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新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點(diǎn)29離散型隨機(jī)變量及其分布列含解析

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新課標(biāo)高考數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí):考點(diǎn)29離散型隨機(jī)變量及其分布列含解析

考點(diǎn)29 離散型隨機(jī)變量及其分布列、 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用、離散型隨機(jī)變量的均值與方差 1.(20xx海南寧夏高考理科T6)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為( ) (A)100 (B)200 (C)300 (D)400 【命題立意】本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望的公式. 【思路點(diǎn)撥】通過題意得出補(bǔ)種的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布. 【規(guī)范解答】選B.由題意可知,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,服從二項(xiàng)分布,即,所以X的數(shù)學(xué)期望. 2.(20xx山東高考理科T5)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則( ) (A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977 【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎(chǔ)知識,考查考生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,于是得到 與的關(guān)系,最后進(jìn)行求解. 【規(guī)范解答】 選C.因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱,又,所以,所以0.954, 故選C. 3.(20xx江蘇高考T22)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%;乙產(chǎn)品的一等品率為90%,二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤4萬元,若是二等品則虧損1萬元;生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤6萬元,若是二等品則虧損2萬元.設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立. 記X(單位:萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤,求X的分布列; 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率. 【命題立意】本題主要考查概率的有關(guān)知識,考查運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】利用獨(dú)立事件的概率公式求解. 【規(guī)范解答】(1)由題設(shè)知,X的可能取值為10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.80.9=0.72, P(X=5)=0.20.9=0.18, P(X=2)=0.80.1=0.08, P(X=-3)=0.20.1=0.02. 由此得X的分布列為: X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 (2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件,則二等品有件. 由題設(shè)知,解得, 又,得或. 所求概率為. 答:生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192. 4.(20xx安徽高考理科T21)品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試,一種通常采用的測試方法如下:拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗,要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序;經(jīng)過一段時間,等其記憶淡忘之后,再讓其品嘗這瓶酒,并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序,這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)設(shè),分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號,并令, 則是對兩次排序的偏離程度的一種描述. (1)寫出的可能值集合; (2)假設(shè)等可能地為1,2,3,4的各種排列,求的分布列; (3)某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中,都有, ①試按(2)中的結(jié)果,計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率(假定各輪測試相互獨(dú)立); ②你認(rèn)為該品酒師的酒味鑒別功能如何?說明理由. 【命題立意】本題主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列,考查考生的計數(shù)能力,抽象概括能力,概率思想在生活中的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 【思路點(diǎn)撥】用列表或樹形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況,計算每一種排列下的X值, 即可得出其分布列及相關(guān)事件的概率. 【規(guī)范解答】(I)X的可能值的集合為. (II)1,2,3,4的排列共24種,在等可能的假定下,計算每種排列下的X值,得到 X 0 2 4 6 8 (III)(i) (ii)由于是一個很小的概率,這表明如果僅憑隨機(jī)猜測得到三輪測試都有X的結(jié)果的可能性很小,所以可以認(rèn)為該品酒師確實(shí)有良好的味覺鑒別功能,不是靠隨機(jī)猜測. 5.(20xx浙江高考理科T19)如圖,一個小球從M處投入,通過管道 自上而下落到A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個 管道的可能 性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動,若投入的小球落到 A,B,C,則分別設(shè)為l,2,3等獎. (1)已知獲得l,2,3等獎的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變 量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率,求隨機(jī)變量的分布列及期望; (2)若有3人次(投入l球?yàn)閘人次)參加促銷活動,記隨機(jī)變量為獲得 1等獎或2等獎的人次,求. 【命題立意】本題主要考查隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念,同時考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識. 【思路點(diǎn)撥】(1)求分布列時,要先找出從M出發(fā)到相應(yīng)的位置有幾種路,然后再用獨(dú)立事件的乘法公式. 如從M到A有兩種路,所以;(2)第(2)題是一個二項(xiàng)分布問題. 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)由題意得ξ的分布列為 ξ 50% 70% 90% P 則Εξ=50%+70%+90%=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,獲得1等獎或2等獎的概率為+=. 由題意得η~B(3,)則P(η=2)=()2(1-)=. 【方法技巧】1.獨(dú)立事件的概率滿足乘法公式,互斥事件的概率滿足加法公式; 2.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是一個很重要的試驗(yàn),要注意在實(shí)際問題中的應(yīng)用. 6.(20xx北京高考理科T17)某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為,(>),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù),其分布列為 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率; (Ⅱ)求,的值; (Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望ξ. 【命題立意】本題考查了對立事件、獨(dú)立事件的概率及期望的求法. 【思路點(diǎn)撥】(1)“至少”問題一般用對立事件求概率方便.(2)利用獨(dú)立事件分別求出時的概率,聯(lián)立方程解出的值.(3)求出,代入期望公式即可. 【規(guī)范解答】事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”,=1,2,3,由題意知 ,, (I)由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的,所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 , (II)由題意知 整理得 , 由,可得,. (III)由題意知 = d = =. 【方法技巧】(1)“至少”“至多”問題,一般采用對立事件求概率較容易; (2)事件A與B獨(dú)立,則. 7.(20xx福建高考理科T16)設(shè)S是不等式的解集,m,nS. (I)記“使得m + n = 0 成立的有序數(shù)組(m , n)”為事件A,試列舉A包含的基本事件; (II)設(shè)=,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【命題立意】本題考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識,考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【思路點(diǎn)撥】第一步先求解出一元二次不等式的解集,得到集合S,進(jìn)而求出A所包含的基本事件;第二步求出m的可能取值,再求出的可能取值,計算出所對應(yīng)的概率,畫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望. 【規(guī)范解答】(I),則 由有,因此A包含的基本事件為: ; (II)的可能取值為,則的可能取值為 , 因此的分布列為: 0 1 4 9 所以其數(shù)學(xué)期望為 【方法技巧】有關(guān)概率統(tǒng)計的問題,利用枚舉法求解越來越常見,枚舉時一定要考慮全面,漏解是最常見的錯誤,如本題要求的是有序數(shù)組(m,n),坐標(biāo)的位置是有序的,如(1,2)和(2,1)是不同的情況,不能當(dāng)成同一種.因?yàn)檫@部分內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系比較大,隨著新課改的深入,高考將越來越重視這部分的內(nèi)容,試題的難度為中等或中等偏易. 8.(20xx山東高考理科T20)某學(xué)校舉行知識競賽,第一輪選拔共設(shè)有四個問題,規(guī)則如下: 每位參加者計分器的初始分均為10分,答對問題分別加1分、2分、3分、6分,答錯任一題減2分; 每回答一題,計分器顯示累計分?jǐn)?shù),當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時,答題結(jié)束,淘汰出局;當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時,答題結(jié)束,進(jìn)入下一輪;當(dāng)答完四題,累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時,答題結(jié)束,淘汰出局; 每位參加者按問題順序作答,直至答題結(jié)束. 假設(shè)甲同學(xué)對問題回答正確的概率依次為,且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率; (2)用表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【命題立意】本題考查了相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率,考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的知識,考查了考生利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力. 【思路點(diǎn)撥】(1)甲能進(jìn)入下一輪有以下幾種情形:前三個問題回答正確;第一個問題回答錯誤,后三個問題回答正確;只有第二個問題回答錯誤;只有第三個問題回答錯誤;第一、三錯誤,第二、四正確. (2)隨機(jī)變量的可能取值為2,3,4. 【規(guī)范解答】用表示甲同學(xué)第個問題回答正確,用表示甲同學(xué)第個問題回答錯誤.則與互為對立事件,由題意得P(M1) P(M2) P(M3) P(M4)所以P(N1) P(N2) P(N3) 記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q, Q=++++, 由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立,因此 P(Q)= P(++++) =++++ =++++=. (2)由題意,隨機(jī)變量的可能取值為2,3,4,由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立,因此 P( P(=3) =P(M1M2M3)+ P(M1N2N3) P(=4) =1- P(=2)-P(=3)=1- 所以的分布列為 2 3 4 數(shù)學(xué)期望=++4=. 9. (20xx天津高考理科T18)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響. (1)假設(shè)這名射手射擊5次,求恰有2次擊中目標(biāo)的概率; (2)假設(shè)這名射手射擊5次,求有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)的概率; (3)假設(shè)這名射手射擊3次,每次射擊,擊中目標(biāo)得1分,未擊中目標(biāo)得0分,在3次射擊中,若有2次連續(xù)擊中,而另外1次未擊中,則額外加1分;若3次全擊中,則額外加3分,記為射手射擊3次后的總的分?jǐn)?shù),求的分布列. 【命題立意】本小題主要考查二項(xiàng)分布及其概率計算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力. 【思路點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)分布及獨(dú)立事件的概率公式求解. 【規(guī)范解答】(1)設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),則~.在5次射擊中, 恰有2次擊中目標(biāo)的概率 (2)設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件;“射手在5次射擊中,有3次連續(xù)擊中目標(biāo),另外2次未擊中目標(biāo)”為事件,則 == (3)由題意可知,的所有可能取值為 P( P( = P( P( P( 所以的分布列是 0 1 2 3 6 P

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