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1、 專題10 立體幾何 一．基礎(chǔ)題組 1. 【20xx全國新課標，文7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B　 2. 【20xx全國新課標，文7】設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 【答案】：B　 3. 【2007全國2，文7】已知正三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于( )

2、 (A) (B) (C) (D) 【答案】：A 4. 【2006全國2，文7】如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、若AB=12,則( ) （A）4　　　（B）6 （C）8　　　?。―）9 【答案】B 【解析】連接AB'和A'B，設(shè)AB=a，可得AB與平面α所成的角為，在Rt△BAB'中有，同理可得AB與平面β所成的角為，所以，因此在Rt△AA'B'中，所以，又因為AB=12,所以 5. 【2005全國3，文4】設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)

3、棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 6. 【2005全國2，文2】正方體中，、、分別是、、的中點．那么，正方體的過、、的截面圖形是（ ） (A) 三角形 (B) 四邊形 (C) 五邊形 (D) 六邊形 【答案】D 7. 【2007全國2，文15】一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2. 【答案】： 【解析】這個正四棱柱，體對角線為2cm，底面為邊長1cm的正方形，則根據(jù)勾股

4、定理，解得，則表面積. 8. 【20xx全國2，文18】（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，是的中點. （Ⅰ）證明：//平面； （Ⅱ）設(shè)，三棱錐的體積，求到平面的距離. 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） 9. 【20xx課標全國Ⅱ，文18】(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點． (1)證明：BC1∥平面A1CD； (2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱錐C－A1DE的體積． (2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD. 由已知AC＝CB，D為AB的中點，所以C

5、D⊥AB. 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 所以VC－A1DE＝＝1. 10. 【20xx全國新課標，文19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中點． (1)證明：平面BDC1⊥平面BDC； (2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比． 11. 【20xx全國新課標，文18】如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD

6、，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點． （1）證明：平面PAC⊥平面PBD； （2）若AB＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P—ABCD的體積． 12. 【2005全國2，文20】(本小題滿分12分) 如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，、分別為、的中點． (Ⅰ) 求證：平面； (Ⅱ) 設(shè)，求與平面所成的角的大?。? (II)解：不妨設(shè)BC=1，則PD=AD=1，AB=，PA=，AC= ∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF=1且AF⊥PB ∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直 ∴PB⊥平面AEF

7、 連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH∥平面AEF ∠GAH為AC與平面AEF所成的角 由△EGC∽△BGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC= 由△EGH∽△EBF可知GH=BF= ∴∠GAH= ∴AC與平面AEF所成的角為。 方法二 以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系。 ∴異面直線AC、PB所成的角為 ∴=0，PB⊥AF 又PB⊥EF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線 ∴PB⊥平面AEF ∴AC與平面AEF所成的角為－ 即AC與平面AEF所成的角為。 二．能力題組 1. 【20xx全國2，文6】如圖，網(wǎng)格紙上

8、正方形小格的邊長為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 【20xx課標全國Ⅱ，文9】一個四面體的頂點在空間直角坐標系O－xyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為(　　)． 【答案】：A 【解析】：如圖所示，該四面體在空間直角坐標系O－xyz的圖像為下圖： 則它

9、在平面zOx的投影即正視圖為，故選A. 3. 【20xx全國新課標，文8】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 4. 【20xx全國2，文8】已知三棱錐S—ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 【答案】：D　 【解析】法一：(幾何法)如圖，取BC中點D，連結(jié)AD、SD. 法二：(向量法)以A為原點，分別以AB、AS所在直線

10、為x軸、z軸建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x，y，z)． 則， 得n＝(3，，2)，又＝(2,0,0)， ∴當α為AB與平面SBC所成的角時，sinα＝|cos〈，n〉|＝＝＝ 5. 【20xx全國新課標，文15】一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的____________．(填入所有可能的幾何體前的編號) ①三棱錐　②四棱錐?、廴庵、芩睦庵、輬A錐 ⑥圓柱 【答案】：①②③⑤ 6. 【2006全國2，文14】圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比為

11、，則圓心到球心的距離與球半徑的比＿＿＿＿＿。 【答案】 【解析】 7. 【2006全國2，文20】（本小題１２分） 如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。 （I）證明：ED為異面直線與的公垂線； （II）設(shè)求二面角的大小 不妨設(shè)AA1＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°． 所以二面角A1－AD－C1為60°． ………12分 解法二： （Ⅰ）如圖，建立直角坐標系O－xyz，其中原點O為AC的中點． 8. 【2005全國3，文19】(本小題滿分12分) 在四棱錐V

12、-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD． （Ⅰ）證明AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD與面VDB所成的二面角的大?。? 設(shè)是面VDB的法向量，則 ……9分 ∴，……………………………………11分 又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為…………12分 三．拔高題組 1. 【20xx全國2，文7】正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，為中點，則三棱錐的體積為( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 2. 【20

13、xx全國2，文11】與正方體ABCD—A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(　　) A．有且只有1個 B．有且只有2個 C．有且只有3個 D．有無數(shù)個 【答案】：D　 【解析】經(jīng)驗證線段B1D上的點B，D，中點，四等分點均滿足題意，故由排除法知應(yīng)有無數(shù)個點． 3. 【2005全國3，文11】不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有 （ ） A．3個 B．4個 C．6個 D．7個 【答案】D 【解析】 4. 【2005全國2，文12】△的頂點在平面內(nèi)，、在的同一側(cè)，、與所成的角分別是和．若，，，則與所

14、成的角為（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】 5. 【20xx課標全國Ⅱ，文15】已知正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為__________． 【答案】：24π 6. 【2010全國2，文16】已知球O的半徑為4，圓M與圓N為該球的兩個小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB＝4，若OM＝ON＝3，則兩圓圓心的距離MN＝________. 【答案】：3 7. 【2005全國2，文16】下面是關(guān)于三棱錐的四個命題： ① 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱

15、錐． ② 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐． ③ 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐． ④ 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐. 其中，真命題的編號是______________．(寫出所有真命題的編號） 【答案】①④ 8. 【20xx全國2，文19】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D為BB1的中點，E為AB1上的一點，AE＝3EB1. (1)證明DE為異面直線AB1與CD的公垂線； (2)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1AC1B1的

16、大?。? 【解析】：法一：(1)證明：連結(jié)A1B，記A1B與AB1的交點為F， 因為面AA1B1B為正方形，故A1B⊥AB1，且AF＝FB1，又AE＝3EB1，所以FE＝EB1，又D為BB1的中點，故DE∥BF，DE⊥AB1. 作CG⊥AB，G為垂足，由AC＝BC知，G為AB中點． 又由底面ABC⊥面AA1B1B，得CG⊥面AA1B1B， 連結(jié)DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD， 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線． 所以二面角A1AC1B1的大小為arctan. 解法二：(1)證明：以B為坐標原點，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角

17、坐標系Bxyz， 設(shè)AB＝2，則A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，，0)， 又設(shè)C(1,0，c)，則＝(，，0)，＝(2，－2,0)，＝(1，－1，c)． 于是＝0，＝0， 故DE⊥B1A，DE⊥DC， 所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線． (2)因為〈，〉等于異面直線AB1與CD的夾角， 令p＝，則q＝，r＝－1，故n＝(，，－1)． 所以cos〈m，n〉＝＝. 由于〈m，n〉等于二面角A1AC1B1的平面角， 所以二面角A1AC1B1的大小為arccos. 9. 【2007全國2，文20】（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點. (Ⅰ)求證：EF∥ 平面SAD (Ⅱ)設(shè)SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小. 取中點，連結(jié)，則. 又平面，所以，而， 所以面. 取中點，連結(jié)，則. 連結(jié)，則. 故為二面角的平面角 . 所以二面角的大小為. 解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標系. 所以向量和的夾角等于二面角的平面角. . 所以二面角的大小為.