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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 SCARA機器人裝配及結構設計 摘 要 Scara 機器人是一種由三個自由度組成的平面關節(jié)型機器人，它的主要作用是可以完成精密儀器和物體的搬運和移動。由于體積小，傳動原理簡單，被廣泛運用于電子電氣業(yè)，家用電器業(yè)，精密機械業(yè)等領域。整個系統(tǒng)由機器手，機器臂，關節(jié)，步進電機驅動系統(tǒng)等組成。通過各自由度步進電機的驅動，完成機器手，機器臂的位置變化。具體設計內容為：同步齒形帶傳動設計，絲杠螺母設計，各輸出軸和殼體的設計,步進電機的選擇等。在校核滿足其結構強度的基礎上，我們對scara 機器人的結構進行優(yōu)化設計。 本論文著重研究scara 機器人的結構設計和

2、運動學分析。在論文開始首先介紹了機器人的發(fā)展及其分類情況。在論文第二，三章具體敘述了scara 機器人的結構設計和運動學分析的詳細過程。在論文末尾還對scara 機器人進一步改進措施和應用展望進行了闡述。 關鍵詞：scara 機器人，步進電機，結構設計，機器臂 Structure Design of SCARA Assembly Manipulator Abstract A SCARA robot is a robot of plane and joint composed of three degrees of freedom. Its mostly function is used

3、 to complete transition and motion of exact apparatuses and objects. Because of its small volume and simple drive principle, it is widely used in the field of electronic and electric industry, home-used electric-ware industry and exact mechanism. The whole system is composed of manipulator hand, man

4、ipulator arm, joints and stepper motor driving system. By stepper motor’s driving of each degree of freedom, it completes location change of manipulator hand and manipulator arm. The idiographic designing content is designing of in-phase tooth-shape strap, designing of silk-bar nut, designing of she

5、ll and axis and the choice of stepper motors. On the base of checking its structure intensity, while it satisfied, we optimize designing of the structure of SCARA robots. This paper put its emphases on research of its structure designing and kinematics analysis. At the beginning of this paper, it in

6、troduces the development and sort of robots. In the second and third chapter, it introduces detailed detail among the processing of the structure designing of a SCARA robot and its kinematics analysis. At the last, this paper gives some measures about improving of SCARA robots, and gives a expectati

7、on about its future. Key Words: SCARA robots, stepper motor, structure design, manipulator arm 目 錄 摘 要 i Abstract ii 第一章 緒論 1 1.1 機器人的特點 1 1.2 機器人的構成及分類 1 1.2.1 機器人的構成 1 1.2.2 機器人的分類 3 1.3 機器人的應用與發(fā)展 4 1.3.1 機器人的應用 4 1.4　SCARA機器人的研究意義 6 1.4.1　SCARA機器人的研究意義 6 1.4.2　SCARA機器人的特點 7 1.5本文的

8、研究內容 8 第二章 SCARA機器人結構設計 9 2.1 SCARA機器人傳動方案的比較及確定 9 2.2 各自由度步進電機的選擇 11 2.2.1 第一自由度步進電機的選擇 12 2.2.2 第二自由度步進電機的選擇: 12 2.2.3 第三自由度步進電機的選擇 13 2.3 同步齒形帶傳動設計 14 2.4 絲杠螺母設計 18 2.4.1 絲杠耐磨性計算 18 2.4.2 絲杠穩(wěn)定性計算 19 2.4.3 絲杠剛度計算 19 2.4.4 絲杠和螺母螺紋牙強度計算 20 2.4.5 螺紋副自鎖條件校核 21 2.5　各輸出軸的設計 21 2.5.1 機身輸

9、出軸設計 21 2.5.2 大臂輸出軸設計 22 2.5.3 帶輪軸設計: 22 2.5.4 升降軸設計 22 2.6　殼體設計 23 第三章 SCARA機器人運動學分析 25 3.1 引言 25 3.2　SCARA機器人正運動學分析 25 3.2.1　SCARA機器人連桿坐標系的建立 25 3.2.2　SCARA機器人正運動學問題 27 3.3 SCARA機器人逆運動學分析 29 3.4 本章小結 31 第四章 總結與展望 32 參 考 文 獻 33 致 謝 34 第一章 緒論 1.1 機器人的特點 機器人最顯著的特點有以下幾個: 1.可編程。生產(chǎn)自動

10、化的進一步發(fā)展是柔性自動化。機器人可隨其工作環(huán)境變化的需要而再編程，因此它在小批量多品種具有均衡高效率的柔性制造過程中能發(fā)揮很好的功用，是柔性制造系統(tǒng) (FMS)中的一個重要組成部分 。 2.擬人化。機器人在機械結構上有類似人的行走、腰轉、大臂、小臂、手腕、手爪等部分，在控制上有電腦。此外，智能化機器人還有許多類似人類的 “生物傳感器”，如皮膚型接觸傳感器、力傳感器、負載傳感器、視覺傳感器、聲覺傳感器、語言功能等.傳感器提高了機器人對周圍環(huán)境的 自適應能力。 3.通用性。除了專門設計的專用機器人外，一般機器人在執(zhí)行不同的作業(yè)任務時具有較好的通用性。比如，更換機器人手部末端操作器 (手爪、工具等

11、)便可執(zhí)行不同的作業(yè)任務。 4.機電一體化。機器人技術涉及的學科相當廣泛，但是歸納起來是機械學和微電子技術的應用，特別是計算機技術的應用密切相關。 因此，機器人技術的發(fā)展必將帶動其它技術的發(fā)展，機器人技術的發(fā)展和應用水平也可以從一個方面驗證一個國家科學技術和工業(yè)技術的發(fā)展和水平 。 1.2 機器人的構成及分類 1.2.1 機器人的構成 一個機器人系統(tǒng)，一般由操作機、驅動單元、控制裝置和為使機器人進行作業(yè)而要求的外部設備組成。 1.操作機(又稱執(zhí)行系統(tǒng)) 操作機是機器人完成作業(yè)的實體，它具有和人手臂相似的動作功能，是可在空間抓放物體或進行其它操作的機械裝置。通常由下列部分構成 。 (1)末端執(zhí)行

12、器又稱手部，是操作機直接執(zhí)行工作的裝置，并可設置夾持器、工具、傳感器等，是工業(yè)機器人直接與工業(yè)對象接觸以完成作業(yè)的機構。 (2)手腕是支承和調整末端執(zhí)行器姿態(tài)的部件，主要用來確定和改變末端執(zhí)行器的方位和擴大手臂的動作范圍，一般具有 2-3個回轉自由度以調整末端執(zhí)行器的姿態(tài)。有些專用機器人可以沒有手腕而直接將末端執(zhí)行器安裝在手臂的端部。 (3)手臂　它由操作機的動力關節(jié)和連接桿件等構成，是用于支承和調整手腕和末端執(zhí)行器位置的部件。手臂有時不止一條，而且每條手臂，也不一定只有一節(jié) (如關節(jié)型就可能有多節(jié))，所以，它有時還應包括肘和肩的關節(jié)，即手臂和手臂間(靠近末端執(zhí)行器的一節(jié)通常叫小臂 ，靠近機座

13、的，通常叫大臂 )，手臂與機座間用關節(jié)連接，因而擴大了末端執(zhí)行器姿態(tài)的變化范圍和運動范圍。 (4)機座有時稱為立柱，是工業(yè)機器人機構中相對固定并承受響應力的基礎部件?？煞止潭ㄊ胶鸵苿邮絻深?，移動式機座下部安裝了移動機構，它可以擴大機器人的活動范圍。 2.驅動單元 它是由驅動器、減速器、檢測元件等組成的組件 ，是用來為操作機各部件提供動力和運動的裝置。驅動器是將電能或流體能等轉換成機械能的動力裝置，通常是電動機 、液壓或氣動裝置。驅動形式不同，傳動裝置也有所不同。 3.控制裝置 它是由人對機器人的啟動 、停機及示教進行操作的一種裝置，它指揮機器人按規(guī)定的要求動作?？刂蒲b置包括檢測 (如傳感器)和

14、控制(如計算機)兩部分，可用來控制驅動單元，檢測其運動參數(shù)是否符合規(guī)定要求，并進行反饋控制。這就是閉環(huán)控制。如果沒有反饋控制，就是較簡單的開環(huán)控制。 4.人工智能系統(tǒng) 對于智能機器人，還應有人工智能系統(tǒng)。它主要由兩部分組成，一部分為感覺系統(tǒng) (硬件)，主要靠各類傳感器來實現(xiàn)其感覺功能。另一部分為決策一規(guī)劃智能系統(tǒng) (軟件)，它包括邏輯判斷、模式識別、大容量數(shù)據(jù)庫和規(guī)劃操作程序等功能。 1.2.2 機器人的分類 目前世界各國對處于發(fā)展階段的機器人還沒有統(tǒng)一的分類標準，大致有以下幾種分類方法。 1.按使用范圍分類 (1)固定程序的專用機器人 (機械手) 通常根據(jù)主機的特定要求設計成固定程序 (或簡

15、單的可變程序)。這種機器人 (機械手)多為氣動或液動，用行程開關、機械擋塊來控制其工作位置。工作對象單一，動作較少，結構與系統(tǒng)簡單，價格低廉。 (2)可編程序的通用機器人 工作程序可變，以適應不同的工作對象，通用性強，適合于以多品種、中小批量生產(chǎn)為特點的柔性制造系統(tǒng)中。 2.按使用行業(yè)、部門和用途分類 (1)工業(yè)機器人 它們又可按作業(yè)類別分為鍛壓、焊接、表面噴涂 、裝卸、裝 配 、檢測等機 (2)采掘機器人 如海洋探礦機器人等。 (3)軍事用途機器人 (4)服務機器人 如醫(yī)療機器人，家用機器人，教學機器人等。 3.按機械結構 、坐標系特點分類 按機械結構坐標系特點可分為直角坐標型;圓柱坐標型;

16、球坐標型;多關節(jié)型。 4.按機器人運動控制方式分類 (1)點位控制 (PTP)機器人 就是由點到點的控制方式，這種控制方式只能在目標點處準確控制機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)，完成預定的操作要求。目前應用的工業(yè)機器人中，很多是屬于點位控制方式的，如上下料搬運機器人、點焊機器人等。 　(2)連續(xù)軌跡控制(CP)機器人 機器人的各關節(jié)同時作受控運動，準確控制機器人末端執(zhí)行器按預定的軌跡和速度運動，并能控制末端執(zhí)行器沿曲線軌跡上各點的姿態(tài)?；『?、噴漆和檢測機器人等均屬連續(xù)軌跡控制方式。 5.按驅動方式分類 按驅動方式可分為液壓驅動式、氣動式、電力驅動式 (這是目前用得最多的一類) 6.根據(jù)機器人的功能

17、水平和技術的先進程度按 “代”分類 　(1)第一代　機器人 其特點是采用開關量控制，示教再現(xiàn)控制或數(shù)字控制，其作業(yè)路徑和運動參數(shù)需通過示教或編程給定。60年代以來，工業(yè)中實際應用的絕大多數(shù)工業(yè)機器人都屬于第一代機器人，它包括可編程序 (用于上下料)的工業(yè)機器人具有記憶裝置的示教再現(xiàn)型機器人，數(shù)控型搬運機器人等。 (2)第二代機器人 是 70年{BANNED}始出現(xiàn)的，其技術特點是采用計算機直接控制，是通過具有視覺、觸覺的攝像機和傳感器，能“感覺”外界信息并通過計算機進行計算和分析自動地控制操作機進行運動和操作，因此，其控制方式較第一代機器人要復雜得多，目前這類機器人已開始在工業(yè)生產(chǎn)、排險救災

18、等場合應用，并將進入普及階段。 (3)第三代機器人 即智能機器人。這是國內外正在積極研究，開發(fā)的高級機器人，其主要特點是具有人工智能。包括: 模式識別能力、規(guī)劃決策能力、知識庫、專家系統(tǒng)、人機交互能力等。這 一類機器人目前正在研究開發(fā)之中。 1.3 機器人的應用與發(fā)展 1.3.1 機器人的應用 在發(fā)達國家，機器人己廣泛地應用于工業(yè)、國防、科技、生活等各個領域。產(chǎn)業(yè)部門應用最多的當推汽車工業(yè)和電子工業(yè)，在金屬加工、塑料成型、機械制造等行業(yè)也有普遍應用，并逐漸向纖維加。食品工業(yè)、家用產(chǎn)品制造等行業(yè)發(fā)展。 焊接作業(yè)包括點焊和弧焊，是機器人用得最多的作業(yè)之一。傳統(tǒng)的點焊機雖然可以減輕人的勞動強度，焊接

19、質量也較好，但它適宜少品種大批量的生產(chǎn)環(huán)境，其夾具和焊槍位置不能隨零件的改變而變化，而點焊機器人可通過重新編程來調整空間點位，滿足不同零件的需要，故特別適宜于小批量多品種的生產(chǎn)環(huán)境?；『缸鳂I(yè)由于其焊縫多為空間復雜曲線，故多由人工完成，連續(xù)軌跡控制的機器人可以勝任此任務，故廣泛用于各種復雜結構和容器的焊接 。Unimate, Motoman, ASEA等都是典型的焊接機器人 。 噴漆作業(yè)由于環(huán)境惡劣，國外大量使用了機器人，挪威生產(chǎn)的Trallfa機器人是目前世界上用得最多的噴漆機器人，該機器人為關節(jié)式，6自由度，電液或全電動伺服驅動，采用示教再現(xiàn)方式，既可實行點位控制 ，也可實行連續(xù)軌跡控制。

20、搬運物料的作業(yè)包括為機床上下料，為自動生產(chǎn)線轉運工件，搬運機器人和數(shù)控機床一起組成柔性加工系統(tǒng)，一條柔性生產(chǎn)線可配置幾臺至十幾臺搬運機器人，典型的搬運機器人是T3和 Funac機器人。 機器人用于裝配作業(yè)是隨著視覺系統(tǒng)的發(fā)展而發(fā)展起來的，電子工業(yè)用得最多，主要用在電路板的裝配上，還有電動機、發(fā)動機部件、閥門等產(chǎn)品的裝配。PUMA機器人是一種典型的裝配機器人，有 6個自由度，關節(jié)式，直流伺服電機驅動，微機控制點位或連續(xù)軌跡，用VAL語 言示教編程，其手腕機構具有順應性，可克服裝配中的誤差。 國外的航空航天工業(yè)中應用機器人也十分廣泛，如鉚接裝配作業(yè)就大量使用了機器人，此外如電氣插頭的裝配，發(fā)動機風

21、扇外殼和高壓渦輪的焊接，飛機座艙蓋和風擋鉆孔作業(yè)，飛機機身和垂直尾翼鉆孔，都采用了機器人。某些飛機機身、機艙的噴漆作業(yè)，發(fā)動機零部件等離子噴涂也采用了機器人。在空間開發(fā)中，航天飛機上收放衛(wèi)星的機器人是加拿大Spar公司生產(chǎn)的，美國NASA實施的火星測計劃，發(fā)射了兩個火星探測器海盜 I和海盜H，它們也是一種機器人，在火星上采集樣品，作各種實驗，并能將實驗結果發(fā)回地球。 在海洋開發(fā)方面，美國曾用 Curv號有纜水下機器人成功地從西班牙附近 900米深的海底打撈一顆因 B-52轟炸機失事掉入水中的氫彈。 挪威卑爾根公司生產(chǎn)的一種水下機器人，可在水下 600米處作業(yè)，裝有電視攝像機，可收集海底標本，切

22、割石油管道和纜索等。 在放射性環(huán)境中，如在核電站里，機器人可用來檢查、修復管道、閥門等，如日本東芝公司研制的一種蛇形機器人，具有八個關節(jié)，可以在狹小的空間里操作，臂長達2.25米，臂頂端裝有電視攝像機。 在軍事方面，機器人 己用于偵察、布雷、排除爆炸物、裝填彈藥等。在建筑中，己有一種爬壁機器人可用來修理墻面，擦洗窗戶。此外還有摘果實、擠牛奶、剪羊毛、清理垃圾、監(jiān)護病人的機器人等。 總之，機器人的應用面相當廣泛，機器人的工作特點是在計算機控制下離開人的干預進行各項工作。用機器人代替人，可以使人擺脫高溫、有毒、粉塵、振動、放射性、強噪音等惡劣環(huán)境，而去從事機器人的監(jiān)控、維護等工作，使工作性質發(fā)生了

23、變化，減輕了勞動強度，同時也改善了就業(yè)結構。機器人工作抗干擾能力強，一心一意按所編程序工作，動作精度、重復精度高，因此能保證和提高產(chǎn)品質量。解決多品種小批量生產(chǎn)的自動化問題二隨著人民生活水平的提高，人們要求提供更豐富更多樣的產(chǎn)品。因此，用傳統(tǒng)的生產(chǎn)方式難以滿足人們的需求，當前柔性制造系統(tǒng)的飛速發(fā)展正是適應了這種發(fā)展趨勢，而機器人是柔性系統(tǒng)中不可缺少的提高勞動生產(chǎn)率的關鍵設各。與人相比，機器人有一個最大的特點:不知疲倦、不需要休息，在合宜的條件下，可以連續(xù)工作，因此可以大大地提高勞動生產(chǎn)率。機器人對于改善勞動條件、減少安全事故 ，減少人受危險環(huán)境的傷害等方面都有顯著的效果。 1.4　SCARA機

24、器人的研究意義 1.4.1　SCARA機器人的研究意義 目前，國外已有各種專用和通用的裝配機器人在生產(chǎn)中得到應用，主要類型大致有直角坐標型、圓柱坐標型和關節(jié)型三大類。關節(jié)型裝配機器人又有垂直關節(jié)型 (即空間關節(jié)型)和平面關節(jié)型 (即SCARA型)兩種。拒統(tǒng)計資料介紹，在這些裝配機器人中，平面關節(jié)型裝配機器人是應用數(shù)量最多且較為廣泛的一種裝配機器人。1991年世界上4萬余臺在生產(chǎn)上應用的裝配機器人中，SCARA機器人約占3/4左右。其主要應用領域為電子電氣業(yè)、家用電器業(yè)、精密機械業(yè)。從事印刷電路板上電子元器件的插入作業(yè);家用電器及儀器儀表的組裝作業(yè):小型電器開關、接觸器等電器產(chǎn)品的組裝作業(yè)?？梢?/p>

25、說，SCARA型機器人在輕型、較簡單且要求機器人價格較低的裝配作業(yè)中大顯了身手。 隨著社會需求的增大和技術的進步，裝配機器人將會得到迅速的發(fā)展，多品種、少批量生產(chǎn)方式和為提高產(chǎn)品質量及生產(chǎn)效率的生產(chǎn)工藝需求，將是推動裝配機器人發(fā)展的直接動力。近年來計算機、CIMS及柔性 自動裝配系統(tǒng)等的發(fā)展，又為裝配機器人的應用和發(fā)展提供了良好的可能性。1972年我國開始研制機器人，但發(fā)展緩慢，受經(jīng)濟、觀念等因素的制約 ，基本沒有什么應用，直到 1986年，沈陽機器人研究所成立，中國的機器人才向實用階段發(fā)展。隨著國內教育和科技的發(fā)展，哈工大等高校出現(xiàn)了專門的機器人機構，研究水平在某些方面己達到國際先進水平。在

26、應用方面，一汽等大型企業(yè)己開始使用機器人自動化生產(chǎn)線。但總體來說，國內機器人發(fā)展還是趨于落后，特別是在應用方面發(fā)展緩慢。究其原因，除了經(jīng)濟因素的制約外，很重要的一點是有關機器人的教育跟不上，知道機器人的人很多，但真正了解、懂機器人的人少而又少，這就使我國的機器人發(fā)展缺乏智力支持，加強機器人技術教育，緩解人才危機迫在眉睫。而研制結構簡單、成本較低 SCARA 機器人用于教學可以提高教育的現(xiàn)代化水平，用于實際生產(chǎn)可以大大提高工作效率，還可以用于科學研究工作，為開發(fā)更先進的裝配機器人提供有利條件，隨著我國經(jīng)濟和科技的發(fā)展，我們有能力也有必要進行這方面的研究 1.4.2　SCARA機器人的特點 根據(jù)工

27、作環(huán)境、工作特點等要求，本 SCARA機器人應具備以下幾個特點: 1.外形美觀，適于觀察。 如果作為示教用機器人應該讓觀看者賞心悅目，同時能直觀地了解它的構成和動作原理。故機器人的外形應巧妙設計，部分外殼應采用透明材料，內部結構應簡單明了，另外，機器人的動作應連續(xù)，速度適中。 2.成本低 在滿足所要求功能的前提下 ，盡可能降低成本，這是設計的基本要求.如果作為教學用機器人只要求有一些示范性動作，而對實踐的功能要求不高，速度等參數(shù)可在一定范圍內調整，定位精度要求也不高，故機構盡可能采用規(guī)則件、標準件，驅動元件采用便宜的步進電機，而光電碼盤等測試校驗元件則可不用，其功能由軟件部分實現(xiàn)補償。這樣，結

28、構大大簡化，成本也隨之降低。 3.體積小 ，重量輕 　SCARA機器人要求抓取重量不大，動作范圍也很小，故體積很小，展開應在60x80cm2左右。要實現(xiàn) SCARA機器人的四個自由度，內部零件應盡量小巧，結構應盡可能緊湊。重量輕是機器人研制的一個方向，在滿足強度和剛度的條件下，零部件越輕越好，故材料要首選鋁質輕質材料，零件特別是具有定位功能的殼體定位板應采用板筋結構，各零件的空間分布要合理，減小傾覆力矩。 4.傳動原理簡單 　本SCARA機器人采用步進電機驅動，速度要求不高，故減速比可在一定范圍內調整 ，只要能滿足轉矩即可。選擇減速方案可根據(jù)空間結構要求 ，跨距轉大的傳動可選用同步帶傳動力求一

29、步到位，傳動簡單。 1.5本文的研究內容 SCARA機器人為平面關節(jié)型機器人，一般采用步進電機驅動，控制簡單，編程方便。主要應用于電子產(chǎn)品中異形元件裝配，小型機電產(chǎn)品如電機、空壓機、電器、泵類等的裝配工作，是一種小型經(jīng)濟型機器人。該機器人的突出特點是機構承載能力強，具有較好的通用性，重復定位精度高，動作速度快，應用范圍廣。該論文涉及計算機技術、電子、機械等多學科的知識，主要完成了以下的工作: 1. 在進行充分的課題可行性論證及詳細的理論計算之后，用AutoCAD等計算機圖形輔助設計軟件完成了 SCARA機器人的機械本體結構設計。為了滿足靈活性強、工作空間大、重量輕及結構緊湊等工作要求，將其設計

30、為具有三個轉動關節(jié)的機器人。 2．建立了SCARA機器人的運動學數(shù)學模型，得到了運動學方程的正解和反解，并在運動學分析的基礎上，求得了SCARA 機器人的雅可比矩陣。 第二章 SCARA機器人結構設計 2.1 SCARA機器人傳動方案的比較及確定 初步確定以下兩種可行方案： 方案一： 大臂轉動采用諧波減速，小臂轉動采用二級同步帶減速，升降軸采用絲杠螺母傳動，手腕轉動采用步進電機直接驅動。這種方案主要考慮了傳動鏈的簡化，結構比較簡單易行。 方案二： 大臂轉動采用齒輪減速，小臂轉動采用二級同步帶傳動，升降軸采用一級齒帶傳動加齒輪齒條實現(xiàn)升降運動。 方案一具有以下特點 : 1.第一個自由度采

31、用諧波減速器，適合結構特點，減速比大、體積小、重量輕、精度高、回差小、承載能力大、噪音小、效率高、定位安裝方便，由于使用標準件，價格也不高。 2.第二個自由度采用二級同步齒形帶減速，充分利用了大臂的空間，結構緊湊，傳動比恒定，傳動功率大，效率較高，但對安裝有一定要求，需加調整裝置。 3.第三個自由度采用絲杠螺母傳動。電機直接驅動絲杠螺母傳動的同時兼有減速的作用，一步把旋轉運動轉變?yōu)橹本€運動，傳動精度較高，絲杠有自鎖功能，速度不宜過高。 方案二具有以下特點: 1.第一個自由度采用齒輪減速，這是最常用的減速方法，傳動比恒定，傳動效率高，工作可靠，使用壽命長，結構緊湊，傳遞功率大，但傳動精度低，噪音

32、大，傳動比小。齒輪的加工成本比較高，體積和重量都比較大。 2.第三個自由度采用了齒帶加齒輪齒條傳動，基本具備齒輪傳動的特點，傳遞功率大，傳動效率高，精度低，有噪音，傳動比小，工作可靠，但需要平衡裝置，不能自鎖。 3.其它方面與方案一基本相同。 兩方案相比較，在傳動的實現(xiàn)上，二者都是可行的。方案一結構比較簡單，各傳動元件的定位比較容易實現(xiàn);方案二結構較為復雜，各部分定位都需仔細考慮。外觀上，方案二顯得更好一些。傳動精度方面，顯然方案一比較高。成本上考慮，方案一采用標準件較多，零部件較少，且比較規(guī)則，易于加工，絲杠螺母在精度要求不高的情況下，加工成本也不是很高;方案二用了很多齒輪，需專門設備加工，

33、且各定位部件形狀不規(guī)則，加工困難，這都使成本增加。故綜合考慮，選擇方案一。 機器人驅動方案的對比分析及選擇: 對機器人驅動裝置的一般要求如下: 1.動裝置的重量盡可能要輕，單位重量的輸出功率 (即功率/重量比)要高，效率也要高; 2.反應速度要快，即要求力/重量比和力矩/慣量比要大; 3.動作平滑，不產(chǎn)生沖擊; 4.控制盡可能靈活，位移偏差和速度偏差要小; 5.安全可靠; 　 6.操作和維護方便; 7.對環(huán)境無污染，噪聲要小; 8.經(jīng)濟上合理，尤其是要盡量減少占地面積。 通常的機器人驅動方式有以下四種 : 1.步進電機:可直接實現(xiàn)數(shù)字控制，控制結構簡單，控制性能好，而且成本低廉;通常不需要反饋

34、就能對位置和速度進行控制;位置誤差不會積累;步進電機具有自鎖能力 (變磁阻式)和保持轉矩 (水磁式)的能力，這對于控制系統(tǒng)的定位是有利的，適于傳動功率不大的關節(jié)或小型機器人 。 2.直流伺服電機:直流伺服電機具有良好的調速特性，較大的啟動力矩，相對功率大及快速響應等特點，并且控制技術成熟。但其結構復雜，成本較高，而且需要外圍轉換電路與微機配合實現(xiàn)數(shù)字控制。若使用直流伺服電機，還要考慮電刷放電對實際工作的影響。 3.交流伺服電機:交流伺服電機結構簡單，運行可靠，使用維修方便，與步進電機相比價格要貴一些。隨著可關斷晶閘管 GTO，大功率晶閘管GTR和場效應管MOSFET等電力電子器件、脈沖調寬技術

35、(PWM)和計算機控制技術的發(fā)展，使交流伺服電機在調速性能方面可以與直流電機媲美。采用 16位 CPU+32位 DSP三環(huán) (位置、速度、電流)全數(shù)字控制，增量式碼盤的反饋可達到很高的精度。三倍過載輸出扭矩可以實現(xiàn)很大的啟動功率，提供很高的響應速度。 4.液壓伺服馬達: 液壓伺服馬達具有較大的功率/體積比，運動比較平穩(wěn)，定位精度較高，負載能力也比較大，能夠抓住重負載而不產(chǎn)生滑動，從體積、重量及要求的驅動功率這幾項關鍵技術考慮，不失為一個合適的選擇方案。但是，其費用較高，其液壓系統(tǒng)經(jīng)常出現(xiàn)漏油現(xiàn)象。為避免本系統(tǒng)也出現(xiàn)同類問題，在可能的前提下，本系統(tǒng)將盡量避免使用該種驅動方式。 　SCARA機器人

36、負載并不大，決定了機器人必須重量輕 (10~20Kg)，另外其作業(yè)范圍也不大，所以機器人必須體積小。對此機器人，這些特點決定了它的驅動方式。又通過以上比較，由于步進電機的諸多優(yōu)點，初選上述方案中的步進電機方案進行詳細的計算和選擇，并在此基礎上參考同類機器人的驅動方案，最后確定一種適合我國國情的實施方案。 　SCARA機器人兩個關節(jié)均選用步進電機驅動。機器人大臂，小臂均采用了二級齒帶傳動，升降軸采用一級齒帶加齒輪齒條實現(xiàn)升降運動。 2.2 各自由度步進電機的選擇 　本機器人前兩個自由度是平面旋轉，若軸承是光滑的，則旋轉所需的靜轉矩比較小。因為將臂伸開呈一條直線時轉動慣量最大，所以在旋轉開始時可產(chǎn)

37、生步進電機的轉矩不足。下面估算一下繞機器人臂的旋轉軸的轉動慣量，設兩臂及手腕繞各自重心軸的轉動慣量分別為JG1,JG2,JG3根據(jù)平行軸定理可得繞第一關節(jié)軸的轉動慣量為: J1=JG1+ m1 1 12+JG2+m2 122+ JG3 + m3l32　　　　　　　　　　　(2-1)　　　　　 其中，m1, m2, m3分別為大臂，小臂, 腕部的質量為3kg,0.8kg,4kg 。1 1, 12, l3分別為各重心到第一關節(jié)處的距離，其值為150mm ,450mm,550mm。 在式(2-1)中，JG1≤m1 1 12，JG2<

38、不計,所繞第一關節(jié)軸的轉動慣量為: 　 J1= m1 1 12+ m2122+ m3l32 　 =30.152+0.80.452+40.552 (2-2) 　 =1.44　kg.m2　 同理可得小臂及腕部繞第二關節(jié)軸的轉動慣量: 　 J2= m2 1 42+ m3 l52 =0.8-0.12+40.22 　 =0.168kg.m2　 (2-3) 式中： l4 小臂重心距第二關節(jié)軸的水平距離 mm。 　 l5 　 腕部重心距第二關節(jié)軸的水平距離 mm。 2.2

39、.1 第一自由度步進電機的選擇 設大臂速度為ω1=300/s，使機器人大臂從ω0=0到ω1=300/s所需的時間為:△t=0.ls, 則同步帶應輸出轉矩為: （2-4） 設安全系數(shù)為2，同步帶減速比i=10，同步帶傳動效率為:η=85% 。則電機所需輸出力矩為: T=(2T1)/iη2=20 N m （2-5） 選擇步進電機 型號： KP8M2-037 步距角：1.80 最大啟動力矩:2.68 kg cm 2.2.2 第二自由度步進電機的選擇: 設小臂速度為ω2=150/s, 角速度從0到ω2 所需加速度時間△t=0.2s, 則同步帶應輸出轉

40、矩為: T2= J2 ω2 = 0.22 N m （2-6） 設安全系數(shù)為2，同步帶減速比i=10，同步帶傳動效率為:η=85% 。則電機所需輸出力矩為:　 （2-7） 選擇步進電機 型號： KP56LMS2-1 步距角：1.80 最大啟動力矩:3.33 kg cm 2.2.3 第三自由度步進電機的選擇 絲杠螺母傳動,實現(xiàn)腕部的升降,設絲杠軸向承載總和為: Q=34.3N。 絲杠基本參數(shù)選擇: 螺紋牙形: 梯形螺紋，β=300 螺　 距　: P=2mm 公稱直徑: d=10mm, 中　 徑: d =9.5mm 摩擦系數(shù): f

41、=0.1 螺旋升角為: λ=arctgP/(πd2)=arctg2/(9.5π)=3.8340 (2-8) 當量摩擦角為: (2-9) 螺紋阻力矩為: T1=d2/2 Q tg(λ+ρˊ)=9.5/2 34.3tg(3.8340+5.9110)=0.031N m (2-10) 螺紋所受摩擦力矩為: T2≈fc Q Dm/2 （2-11） 式中: fc ----摩擦系數(shù)，取0.1 Dm---- 支撐面平均直徑,此例中取螺母內外徑和的一半,即(10+40)/2= 25 mm.帶入數(shù)據(jù)得: T2≈(0.1

42、34.325)/2=0.047N m （2-12） 絲杠所受力矩為阻力矩與摩擦力矩之和,即: T= T1 + T2 =0.031+0.047=0.078 N m （2-13） 安全系數(shù)取2,則電機所需最小轉矩為: T3=2 T=20.078=0.056 N m （2-14） 選擇電機型號: KP56LMS2-1 步距角：1.80 最大啟動力矩:3.33 kg cm 2.3 同步齒形帶傳動設計 由2.2.2知,同步帶輸出轉矩為:0.22N m , 輸出轉速為:ω=150/s,單級傳動效率為:η=85%,

43、傳動比為:10,取安全系數(shù)為k=3,則同步帶傳遞功率為: P=k T ω/η2 =30.22(π/12)/0.852 =0.24w (2-15) 設傳動比分配為:第一級傳動i1=5, 第二級傳動i2=2, 帶輪依次為I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,則： Ⅳ輪轉速： n4=150/s=2.5 r/min Ⅱ、III輪轉速: n2=n3=i2n4=22.5=5r/min I輪轉速: n1=in4=102.5=25r/min 設中心距: L1=100mm,L2=250mm (1)求出設計功率 Pd 　 由文獻[12]表9.3-11查得載荷修正系數(shù) k0=1.6，因為未使用張緊輪,又是減速運動，故文獻[1

44、2]中表 9.3-11的附加修正系數(shù)均為零。則: 　 Pd=k0P=1.60.24=0.384 w (2)選擇帶的節(jié)距 　 由Pd=0.384W和 n1=25r/min，從[12]圖9.3-4中查得帶的節(jié)距代號為XL,對應的節(jié)距為Pd=5.08mm (見表9.3-1-2[1])。 (3)確定帶輪直徑和帶節(jié)線長 　 由表9.3-10[1]，帶輪 I齒數(shù)最小可取 10，考慮到制造和安裝等因素，取 Z1=13。則： 　 Z2=i1Z1=5Z1=65 根據(jù)【12]表 9.3-6標準系列，取Z2=60 同理可得: Z3=17, Z4=40 重新計算傳動比: i1= Z2/ Z1=60/13=4.6

45、 i2= Z4/ Z3=40/17=2.4 i= i1l2=10.8 由表 9.3-6可得 I,II,III,Ⅳ各帶輪的直徑: d1=21.02mm,　　　　　d2=97.02mm d3=27.49mm,　　　　　d4=64.68mm 由[12]式 (15)可得帶長計算公式: 　 (2-16) 式中: L---中心距mm 　 Lp---帶長　mm　 d1,d2一配合帶輪直徑 mm 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 代入數(shù)據(jù)計算 可得 : 按[12]表 9.3-2，選擇最接近算值的標準帶長: Lp1=406.4mm 齒數(shù) 80 代號160

46、 Lp2=635 mm 齒數(shù) 125 代號250 近似計算中心距: (2-17) 式中： L--- 中心距 mm Pb---節(jié)距,這里為5.080 mm Zb---- 帶齒數(shù)，這里 Zb1=80,Zb2=125 Z2,Z1為配合帶輪齒數(shù)則: 取整，則 L1=103mm 取整，則 L2=245mm 進行標準帶寬的選擇 : 　小帶輪I齒數(shù)Z1=13，轉速為n=25r/min，由[12]表9.3-12內插法得XL型帶的基準額定功率為P0=1.25W　 嚙合齒數(shù): 則嚙合齒數(shù)系數(shù)為: 　由文獻[13]表 4-20可以

47、查 Pb=50.8的 XL型同步帶的基準寬度為 Bs0=9.5mm, 同步帶寬為: 查文獻【13]表 4-25得帶寬的標準值，為安全可靠，帶寬bs=7.9mm 帶寬系數(shù)： 帶的許用拉應力查表 9.3-11[2]得 　Ta=50.17N　 帶的單位長度質量查表 9.3-11[l]得 　m=0.022 kg/m 帶的圓周速度 : 帶的工作能力:　 額定功率大于設計功率，故帶的傳動能力足夠 。 結果整理如下: 兩極同步帶類型均為為 XL型同步齒型帶Pb=5.08 mm,帶寬 bs=7.9mm 一級同步齒型帶齒數(shù): Zp1=80 帶長 Lp1=402 mm 代號 160 二級同步齒型帶齒

48、數(shù):　Zp2=125　 帶長　 Lp2=646.71 mm 代號 250 各帶輪齒數(shù)：Z1=13， Z2=60， Z3=17， Z4=40 各帶輪節(jié)徑：d1=21.02 mm ,d2=97.02 mm d3=27.49 mm d4=64.68 mm 傳動中心距：L1=103 mm L2=245 mm 圖2-1 SCARA機器人大臂結構圖 2.4 絲杠螺母設計 設絲杠所受軸向載荷總和為 34.3N，由于載荷較小，強度不成問題，根據(jù)結構要求，從標準系列中選取以下參數(shù): 螺距: t=2mm， 梯形螺紋 　 導程:　 s=2mm 　 頭數(shù):　 Z=1 螺母高度與螺紋中徑之比: φ=H/d2=1.

49、5 螺紋牙工作高度: h=1mm 2.4.1 絲杠耐磨性計算 　絲杠材料采用鋼 ，螺母材料選用青銅，根據(jù)[2]表3-8取許用比壓[P]=11N/mm2 對于單頭標準梯形螺紋: 式中，P—軸向載荷 N 根據(jù)標準系列，取絲杠公稱直徑：d=10mm 2.4.2 絲杠穩(wěn)定性計算 柔度: λ=μl/i 式中： μ 一長度系數(shù)，這里取2 l 一 絲杠最大工作長度，取120 mm i 一 危險截面慣性半徑，i=d1/4=2.25 mm 代入數(shù)據(jù)得: λ=106.7 絲杠臨界壓縮載荷: 式中: E一彈性模量, 鋼取20.58104 N/mm2 I一慣性矩, I=1/64 πd14490.

50、9mm4 代入數(shù)據(jù)得: Pc=17306.8 N 取絲杠穩(wěn)定安全系數(shù): nw=4 則 Pc/ nw=17306.8/4=4326.7 N 故絲杠穩(wěn)定. 2.4.3 絲杠剛度計算 一個導程的變形量的最大值: 式中: p一軸向載荷 34.3 N s一導　程　 2mm E一彈性模量 20.58104 N/mm2 d1一絲杠小徑　 9 mm M一絲杠傳遞扭矩, 由2.2.3知, M=T=0.078 N m G一切變模量, 83.3103 N/mm2 將數(shù)據(jù)代入得: 1000mm變形量為: δ1000=6.1510-3/2=3.08um 120mm變形量為: δ120=120δs/2= 0.3

51、7 um 由變形量可知，絲杠變形較小，剛度足夠。 2.4.4 絲杠和螺母螺紋牙強度計算 螺母所受彎曲應力 式中: b一齒根寬度 b=0.65s =1.3mm，其它字母意義同前。 青銅的許用彎曲應力為:[σw]=49N/mm2，故σw <[σw]. 螺母螺紋所受剪切應力: 青銅的許用剪切應力為[τ]=34.3N/mm2，故: τ<[τ] 絲杠螺紋所受彎曲應力 鋼的許用彎曲應力為[σ] w=72 N/mm2,故σ<[σ] w 絲杠的螺紋所受的剪切應力 鋼的許用剪切強度為[τ]=43 N/mm2,,故τ<[τ]。 以上校核表明，絲杠和螺母的螺紋牙強度足夠。 2.4.5 螺紋副自鎖條件校核 　

52、由[2]表3-10得，此螺紋副的當量摩擦系數(shù)fv=0.1。當量摩擦角為 由式 (2-6)知，螺旋升角為 　λ=　3.8340< 　， 故此螺紋副能自鎖。 結論 :絲杠螺母副公稱直徑d=10mm，導程p=2mm，剛度、強度、穩(wěn)定性均合格，且能自鎖。 2.5　各輸出軸的設計 各軸的材料均選用45號鋼，由【2]表 8-2知軸的許用扭剪應力[τ]=30MPa, 由許用應力確定的系數(shù)為C=120。 2.5.1 機身輸出軸設計 由2.2.1知，此軸傳遞扭矩 T=20N m，轉速ω=300/s，則傳遞功率為: P= Tw=20（π/6）=10.5W=0.0105kW n= (w /360)60=5r/min

53、 減速器的軸頸較大，故d的值可取大一些，這里取 d=30mm;軸承部分φ=30mm，軸承選為單列角接觸球軸承，軸承型號為7206AC，其余根據(jù)結構確定。由于載荷不大，軸承選的較大，強度足夠 ，這里不再詳算。 2.5.2 大臂輸出軸設計 由2.3知，此軸的設計功率為P=0.382W，轉速w=150/s,n= 1560/360=2.5 r/min則： 最小軸徑在兩臂連接處，有鍵槽，且承受一定彎矩，故取d=16mm，軸承部分軸徑選用φ17，其余按結構確定。，其余按結構確定。軸承選為單列角接觸球軸承，軸承型號為 7203C,其余根據(jù)結構確定。 2.5.3 帶輪軸設計: 此軸傳遞的扭矩為 此軸的轉

54、速為 w=300/s，則傳遞功率為: 由于軸上有鍵槽，且承受一定彎矩，故取 d=15mm，軸承處軸頸取為d=12mm。軸承選為單列角接觸球軸承，軸承型號為 7301C. 2.5.4 升降軸設計 升降軸上螺母與絲杠配合，故需設計成空心軸，主要承受軸向拉力，取內徑d=14mm，外徑 D=18mm，用兩光杠與一直線軸承導向。絲杠采用一對面對面角接觸球軸承支撐，軸承型號為7201AC。光杠采用φ5鋼棒 ，與升降軸同一平面平行放置，示意圖如下: 圖 2-2升降軸導向示意圖 由2.2.3知絲杠傳遞扭矩T=0.078N-m，則光杠所受圓周力 則光杠所受徑向力為 光杠撓度最大值 　 式中: 1一光

55、杠長度 120mm E一彈性模量　200Gpa I一慣性矩 πd4/4 將數(shù)據(jù)代入得: ymax=3.586um 2.6　殼體設計 機身部分采用鑄鋁材料，方形結構，臂厚 5-6mm。大臂殼體采用鑄鋁，U形結構，質量輕，強度大。底板厚度 4mm,上壁厚 4-5mm。側面采用透明塑料，厚度為 3mm左右。小臂外殼體采用鑄鋁，U形結構，底板厚度 4mm,上壁及筋板厚4-5mm。側面用塑料，厚度 3mm左右。 圖 2-3　SCARA機器人小臂及腕部結構圖 圖 2-4 SCARA機器人總體結構圖 第三章 SCARA機器人運動學分析 3.1 引言 機器人運動學涉及到機械手相對于固定參考系原

56、點幾何關系的分析研究，特別是機械手臂末端執(zhí)行器位置和姿態(tài)與關節(jié)空間變量之間的關系。 機器人運動學研究有兩類問題: 一類是構型已知，要求計算機器人末端手爪的位置與姿態(tài)問題，稱為正向運動學;另一類是己知末端手爪的位置與姿態(tài)求機器人對應該位姿的全部關節(jié)角，稱為逆運動學。顯然，正問題是簡單的，解是唯一的，但逆問題的解是復雜的，而且具有多解性，這給問題求解帶來困難，往往需要一些技巧與經(jīng)驗。事實上，逆運動學問題更為重要，它是機器人運動規(guī)劃和軌跡控制的基礎。 機械手可用一個開環(huán)關節(jié)鏈來建模，此鏈由數(shù)個剛體 (桿件)串聯(lián)而成。開鏈的一端固接在基座上，另一端是自由的。由于機器人末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)是由各桿件運

57、動形成的，采用 D-H法來描述和表達機械手各桿件相對于固定參考系的空間幾何學關系，從而把運動學問題同齊次變換矩陣聯(lián)系起來。 3.2　SCARA機器人正運動學分析 3.2.1　SCARA機器人連桿坐標系的建立 SCARA機器人屬于平面關節(jié)型機器人，對實際本體及其各連桿坐標系的建立見圖。 圖3-2 SCARA　機器人D-H桿件坐標系 圖3-3　SCARA　機器人D-H桿件坐標系 實際上，為了建模中問題的簡化，我們往往按照圖 3-3所示進行建模。在這里，不同之處主要在Z0和Z5。對于實際問題 Zo到Z1的變換矩陣和Z4到Z5的變換矩陣 (工具坐標變換)是常量，因此在數(shù)學建模時為了方便可以按照圖4

58、-3進行建模，最后在分別左乘和右乘兩個常數(shù)矩陣。本文都是以圖 3-3為基礎進行建模。 相應的連桿參數(shù)列于表 3-1。其中L1=340 mm, L2= 380 mm , 表中θ1,θ2,d3,θ4為關節(jié)變量。 采用Denavit-Hartenberg法為每個關節(jié)處的連桿坐標系建立齊次變換矩陣，表示它與前一個連桿坐標系的關系。設與機器人機座相固連的坐標系O0X0Y0Z0為參考坐標系，每個桿件固接一個動坐標系，根據(jù)表3-1各桿件間的關系，可以得到相應的位姿變換矩陣 (記為 “n-1Tn”)，見公式 (3-1) “n-1Tn”表示連桿n相對于前一連桿n-1的位置和姿態(tài)，其中，n=1~4.

59、 （3-1） 其中 ci---表示cos(θi) Si---表示sin(θi) 表3-1 D-H 參數(shù)表 # 關節(jié)轉角θ 連桿偏移d 連桿距離a 連桿扭角α 變量范圍 1 θ1 0 l1 0 -150≤θ1≤150 2 θ2 0 l2 π -150≤θ2 ≤150 3 0 d3 0 0 0

60、人末端執(zhí)行器的位姿方程 (正運動學方程)為; 0T4=0T1(θ1)1T2(θ2)2T3(d3)3T4(θ4)= （3-2） 其中;工具坐標系的z向矢量處于夾手指向物體的方向，稱之為接近矢量 ;工具坐標系的y向矢量的方向從一個指尖指向另一個指尖，處于規(guī)定夾手方向上，稱為方向矢量 ;最后一個矢量叫法線矢量 ，它與矢量 和矢量 一起構成一個右手矢量集合，由矢量的叉乘規(guī)定: 。 　公式(3-2)表示了SCARA機器人手臂變換矩陣0T4，它描述了末端連桿坐標系 {4}相對于基坐標系 {0}的位姿，是機械手運動分析的基礎。 　把式(3-1)中的值代入式 (3-2)可得: nx=c1c2c4-s1

61、s2s4+c1s2s4+s1c2s4=c12-4 ny=s1c2c4+c1s2c4+s1s2s4-c1c2s4=s12-4 nz=0 ox=s1c2c4+ c1s2c4+s1s2s4-c1c2s4=c12-4 oy=-c1c2c4+s1s2s4-c1s2s4-s1c2s4=-c12-4 oz=0 ax=0 ay=0 az=-1 px=c1c2l2-s1s2l2+c1l1=c12l2+c1l1 py=s1c2l2+c1s2l2+s1l1=s12l2+s1l1 pz=-d3 (3-3) 式中 ：c12-4表示co

62、s(θ1+θ2-θ4) s12-4表示sin(θ1+θ2-θ4) c12表示cos(θ1+θ2) s12表示sin(θ1+θ2 ) 最后得: (3-4) 通過建立各關節(jié)的連桿坐標系，然后利用 D-H 法建立齊次變換矩陣，就可以直觀地進行末端執(zhí)行器的位姿矩陣的求解,方便,易掌握、便于檢查。 3.3 SCARA機器人逆運動學分析 給定機器人終端位姿，求各關節(jié)變量，以驅動關節(jié)上的電機，從而使手部的位姿符合要求，稱為求機器人運動學逆解，也就是機器人逆運動學問題。 從工程應用角度而言，機器人的運動學逆解問題往往更有實際意義，它是機器人運動規(guī)劃和軌跡控制的基礎。正向

63、運動學的解是唯一的，然而運動學反問題往往具有多重解，如果位于工作空間外也可能沒有解。另外，對于運動學逆解而言，還要求計算方法的計算效率、 計算精度等較多要求，最理想的情況是得到封閉解。 運動學逆解的方法有封閉解和數(shù)值解兩種。封閉解的具體步驟和最終公式，因機器人的具體構形而異，但是，計算速度快，效率高，便于實時控制。數(shù)值解不具備這些特點，它是人們尋求位姿逆解的通解而得到的方法，由于計算量大，計算時間往往不能滿足實時控制的需要，在多重解的情況下，某些迭代算法不能保證求出所有解，而且非線性方程的數(shù)值解法本身還有待研究，因此這一方法目前只具有理論意義。封閉解法有代數(shù)解法和幾何解法。目前已建立的一種系

64、統(tǒng)化的代數(shù)解法為:運用左乘逆矩陣來求解腕的運動學逆解，運用臂終端位置來求臂的運動學逆解，運用臂腕分離法求整個機器人的逆解。常用的是Paul提出的反變換法 (也稱代數(shù)方法)。 機器人正運動學方程為: 0T4=0T1(θ1)1T2(θ2)2 T 3(d3)3T4(θ4) （3-5） (1) 求關節(jié)變量θ1 分離變量，對方程兩邊同時左乘0T1-1(θ1),得 （3-6） 即： (3-7) 令左右矩陣中的第一行第四個元素，第二行第四個元素分別相等。即 cosθ1 px+sinθ1 py-l1=cosθ2 l2 (3-8) - sinθ1