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第九章電磁學(xué)壓軸大題增分策略(三)——突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點(diǎn)

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1、初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 第九章“沖刺雙一流”深化內(nèi)容 電磁學(xué)壓軸大題增分策略 (三 )—— 突破“磁發(fā)散”和“磁聚焦”兩大難點(diǎn)帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)形式很多,其中有一種是帶電粒子在圓形磁場中的運(yùn)動(dòng)。當(dāng) 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場的半徑相等時(shí),會(huì)出現(xiàn)磁發(fā)散或磁聚焦現(xiàn)象。 帶電粒子在圓形磁場中的發(fā)散 運(yùn)動(dòng) 不同帶電粒子在圓形磁場中從同一點(diǎn)沿不同方向出發(fā),做發(fā)散運(yùn)動(dòng),離開磁場后速度方向都相同。 例如:當(dāng)粒子由圓形勻強(qiáng)磁場的邊界上

2、某點(diǎn)以不同速度射入磁場時(shí), 會(huì)平行射出磁場,如圖所示。 [ 例 1] 真空中有一半徑為 r 的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域,磁場 方向垂直于紙面向里, Ox 為過邊界上 O 點(diǎn)的切線,如圖所示。 從 O 點(diǎn)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射速率相同的電子,設(shè)電子間相互 作用忽略,且電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓周軌跡半徑也為 r。所有從磁場邊界射出的電子,其速度方向有何特征? [解析] 如圖所示,無論入射的速度方向與 x 軸的夾角為何 值,入射點(diǎn) O、出射點(diǎn) A、磁場圓心 O1 和軌道圓心 O2,一定組成

3、 邊長為 r 的菱形,因?yàn)? OO 1⊥ Ox,所以 O2A⊥ Ox。而 O2A 與電子 射出的速度方向垂直, 可知電子射出方向一定與 Ox 軸方向平行, 即所有的電子射出圓形磁場時(shí),速度方向均與 Ox 軸正向相同。 [答案] 見解析 [例 2] 如圖所示,真空中有一個(gè)半徑 r= 0.5 m 的圓形磁場,與坐標(biāo)原點(diǎn)相切,磁場 的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小 B= 2× 10-3 T ,方向垂直于紙面向外,在 x= 1 m 和 x= 2 m 之間的區(qū)域 內(nèi)有一個(gè)方向沿 y 軸正向的勻強(qiáng)電場區(qū)域,電場強(qiáng)度 E = 1.5× 103 N/C 。

4、在 x= 3 m 處有一 垂直 x 軸方向的足夠長的熒光屏,從 O 點(diǎn)處向不同方向發(fā)射出速率相同的比荷 q= 1× 109 m C/kg ,且?guī)д姷牧W?,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi),一個(gè)速度方向沿 y 軸正方向射入磁場 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 的粒子,恰能從磁場最右側(cè)的 A 點(diǎn)離開磁場,不計(jì)重力及阻力的作用,

5、求: (1) 沿 y 軸正方向射入的粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度和粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間; (2) 速度方向與 y 軸正方向成 θ= 30°角 (如圖中所示 )射入磁場的粒子,離開磁場時(shí)的速度方向; (3)(2) 中的粒子最后打到熒光屏上,該發(fā)光點(diǎn)的位置坐標(biāo)。 [ 解析 ] (1) 由題意可知,粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 R= r= 0.5 m,由 2 Bqv= mRv ,可得粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度為 qBR 9 - 3 v= m = 1×

6、 10 × 2× 10 × 0.5 m/s = 1 ×10 6 m/ s。 在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 = 1 T= πm = 3.14 - 3 s= 7.85× 10-7 t1 4 2Bq 2× 10 9 10 s。 × 2× (2) 粒子的運(yùn)動(dòng)圓軌跡和磁場圓的交點(diǎn) O、 C 以及兩圓的圓心 O1、O2 組成菱形, CO2 和 y 軸平行,所以 v 和 x 軸平行向右,如圖所示。

7、 (3) 粒子在磁場中轉(zhuǎn)過 120 °角后從 C 點(diǎn)離開磁場,速度方向和 x 軸平行,做直線運(yùn)動(dòng), 再垂直電場線進(jìn)入電場,如圖所示: 在電場中的加速度大小為: = Eq = 1.5× 103× 1× 109 2 = 1.5 ×10 12 m/ 2。 m/s s a m 粒子穿出電場時(shí)有: 初中數(shù)學(xué)、

8、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 x 6 vy= at2= a× = 1.5× 10 m/s, v y 1.5× 106 tan α= v x= 1× 10 6 = 1.5。 在磁場中 y1= 1.5r= 1.5× 0.5 m= 0.75 m。 在電場中側(cè)移為: 1 2 1 × 1.5×

9、10 12 1 2 m= 0.75 m。 y2= at2 = × 6 2 2 1× 10 飛出電場后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng) y3= x tan α= 1× 1.5 m= 1.5 m, y= y1+ y2+ y3= 0.75 m + 0.75 m+ 1.5 m = 3 m。 則該發(fā)光點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3 m,3 m) 。 [ 答案 ] (1)1× 10 6 - 7 m/s 7.85× 10 s (2)與 x 軸平行向右(3)(3 m,3 m) 帶電粒子在圓

10、形磁場中的匯聚 運(yùn)動(dòng) 速度相同的不同帶電粒子進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場后,匯聚于同一點(diǎn)。 例如:當(dāng)速度相同的粒子平行射入磁場中,會(huì)在圓形磁場中匯聚于圓上一點(diǎn),如圖所 示。 [ 例 3] 真空中有一半徑為 r 的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域,磁場方 向垂直于紙面向里, Ox 為過邊界上 O 點(diǎn)的切線,如圖所示,速率 相同,方向都沿 Ox 方向的不同電子,在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓周軌跡半 徑也為 r。進(jìn)入圓形勻強(qiáng)磁場后,所有從磁場邊界出射的電子,離 開磁場的位置有何特征? [ 解析

11、] 由 A 點(diǎn)進(jìn)入磁場的電子,其圓周軌道和圓形磁場的兩交點(diǎn)以及兩圓心組成邊 長為 r 的菱形, v0 和 AO1 垂直,所以 AO1 的對(duì)邊也和 v0 垂直,即 AO1 的對(duì)邊和 Ox 方向垂直,所以 AO1 的對(duì)邊即為 O2O,電子從 O 點(diǎn)離開磁場, 因此,所有從磁場邊界出射的電子, 離開磁場的位置都在 O 點(diǎn)。 [答案] 見解析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、

12、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 [例 4] 如圖甲所示,平行金屬板 A 和 B 間的距離為 d,現(xiàn)在 A、B 板上加上如圖乙所 示的方波形電壓, t= 0 時(shí), A 板比 B 板的電勢(shì)高,電壓的正向值為 u0,反向值為- u0,現(xiàn) 有質(zhì)量為 m、帶電荷量為 q 的正粒子組成的粒子束,從 AB 的中點(diǎn) O1 以平行于金屬板方向 O1O2 的速度 v0= 3qu0T 射入,所有粒子在 AB 間的飛行時(shí)間均為 T ,不計(jì)重力影響。求: 3dm (1) 粒子射出電場時(shí)位置離

13、 O2 點(diǎn)的距離范圍及對(duì)應(yīng)的速度; (2) 若要使射出電場的粒子經(jīng)某一圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場偏轉(zhuǎn)后都能通過圓形磁場邊界的一個(gè)點(diǎn)處,而便于再收集,則磁場區(qū)域的最小半徑和相應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是多大? [解析] (1)當(dāng)粒子由 t= nT 時(shí)刻進(jìn)入電場,向下側(cè)移最大, 則: s = qu0 2+ qu0 2T T - qu0 T 2 2T 2= 7qu0T 。 1 2dm 3 dm 3 3 2dm 3 18dm 當(dāng)粒子由 t= nT+ 2T3時(shí)刻進(jìn)入電場,向上側(cè)移最大, 則 s2= qu0 T 2 qu0T2 2dm

14、 = , 3 18dm 在距離 O2 中點(diǎn)下方 7qu0T2 qu0T2 18dm 至上方 18dm的范圍內(nèi)有粒子射出。 打出粒子的速度都是相同的,在沿電場線方向速度大小為 vy= u0q T u0qT ·= 。 dm 3 3dm 所以射出速度大小為 v= v 02 + vy2= 3u0qT 2+ u0qT 2= 2u0qT。 3dm 3dm 3dm 設(shè)速度方向與 v0 的夾角為 θ, 則 tan θ=

15、 vy= 1 , v 03 θ= 30°。 (2) 要使平行粒子能夠交于圓形磁場區(qū)域邊界且有最小區(qū)域時(shí),磁場直徑最小值與粒子寬度相等, 粒子寬度 D= (s1+ s2)cos 30 ,° 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 2 2 即 D= 4qu0T cos 30 =°2 3qu

16、0T 。 9dm 9dm 故磁場區(qū)域的最小半徑為 2 D 3qu0T r= 2 = 9dm 。 而粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)有 v2 qv B= m r 。 解得 B= 2 3m。 qT [答案] (1)見解析 (2) 3qu0T 2 2 3m 9dm qT [提能增分集訓(xùn) ] 1.電子質(zhì)量為 m、電荷量為 e,從坐標(biāo)原點(diǎn) O 處沿 xOy 平面射入第一象限,射入時(shí)速 度方向不同,速度大小均為 v 0,如圖所示?,F(xiàn)在某一區(qū)

17、域加一方向向外且垂直于 xOy 平面 的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏 MN 上,熒光 屏與 y 軸平行,求: (1) 熒光屏上光斑的長度; (2) 所加磁場范圍的最小面積。 解析: (1)如圖所示,初速度沿 x 軸正方向的電子,沿弧 OB 運(yùn) 動(dòng)到 P 點(diǎn),為熒光屏上光斑的最高點(diǎn), 初速度沿 y 軸正方向的電子, 沿弧 OC 運(yùn)動(dòng)到 Q 點(diǎn),為熒光屏上光斑的最低點(diǎn), 2 mv 0 v 0 得 R=

18、電子在磁場中,由 ev0B= m R , eB mv 0 光斑長度 PQ= R= 。 (2) 所加磁場的最小面積是以 O′ 為圓心、 R 為半徑的斜線部分,其面積大小為 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 OO 2B 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 3 2 2 1 2 π mv 0 2 S= πR +

19、 R - πR = + 1 。 4 4 2 eB mv0 π mv0 2 答案: (1) eB (2) 2+ 1 eB 2.如圖所示,質(zhì)量 -25 -15 m= 8.0× 10 kg、電荷量 q= 1.6× 10 C 的帶 正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn) O 處沿 xOy 平面射入第一象限內(nèi),且在與 x 方向 夾角大于等于 30°的范圍內(nèi),粒子射入時(shí)的速度方向不同,但大小均為 v0=2.0× 10

20、7 m/s?,F(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一垂直于 xOy 平面的勻強(qiáng)磁場, 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B= 0.1 T,若這些粒子穿過磁場后都能射到與 y 軸平 行的熒光屏 MN 上,并且當(dāng)把熒光屏 MN 向左移動(dòng)時(shí), 屏上光斑長度和位置保持不變。 求: ( π= 3.14) (1) 粒子從 y 軸穿過的范圍; (2) 熒光屏上光斑的長度; (3) 從最高點(diǎn)和最低點(diǎn)打到熒光屏MN 上的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差; (4) 畫出所加磁場的最小范圍 (用陰影表示 )。 解析: 設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑為 R,

21、由牛頓第二定律得 v 02 , qv 0B=m R 即 R= mv 0 qB 解得 R= 0.1 m 當(dāng)把熒光屏 MN 向左移動(dòng)時(shí), 屏上光斑長度和位置保持不變, 說明粒子出射方向平行, 且都沿- x 方向,所加磁場為圓形,半徑為 R=0.1 m 。 (1)如圖所示,初速度沿 y 軸正方向的粒子直接過 y 軸。 速度方向與 x 軸正方向成 30°角的粒子,轉(zhuǎn)過的圓心角∠ 為 150°, 則∠ OO2A= 120

22、 ° 粒子從 y 軸穿過的范圍為 0~ 3R, 即 0~ 0.17 m。 (2) 初速度沿 y 軸正方向的粒子, yC= R 由 (1)知∠ O2OA=θ=30° yB= R+Rcos θ 則熒光屏上光斑的長度 l= yB- yC= 0.09 m 。 (3) 粒子運(yùn)動(dòng)的周期 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析

23、 2πR= 2πm= π× 10- 8 s T= v 0qB 從 B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差 t1= 5 1 1 12 T- T= T 4 6 出磁場后,打到熒光屏上的時(shí)間差 R t2=2v 0 從最高點(diǎn)和最低點(diǎn)打到熒光屏 MN 上的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間差t= t1+ t2= 7.7× 10-9 s。 (4) 如圖陰影部分所示。 答案: (1)0~ 0.17 m (2)0.09 m (3)7.7 × 10- 9 s (4) 見解析 3.設(shè)在某一平面內(nèi)有 P1

24、、P2 兩點(diǎn),由 P1 點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射速率均為 v 0 的電子。 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場分布, 使得由 P1 點(diǎn)發(fā)出的所有電子都能夠匯集到 P2 點(diǎn)。電子電量為 e, 質(zhì)量為 m。 解析: 如圖所示,過 P1 點(diǎn)做 2 個(gè)圓,和直線 P1P2 相切于 P1 點(diǎn),圓的半徑都是 R。圓 內(nèi)分布有勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,方向垂直于圓平面,由 P1 點(diǎn)向平面內(nèi)各個(gè)方向 發(fā)射速率均為 v0 的電子, 電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑也是 mv 0 R,即滿足 R= Be ,則電子離開 圓形磁場時(shí)速度方向和直線 P1

25、P2 平行。過 P2 點(diǎn)做 2 個(gè)圓,和直線 P1P2 相切于 P2 點(diǎn)。圓周 半徑也是 R,圓內(nèi)分布有勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,方向垂直于圓平面。電子進(jìn)入這 2 個(gè)圓形磁場區(qū)域后,將匯聚到 P2 點(diǎn),其電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。 答案: 見解析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、初中數(shù)學(xué)試題、數(shù)學(xué)學(xué)案、數(shù)學(xué)初中教案、初中數(shù)學(xué)練習(xí)題、數(shù)學(xué)課件、期末考試數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)知識(shí)難點(diǎn)分析 初中數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)試卷、

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