線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，即，直線的斜率為1，故,因此拋物線的準(zhǔn)線方程為 【方法技巧】弦中點(diǎn)問題 1.對(duì)于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件是 2.在

5、橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. 3.在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. 4.在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率. 5.（20xx湖南高考理科Ｔ5） 設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是（ ） (A)4 　 　 (B)6 　　 (C)8 　　 (D)12 【命題立意】本題考查拋物線的定義. 【規(guī)范解答】選B.∵點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，延長使得和準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q，則PQ等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，從而PQ=6，故選B. 6.（20xx安徽高考文科Ｔ12）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 . 【命題

6、立意】本題主要考查拋物線方程及其焦點(diǎn)，考查考生對(duì)拋物線方程理解認(rèn)知水平. 【思路點(diǎn)撥】方程為標(biāo)準(zhǔn)形式 確定焦距P 確定焦點(diǎn)坐標(biāo) . 【規(guī)范解答】拋物線，，焦點(diǎn). 【答案】 7.（20xx浙江高考理科Ｔ13）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在拋物線上，則到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_____________. 【命題立意】本題考查拋物線的相關(guān)知識(shí). 【思路點(diǎn)撥】先求出拋物線的焦點(diǎn)F，計(jì)算出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入到拋物線方程，解出，從而可求出拋物線的方程，點(diǎn)B的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程. 【規(guī)范解答】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，F(xiàn)A中點(diǎn)在拋物線上，，，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為. 【

7、答案】 8．（20xx湖南高考理科Ｔ4）過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，在軸上的正射影分別為．若梯形的面積為，則 ． 【命題立意】以拋物線為載體，考查直線和圓錐曲線的關(guān)系，本題還考查了學(xué)生的運(yùn)算能力. 【思路點(diǎn)撥】直線和圓錐曲線→聯(lián)立得一元二次方程→根與系數(shù)的關(guān)系 【規(guī)范解答】設(shè)直線方程為y=x+，結(jié)合得到x2-2px-p2=0， 而梯形的面積==，∴p=2. 【答案】2 【方法技巧】關(guān)于直線和圓錐曲線的問題，常有三條思路：一是利用定義；二是點(diǎn)差法；三是利用根與系數(shù)的關(guān)系. 9.（20xx福建高考文科Ｔ１9）已知拋物線C：過點(diǎn)A （1 , -2）.

8、 （1）求拋物線C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程. （2）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由. 【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；第二步依題意假設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于列出方程，求解出t的值，注意判別式對(duì)參數(shù)t的限制. 【規(guī)范解答】（1）將代入，得，， 故

9、所求的拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為. （2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得.因?yàn)橹本€與拋物線C有公共點(diǎn)，所以22-41（-2t）=，解得.另一方面，由直線OA與直線的距離等于可得.由于所以符合題意的直線存在，其方程為. 【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時(shí)，我們一定要注意判別式的限制.因?yàn)閽佄锱c直線有交點(diǎn)，注意應(yīng)用0進(jìn)行驗(yàn)證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍. 10.（20xx浙江高考文科Ｔ22）已知m是非零實(shí)數(shù)，拋物線（p>0）的焦點(diǎn)F在直線上. （1）若m=2，求拋物線C的方程. （2）設(shè)直線與拋物線C交于A,B，△A,△的重心分別為G,H. 求

10、證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外. 【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)代入到直線方程中可出求.（2）把點(diǎn)在圓外轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離大于半徑. 【規(guī)范解答】(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)F(,0)在直線l上，得. 又m=2,故.所以拋物線C的方程為. （2）設(shè)A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y2－2m3y－m4＝0. 由于m≠0，故＝(-2m3)2-41(-m4)＝4m6＋4m4＞0，且有y1＋y2＝2m3，y1y2＝－m4. 設(shè)M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點(diǎn)，由于 可知G（），H（）， 所以 所以GH的中點(diǎn)M為 設(shè)R是以線段GH為直徑的圓的半徑，則4. 設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)N，則 ＞. 故N在以線段GH為直徑的圓外. 【方法技巧】（1）設(shè)而不求思想在解決圓錐曲線問題時(shí)較常用，一般設(shè)出后，通過聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到（或），再整體代入. （2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題，一是看點(diǎn)到圓心的距離；二是代入到圓的方程中驗(yàn)證.