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1、河南省盧氏一中2012屆高考數(shù)學(xué)二輪《算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明》
專題訓(xùn)練
、選擇題
i
1. (2011 ?濟(jì)南模擬)i為虛數(shù)單位,復(fù)平面內(nèi)表不復(fù)數(shù) z = 2^—的點(diǎn)在( )
A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限
D.第四象限
解析:
因?yàn)閦= 2+T=
—i(2 — i)
(2+i)(2 -i)
—1 — 2i
""5
1 2
5—5i,所以其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
用心愛(ài)心專心 -5 -
1 2
( - 5, 一5),在第二象限.
答案:C
1 —3i
2. (2011 ?天津圖考)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) -
2、--=( )
1 — i
B. 2+i
D. — 1 + 2i
A. 2-i
C. — 1 — 2i
解析:
1-3i
1— i
(1 -3i)(1 +i) 4—2i
(1 — i)(1 + i) = 2
2-i ,故選A.
答案:A
3. (2011 ?江西高考)觀察下列各式:72=49,7 3= 343,7 4 = 2 401 ,…,則72 011的末兩位數(shù) 字為()
A. 01 B. 43
C. 07 D. 49
解析:75= 16 807,7 6=117 649,7 7=823 543,7 8= 5 764 801 ,…
???7n(nCZ,且n>
3、5)的末兩位數(shù)字呈周期性變化,且最小正周期為 4,記7n(nC Z,且n
>5)的末兩位數(shù)為f(n),則f(2 011) =f(502 X4+3) =f(3) ,72 011與73的末兩位數(shù)相同, 均為43.
答案:B
4. (2011 ?天津高考)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入 x的值為一4,則
輸出y的值為( )
A. 0.5 B. 1
C. 2 D. 4
解析:由框圖可知: x=- 4, |x| >3, x= | — 4 —3| =7; x=7, | x| >3, x=|7 — 3| =4;
x=4, | x| >3, x= |4 - 3| =K3, y=21
4、=2.
答案:C
5.
P等于(
(2011 ?廣州模擬)如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入 n=6, m= 4,那么輸出的
「開始〕
A.
720
B. 360
C.
240
D. 120
解析:程序運(yùn)行如下: n=6, m= 4, k= 1, p=1, p=p(n—m+ k)
= 6-4+ 1 = 3, k
5、r^ k) =60x (6 -4 + 4) =360, k=mi 所以輸出
P, p =
360,故選B.
nr
答案:B
6. (2011 ?濰坊質(zhì)檢)在平面幾何中有如下結(jié)論:若正三角
形ABC勺內(nèi)切圓面積為 S,外接圓面積為S2,則|1 =;推廣到空
* & j> T
班
仲
/ wihpj
結(jié)束
S2 4
V,外接球體積為
V1 2 * * * 6,則V2=( )
間幾何可以得到類似結(jié)論:若正四面體 A— BCM內(nèi)切球體積為
1
A.2
開始
址
3 2- 26 — ——
解析:因?yàn)?+2 +2 +2 +2 +2 ―^=62,結(jié)合
6、題中所給的框圖可知, M= 4.
1 — 2
答案:4
形
中
8. 現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:如圖,同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊 都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方
2
重疊部分的面積恒為 4.類比到空間,有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為 a的正方體,其
一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為
解析:
的正方體,
應(yīng)該是一個(gè)常數(shù),因此考慮極端情況,即兩正方體重疊部分恰好構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為
3
這個(gè)小正方體的體積為a
8
答案:
9. (2011 ?陜西高考)觀察下列等式
2+3+4=9
3+4 + 5+6+7=25
4+5+6+7+8+
7、9+ 10=49
照此規(guī)律,第5個(gè)等式為.
解析:每行最左側(cè)數(shù)分別為 1、2、3、…,所以第n行最左側(cè)的數(shù)應(yīng)為 n;每行數(shù)的個(gè)數(shù) 分別為1、3、5、…,所以第n行的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n-1.所以第5行數(shù)依次是5、6、7、…、13, 其和為 5+6+7+ …+ 13=81.
答案:5+6+7+ …+ 13=81
三、解答題
10. (2011 ?上海高考)已知復(fù)數(shù)Z1滿足(Z1—2)(1 +i) =1—i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)Z2的 虛部為2,且Z1 ? Z2是實(shí)數(shù),求Z2.
解:???(Z1 —2)(1 +i) =1—i ,
? ? Z1 = 2 — i.
設(shè) Z2 = a+2i, a
8、e R, zi Z2=(2—i)( a+2i) = (2 a+2) + (4 — a)i.
■--zi - z2c R, /. a= 4,
Z2 = 4+ 2i.
11.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S, ai=1 + 42, S= 9+ 3
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和3;
(2)設(shè)bn=Sn( nC N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.
a1 = ij2 + 1,
解:(1)由已知得管 、
3a1 + 3d=9+3也,
,d=2,故 an = 2n—1 + *^2, S = n(n+^^2).
S
(2)由(1)得 bn=-=n+
9、^/2.
假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp, bq, br(p, q,「互不相等)成等比數(shù)列,則 K = bpb.
即(q+<2)2=(p+^2)( r + 皿.
???(q2-pr) +(2q-p-rh/2=0.
. p, q, r 6 N*,
q2-pr = 0, -
gq-p- r = 0.
p+ r 2 2
??(-2-) =p「,(p—r) =0. ? ? p=r.
與pw r矛盾.
,數(shù)歹U {bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.
*
12.數(shù)列{an}滿足 S= 2n— an( n € N).
(1)計(jì)算a1, a2, a3, a4,
10、并由此猜想通項(xiàng)公式 an;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.
解:(1)當(dāng) n= 1 時(shí),a1 = Si = 2 — a1, ? . a1 = 1.
3
當(dāng) n = 2 時(shí),a1 + a2= S2= 2x 2 — a2,a2 = 2.
t , 7
當(dāng) n=3 時(shí),a1+a2+a3=&= 2x 3—a3,a3=]
當(dāng) n = 4 時(shí),a1 + a2+ a3+ a4=S4= 2 x 4 — a4,
15
??a4=T
,,,… 2n—1 *
由此猜想an=-2n(nCN).
(2)證明:①當(dāng)n=1時(shí),白=1,結(jié)論成立.
L * I ,上人- 曰 2k—1
②假設(shè)n
11、=k(k>1且kC N)時(shí),結(jié)論成立,即 ak=-2^,
那么n= k +1時(shí),
ak+1 = Sk+i - Sk=2(k+1)— ak+i — 2k + ak = 2+ ak - ak+i.
2ak+1 = 2+ ak,
2k—1
2 + ak 2+- 2k+1-1
? —+1=—2—=—2—= —2k-,
這表明n=k+ 1時(shí),結(jié)論成立,
2n— 1 *
由①②知猜想 出=-2丘(ne N)成立.
1
D. 一
27
解析:平面幾何中,圓的面積與圓的半徑的平方成正比,而在空間幾何中,球的體積與
半徑的立方成正比,設(shè)正四面體 A- BCD的棱長(zhǎng)為a,可得其內(nèi)切球的半徑為 嚕a,外接球的
6 V 1 半徑為7a,‘土= 27.
答案:D
二、填空題
7. (2011 ?濰坊模擬)運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果是 62,則判斷框中整數(shù) M
的值是