考點29 離散型隨機變量及其分布列、 二項分布及其應用、離散型隨機變量的均值與方差 1．（20xx海南寧夏高考理科T6）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為（ ） （A）100 （B）200 （C）300 （D）400 【命題立意】本題主要考查了二項分布的期望的公式. 【思路點撥】通過題意得出補種的種子數(shù)服從二項分布. 【規(guī)范解答】選Ｂ.由題意可知，補種的種子數(shù)記為X，服從二項分布，即，所以X的數(shù)學期望. 2．（20xx山東高考理科Ｔ5）已知隨機變量服從正態(tài)分布,若,則（ ） (A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977 【命題立意】本題考查正態(tài)分布的基礎知識,考查考生的推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】先由服從正態(tài)分布得出正態(tài)曲線關于直線對稱,于是得到 與的關系，最后進行求解. 【規(guī)范解答】 選C.因為隨機變量服從正態(tài)分布,所以正態(tài)曲線關于直線對稱,又,所以,所以0.954, 故選C. 3．（20xx江蘇高考Ｔ22）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元.設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立. 記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列； 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率. 【命題立意】本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力. 【思路點撥】利用獨立事件的概率公式求解. 【規(guī)范解答】（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，-3，且 P（X=10）=0.80.9=0.72， P（X=5）=0.20.9=0.18， P（X=2）=0.80.1=0.08， P（X=-3）=0.20.1=0.02. 由此得X的分布列為： X 10 5 2 -3 P 0.72 0.18 0.08 0.02 （2）設生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件. 由題設知，解得， 又，得或. 所求概率為. 答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192. 4．（20xx安徽高考理科Ｔ21）品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)設，分別以表示第一次排序時被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令， 則是對兩次排序的偏離程度的一種描述. (1)寫出的可能值集合； (2)假設等可能地為1,2,3,4的各種排列，求的分布列； (3)某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有， ①試按(2)中的結(jié)果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）； ②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由. 【命題立意】本題主要考查離散型隨機變量及其分布列，考查考生的計數(shù)能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的應用意識和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】用列表或樹形圖表示1,2,3,4的排列的所有可能情況，計算每一種排列下的X值， 即可得出其分布列及相關事件的概率. 【規(guī)范解答】（I）X的可能值的集合為. （II）1,2,3,4的排列共24種，在等可能的假定下，計算每種排列下的X值，得到 X 0 2 4 6 8 （III）（i） （ii）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有X的結(jié)果的可能性很小，所以可以認為該品酒師確實有良好的味覺鑒別功能,不是靠隨機猜測. 5．（20xx浙江高考理科Ｔ19）如圖，一個小球從M處投入，通過管道 自上而下落到A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個 管道的可能 性是相等的．某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到 A，B，C，則分別設為l，2，3等獎． (1)已知獲得l，2，3等獎的折扣率分別為50％，70％，90％．記隨機變 量為獲得k(k=1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量的分布列及期望； (2)若有3人次(投入l球為l人次)參加促銷活動，記隨機變量為獲得 1等獎或2等獎的人次，求． 【命題立意】本題主要考查隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望、二項分布等概念，同時考查抽象概括、運算求解能力和應用意識. 【思路點撥】（1）求分布列時，要先找出從M出發(fā)到相應的位置有幾種路，然后再用獨立事件的乘法公式. 如從M到A有兩種路，所以；（2）第（2）題是一個二項分布問題. 【規(guī)范解答】 (Ⅰ)由題意得ξ的分布列為 ξ 50％ 70％ 90％ P 則Εξ=50％+70％+90％=. （Ⅱ）由(Ⅰ)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為+=. 由題意得η～B（3，）則P（η=2）=()2(1-)=. 【方法技巧】1.獨立事件的概率滿足乘法公式，互斥事件的概率滿足加法公式； 2.n次獨立重復試驗是一個很重要的試驗，要注意在實際問題中的應用. 6．（20xx北京高考理科Ｔ１7）某同學參加3門課程的考試.假設該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，(＞)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求數(shù)學期望ξ. 【命題立意】本題考查了對立事件、獨立事件的概率及期望的求法. 【思路點撥】（1）“至少”問題一般用對立事件求概率方便.（2）利用獨立事件分別求出時的概率，聯(lián)立方程解出的值.（3）求出，代入期望公式即可. 【規(guī)范解答】事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1,2,3，由題意知 ，， （I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是 ， （II）由題意知 整理得 ， 由，可得，. （III）由題意知 = d = =. 【方法技巧】（1）“至少”“至多”問題，一般采用對立事件求概率較容易； （2）事件A與B獨立，則. 7．（20xx福建高考理科Ｔ16）設S是不等式的解集，m，nS. （I）記“使得m + n = 0 成立的有序數(shù)組（m , n）”為事件A，試列舉A包含的基本事件； （II）設＝，求的分布列及其數(shù)學期望. 【命題立意】本題考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識，考查分類與整合思想、必然與或然、化歸與轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】第一步先求解出一元二次不等式的解集，得到集合S，進而求出A所包含的基本事件；第二步求出m的可能取值，再求出的可能取值，計算出所對應的概率，畫出分布列，求出數(shù)學期望. 【規(guī)范解答】（I），則 由有，因此A包含的基本事件為： ； （II）的可能取值為，則的可能取值為 ， 因此的分布列為： 0 1 4 9 所以其數(shù)學期望為 【方法技巧】有關概率統(tǒng)計的問題，利用枚舉法求解越來越常見，枚舉時一定要考慮全面，漏解是最常見的錯誤，如本題要求的是有序數(shù)組（m，n），坐標的位置是有序的，如（1,2）和（2,1）是不同的情況，不能當成同一種.因為這部分內(nèi)容與實際生活聯(lián)系比較大，隨著新課改的深入，高考將越來越重視這部分的內(nèi)容，試題的難度為中等或中等偏易. 8．（20xx山東高考理科Ｔ20）某學校舉行知識競賽,第一輪選拔共設有四個問題，規(guī)則如下： 每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分； 每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局； 每位參加者按問題順序作答，直至答題結(jié)束. 假設甲同學對問題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響. (1)求甲同學能進入下一輪的概率； （2）用表示甲同學本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望. 【命題立意】本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查了離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望的知識，考查了考生利用所學知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】(1)甲能進入下一輪有以下幾種情形：前三個問題回答正確；第一個問題回答錯誤，后三個問題回答正確；只有第二個問題回答錯誤；只有第三個問題回答錯誤；第一、三錯誤，第二、四正確. (2)隨機變量的可能取值為2，3，4. 【規(guī)范解答】用表示甲同學第個問題回答正確，用表示甲同學第個問題回答錯誤.則與互為對立事件，由題意得P(M1) P(M2) P(M3) P(M4)所以P(N1) P(N2) P(N3) 記“甲同學能進入下一輪”為事件Q， Q=++++， 由于每題答題結(jié)果相互獨立，因此 P(Q)= P(++++) =++++ =++++=. （2）由題意，隨機變量的可能取值為2，3，4，由于每題答題結(jié)果相互獨立，因此 P( P(=3) =P(M1M2M3)+ P(M1N2N3) P(=4) =1- P(=2)-P(=3)=1- 所以的分布列為 2 3 4 數(shù)學期望=++4=. 9. （20xx天津高考理科Ｔ１8）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響. （1）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率； （2）假設這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標的概率； （3）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求的分布列. 【命題立意】本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力. 【思路點撥】利用二項分布及獨立事件的概率公式求解. 【規(guī)范解答】（1）設為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則～.在5次射擊中， 恰有2次擊中目標的概率 （2）設“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則 == （3）由題意可知，的所有可能取值為 P( P( = P( P( P( 所以的分布列是 0 1 2 3 6 P