高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 第十二篇 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)
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1、 精品資料 第1講 算法的含義及流程圖 知 識 梳 理 1.算法與流程圖 (1)算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成. (2)流程圖是由一些圖框和流程線組成的,其中圖框表示各種操作的類型,圖框中的文字和符號表示操作的內(nèi)容,流程線表示操作的先后次序. 2.三種基本邏輯結(jié)構(gòu) (1)順序結(jié)構(gòu)是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的,這是任何一個算法都離不開的基本結(jié)構(gòu). 其結(jié)構(gòu)形式為 (2)選擇結(jié)構(gòu)是指算法的流程根據(jù)給定的條件是否成立而選擇執(zhí)行不同的流
2、向的結(jié)構(gòu)形式,也稱為分支結(jié)構(gòu). 其結(jié)構(gòu)形式為 (3)循環(huán)結(jié)構(gòu)是指在算法中,需要重復(fù)執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu). 反復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體.循環(huán)結(jié)構(gòu)又分為當(dāng)型和直到型.循環(huán)結(jié)構(gòu)主要用在一些有規(guī)律的重復(fù)計(jì)算的算法中,如累加求和,累乘求積等問題常常需要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來設(shè)計(jì)算法. 其結(jié)構(gòu)形式為 3.賦值語句、輸入語句、輸出語句 賦值語句用符號“←”表示,其一般格式是變量←表達(dá)式(或變量),其作用是對程序中的變量賦值;輸入語句“Read a,b”表示輸入的數(shù)據(jù)依次送給a,b,輸出語句“Print x”表示輸出運(yùn)算結(jié)果x. 4.算法的選擇結(jié)構(gòu)由條件語句來表達(dá),條件語句有兩種,一種 是If-
3、Then-Else語句,其格式是 5.算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu),可以運(yùn)用循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn). (1)當(dāng)循環(huán)的次數(shù)已經(jīng)確定,可用“For”語句表示“For”語句的一般形式為 說明:上面“For”和“End for”之間縮進(jìn)的步驟稱為循環(huán)體,如果省略“Step步長”,那么重復(fù)循環(huán)時,I每次增加1. (2)不論循環(huán)次數(shù)是否確定都可以用下面循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)當(dāng)型和直到型兩種語句結(jié)構(gòu). 當(dāng)型語句的一般格式是 直到型語句的一般格式是 辨 析 感 悟 1.對算法概念的認(rèn)識 (1)任何算法必有條件結(jié)構(gòu).() (2)算法可以無限操作下去.() 2.對程序框圖的認(rèn)識 (3)?是賦值框,有計(jì)算功能.
4、() (4)當(dāng)型循環(huán)是給定條件不成立時,執(zhí)行循環(huán)體,反復(fù)進(jìn)行,直到條件成立為止.() (5)(2012江西卷改編)下圖是某算法的流程圖,則算法運(yùn)行后輸出的結(jié)果是3.(√) 3.對算法語句的理解 (6)5=x是賦值語句.() (7)輸入語句可以同時給多個變量賦值.(√) [感悟提升] 三點(diǎn)提醒 一是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法,一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu),還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán),直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體,再判斷; 二是注意輸入框、處理框、判斷框的功能,不能混用,如(3); 三是賦值語句賦值號左邊只能是變量,不能是表達(dá)式,右邊的表達(dá)
5、式可以是一個常量、變量或含變量的運(yùn)算式. 考點(diǎn)一 基本邏輯結(jié)構(gòu) 【例1】 (1)(2013山東卷改編)執(zhí)行兩次如圖1所示的流程圖,若第一次輸入的a的值為-1.2,第二次輸入的a的值為1.2,則第一次、第二次輸出的a的值分別為________. 圖1 圖2 (2)(2013廣東卷改編)執(zhí)行如圖2所示的流程圖,若輸入n的值為3,則輸出s的值是________. 解析 (1)執(zhí)行流程圖,第一次輸入a=-1.2<0,a=-0.2<0,a=0.8>0且0.8<1,故輸出a=0.8;第二次輸入a=1.2>0且1.2>1,a=0.2<1,故輸出a=0.2. (2)第1次執(zhí)行循
6、環(huán):s=1,i=2(2≤3成立);第2次執(zhí)行循環(huán):s=2,i=3(3≤3成立);第三次執(zhí)行循環(huán):s=4,i=4(4≤3不成立),結(jié)束循環(huán),故輸出的s=4. 答案 (1)0.8,0.2 (2)4 規(guī)律方法 此類問題的一般解法是嚴(yán)格按照流程圖設(shè)計(jì)的計(jì)算步驟逐步計(jì)算,逐次判斷是否滿足判斷框內(nèi)的條件,決定循環(huán)是否結(jié)束.要注意初始值的變化,分清計(jì)數(shù)變量與累加(乘)變量,掌握循環(huán)體等關(guān)鍵環(huán)節(jié). 【訓(xùn)練1】 (2013天津卷改編)閱讀下邊的流程圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出n的值為________. 解析 第1次,S=-1,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第2次,n=2,S=1,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第3次,
7、n=3,S=-2,不滿足判斷框內(nèi)的條件;第4次,n=4,S=2,滿足判斷框內(nèi)的條件,結(jié)束循環(huán),所以輸出的n=4. 答案 4 考點(diǎn)二 流程圖的識別與應(yīng)用問題 【例2】 (1)(2013新課標(biāo)全國Ⅱ卷改編)執(zhí)行如圖1的流程圖,如果輸入的N=4,那么輸出的S=________. 圖1 圖2 ①1+++;②1+++;③1++++;④1++++ (2)(2013重慶卷改編)執(zhí)行如圖2所示的流程圖,如果輸出s=3,那么判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是________. ①k≤6;②k≤7;③k≤8;④k≤9 解析 (1)由框圖知循環(huán)情況為:T=1,S=1,k=2;T=,S=1+,
8、k=3;T=,S=1++,k=4;T=,S=1+++,k=5>4,故輸出S. (2)首次進(jìn)入循環(huán)體,s=1log23,k=3;第二次進(jìn)入循環(huán)體,s==2,k=4;依次循環(huán),第六次進(jìn)入循環(huán)體,s=3,k=8,此時終止循環(huán),則判斷框內(nèi)填k≤7. 答案 (1)② (2)② 規(guī)律方法 識別、運(yùn)行流程圖和完善流程圖的思路 (1)要明確流程圖的順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu). (2)要識別、運(yùn)行流程圖,理解框圖所解決的實(shí)際問題. (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證. 【訓(xùn)練2】 (2013福建卷改編) 閱讀如圖所示的流程圖,若輸入的k=10,則該算法的功能是________. ①計(jì)算數(shù)
9、列{2n-1}的前10項(xiàng)和;②計(jì)算數(shù)列{2n-1}的前9項(xiàng)和;③計(jì)算數(shù)列{2n-1}的前10項(xiàng)和;④計(jì)算數(shù)列{2n-1}的前9項(xiàng)和. 解析 由流程圖可知:輸出S=1+2+22+…+29,所以該算法的功能是計(jì)算數(shù)列{2n-1}的前10項(xiàng)的和. 答案 ① 考點(diǎn)三 基本算法語句 【例3】 (2014南京調(diào)研)寫出下列偽代碼的運(yùn)行結(jié)果. (1)圖1的運(yùn)行結(jié)果為________; (2)圖2的運(yùn)行結(jié)果為________. 解析 (1)圖1的偽代碼是先執(zhí)行S←S+i,后執(zhí)行i←i+1 ∴S=0+1+2+…+(i-1)=>20,∴i的最小值為7. (2)圖2的偽代碼是先執(zhí)行
10、i←i+1,后執(zhí)行S←S+i, ∴S=0+1+2+…+i=>20.∴i的最小值為6. 答案 (1)7 (2)6 規(guī)律方法 編寫偽代碼的關(guān)鍵在于搞清問題的算法,特別是算法結(jié)構(gòu),然后確定采取哪一種算法語句. 【訓(xùn)練3】 下面是一個算法的偽代碼,如果輸入的x的值是20,則輸出的y的值是________. 解析 ∵x=20>5, ∴執(zhí)行賦值語句y=7.5x=7.520=150. 答案 150 1.在設(shè)計(jì)一個算法的過程中要牢記它的五個特征:概括性、邏輯性、有窮性、不唯一性、普遍性. 2.算法的思想與數(shù)學(xué)知識的融合會是新高考命題的方向,要注意此方面知識的積累. 3.條件語句一般
11、用在需要對條件進(jìn)行判斷的算法設(shè)計(jì)中,如判斷一個數(shù)的正負(fù),確定的兩個數(shù)的大小等問題都要用到條件語句. 4.循環(huán)語句有“直到型”與“當(dāng)型”兩種,要區(qū)別兩者的異同,主要解決遇到需要反復(fù)執(zhí)行的任務(wù)時,用循環(huán)語句編寫偽代碼. 教你審題11——算法語句的識別與讀取 【典例】 (2013陜西卷改編)根據(jù)如圖所示的偽代碼,當(dāng)輸入x為60時,輸出y的值為________. [審題] 一審圖:本題是一個含條件語句的偽代碼. 二審過程:實(shí)際是一個分段函數(shù)求值問題. 三審結(jié)論:要求y值,應(yīng)根據(jù)x的取值找對應(yīng)的解析式. 解析 通過閱讀理解知,算法語句是一個分
12、段函數(shù)y=f(x)= ∴y=f(60)=25+0.6(60-50)=31. 答案 31 [反思感悟] 計(jì)算機(jī)在執(zhí)行條件語句時,首先對If后的條件進(jìn)行判斷,如果條件符合,就執(zhí)行Then后的語句1,若條件不符合,對于If—Then—Else語句就執(zhí)行Else后的語句2,然后結(jié)束這一條件語句.對于If—Then語句,則直接結(jié)束該條件語句. 【自主體驗(yàn)】 為了在運(yùn)行下面的偽代碼后輸出y=16,應(yīng)輸入的整數(shù)x的值是________. 解析 當(dāng)x<0時,由(x+1)2=16得x=-5;當(dāng)x≥0時,由1-x2=16得x2=-15,矛盾. 答案?。? 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:40分
13、鐘) 一、填空題 1.(2013新課標(biāo)全國Ⅰ卷改編)執(zhí)行如圖所示的流程圖,如果輸入的t∈[-1,3],則輸出的s的范圍為________. 解析 作出分段函數(shù)s= 的圖象(圖略),可知函數(shù)s在[-1,2]上單調(diào)遞增,在[2,3]上單調(diào)遞減,s(-1)=-3,s(2)=4,s(3)=3, ∴t∈[-1,3]時,s∈[-3,4]. 答案 [-3,4] 2.(2013北京卷)執(zhí)行如圖所示的流程圖,輸出的S值為________. 解析 初始條件i=0,S=1,逐次計(jì)算結(jié)果是S=,i=1;S=,i=2,此時滿足輸出條件,故輸出S=. 答案
14、 3.按照下面的算法進(jìn)行操作: S1 x←2.35 S2 y←Int(x) S3 Print y 最后輸出的結(jié)果是________. 解析 Int(x)表示不大于x的最大整數(shù). 答案 2 4.下面?zhèn)未a的結(jié)果為________. A←1 A←A+2 A←A+3 A←A+4 A←A+5 Print“A=”,A END 解析 計(jì)算1+2+3+4+5的值.該偽代碼是1+2+3+4+5=15. 答案 15 5.(2013福建卷改編)閱讀如圖所示的流程圖,運(yùn)行相應(yīng)的算法,如果輸入某個正整數(shù)n后,輸出的S∈(10,20),那么n的值為________. 解析 第一次運(yùn)行
15、,S=1,k=2;第二次運(yùn)行,S=3,k=3;第三次運(yùn)行,S=7,k=4;第四次運(yùn)行,S=15,k=4. 答案 4 第5題圖 第6題圖 6.(2013湖南卷改編)執(zhí)行如圖所示的流程圖,如果輸入a=1,b=2,則輸出的a的值為________. 解析 第一次循環(huán),a=1+2=3,第二次循環(huán),a=3+2=5,第三次循環(huán),a=5+2=7,第四次循環(huán),a=7+2=9>8,滿足條件,輸出a=9. 答案 9 7.(2013江蘇卷) 如圖是一個算法的流程圖,則輸出的n的值是________. 解析 第一
16、次循環(huán):a=8,n=2;第二次循環(huán):a=26,n=3. 答案 3 8.如下給出的是用條件語句編寫的一個偽代碼,該偽代碼的功能是________. 答案 求下列函數(shù)當(dāng)自變量輸入值為x時的函數(shù)值f(x),其中f(x)= 9.(2014臨沂一模)某流程圖如圖所示,該算法運(yùn)行后輸出的k的值是________. 解析 第一次循環(huán),S=20=1,k=1;第二次循環(huán),S=1+21=3,k=2;第三次循環(huán),S=3+23=11,k=3;第四次循環(huán),S=11+211,k=4;第五次循環(huán)S=11+211≤100不成立,輸出k=4. 答案 4 10.(2014棗莊模擬)如圖是一個算法的流程圖,若
17、輸出的結(jié)果是31,則判斷框中整數(shù)M的值是________. 解析 本算法計(jì)算的是S=1+2+22+…+2A,即S==2A+1-1,由2A+1-1=31得2A+1=32,解得A=4,則A+1=5時,條件不成立,所以M=4. 答案 4 能力提升題組 (建議用時:25分鐘) 一、填空題 1.(2014南通調(diào)研)根據(jù)如圖的算法,輸出的結(jié)果是________. 解析 S=1+2+3+…+10==55. 答案 55 2.(2014泰州調(diào)研)如圖,運(yùn)行偽代碼所示的程序,則輸出的結(jié)果是________. 解析 流程圖的執(zhí)行如下: a 1 1+2=3 3+5=8 8+13=
18、21 b 2 3+2=5 8+5=13 21+13=34 I 2 2+2=4 4+2=6 6+2=8 當(dāng)I=8時,b=34,退出循環(huán). 答案 34 3.(2013遼寧卷)執(zhí)行如圖所示的流程圖,若輸入n=8,則輸出S=________. 解析 S=S+的意義在于對求和. 因?yàn)椋剑瑫r注意i=i+2,所以所求的S==. 答案 第3題圖 第4題圖 4.(2013湖北卷)閱讀如圖所示的流程圖,運(yùn)行相應(yīng)的算法.若輸入m的值為2,則輸出的結(jié)果i=________. 解析 i=1,A=2,B=1→i=2,A=4,B=2→i=3,A=8,B=6→i=4,
19、A=16,B=24,滿足A<B,輸出i=4. 答案 4 5.(2014淄博二模) 執(zhí)行如圖所示的流程圖,若輸出的結(jié)果是8,則輸入的數(shù)是________. 解析 由a≥b得x2≥x3,解得x≤1.所以當(dāng)x≤1時,輸出a=x2,當(dāng)x>1時,輸出b=x3.所以當(dāng)x≤1時,由a=x2=8,解得x=-=-2.若x>1,由b=x3=8,得x=2,所以輸入的數(shù)為2或-2. 答案 2或-2 6.(2014麗水模擬) 依據(jù)小區(qū)管理?xiàng)l例,小區(qū)編制了如圖所示的住戶每月應(yīng)繳納衛(wèi)生管理費(fèi)的流程圖,并編寫了相應(yīng)的算法.已知小張家共有4口人,則他家每個月應(yīng)繳納的衛(wèi)生管理費(fèi)(單位:元)是________
20、. 解析 當(dāng)n=4時,S=5+1.2(4-3)=6.2. 答案 6.2 第2講 合情推理與演繹推理 知 識 梳 理 1.歸納推理 (1)定義:根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性的推理.或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納). (2)歸納推理的特點(diǎn) ①歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理; ②歸納推理的結(jié)論不一定為真; ③歸納的個別情況越多,越具有代表性,推廣的一般性命題就越可靠. 2.類比推理 (1)定義:由于兩類不同對象具有某些類似的特征,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一類對象的其他特征,推斷另一類對象也具有
21、類似的其他特征的推理,稱為類比推理.類比推理是兩類事物特征之間的推理. (2)類比推理的特點(diǎn) ①類比推理是由特殊到特殊的推理; ②類比推理屬于合情推理,其結(jié)論具有或然性,可能為真,也可能為假; ③類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),類比得出的命題就越可靠. 3.演繹推理 (1)定義:演繹推理是根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論,按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程. (2)演繹推理的特點(diǎn) ①演繹推理是由一般到特殊的推理; ②當(dāng)前提為真時,結(jié)論必然為真. (3)演繹推理的主要形式是三段論,其一般模式為: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況
22、; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的判斷. 辨 析 感 悟 1.對合情推理的認(rèn)識 (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,類比推理得到的結(jié)論一定正確.() (2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì),這是一種合情推理.(√) (3)在類比時,平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.() (4)(教材習(xí)題改編)一個數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3,那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(n∈N*).() (5)(2014安慶調(diào)研改編)在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4,類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為1∶
23、8.(√) 2.對演繹推理的認(rèn)識 (6)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯誤的.(√) (7)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確.() [感悟提升] 三點(diǎn)提醒 一是合情推理包括歸納推理和類比推理,所得到的結(jié)論都不一定正確,其結(jié)論的正確性是需要證明的. 二是在進(jìn)行類比推理時,要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象所迷惑;否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比,就會犯機(jī)械類比的錯誤,如(3). 三是應(yīng)用三段論解決問題時,應(yīng)首先明確什么是大前提,什么是小前提,如果大前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.如
24、果大前提錯誤,盡管推理形式是正確的,所得結(jié)論也是錯誤的.如(7). 考點(diǎn)一 歸納推理 【例1】 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個三角形數(shù)為=n2+n,記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式: 三角形數(shù) N(n,3)=n2+n, 正方形數(shù) N(n,4)=n2, 五邊形數(shù) N(n,5)=n2-n, 六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n …… 可以推測N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)=____________. 解析 由N(n,3)=n2+n, N(n,
25、4)=n2+n, N(n,5)=n2+n, N(n,6)=n2+n, 推測N(n,k)=n2+n,k≥3. 從而N(n,24)=11n2-10n,N(10,24)=1 000. 答案 1 000 規(guī)律方法 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理,由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確,通常歸納的個體數(shù)目越多,越具有代表性,那么推廣的一般性命題也會越可靠,它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法. 【訓(xùn)練1】 (1)(2014佛山質(zhì)檢)觀察下列不等式: ①<1;②+<;③++<. 則第5個不等式為________. (2)(2013陜西卷)觀察下列等式 (1+1)=21 (2+1)(
26、2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 …… 照此規(guī)律,第n個等式可為________. 解析 (2)由已知的三個等式左邊的變化規(guī)律,得第n個等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三個等式右邊的變化規(guī)律,得第n個等式右邊為2n與n個奇數(shù)之積,即2n135…(2n-1). 答案 (1)++++< (2)(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1) 考點(diǎn)二 類比推理 【例2】 在平面幾何里,有“若△ABC的三邊長分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形面積為S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空間,類比上述結(jié)論,“若四面體ABC
27、D的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,則四面體的體積為________”. 審題路線 三角形面積類比為四面體的體積?三角形的邊長類比為四面體四個面的面積?內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑?二維圖形中類比為三維圖形中的?得出結(jié)論. 答案 V四面體ABCD=(S1+S2+S3+S4)r 規(guī)律方法 在進(jìn)行類比推理時,不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要注意以下兩點(diǎn):①找兩類對象的對應(yīng)元素,如:三角形對應(yīng)三棱錐,圓對應(yīng)球,面積對應(yīng)體積等等;②找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對應(yīng)線面垂直或面面垂直,邊相等對應(yīng)面積相等. 【訓(xùn)練2】 二維空間中圓的一維測
28、度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,觀察發(fā)現(xiàn)S′=l;三維空間中球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=πr3,觀察發(fā)現(xiàn)V′=S.則四維空間中“超球”的四維測度W=2πr4,猜想其三維測度V=________. 解析 由已知,可得圓的一維測度為二維測度的導(dǎo)函數(shù);球的二維測度是三維測度的導(dǎo)函數(shù).類比上述結(jié)論,“超球”的三維測度是四維測度的導(dǎo)函數(shù),即V=W′=(2πr4)′=8πr3. 答案 8πr3 考點(diǎn)三 演繹推理 【例3】 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an
29、. 證明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, ∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. ∴=2,又=1≠0,(小前提) 故是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了) (2)由(1)可知=4(n≥2), ∴Sn+1=4(n+1)=4Sn-1 =4an(n≥2),(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) ∴對于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) 規(guī)律方法 演繹推理是從一般到特殊的
30、推理;其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論解決問題時,應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,則可以省略. 【訓(xùn)練3】 “因?yàn)閷?shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)(大前提),而y=logx是對數(shù)函數(shù)(小前提),所以y=logx是增函數(shù)(結(jié)論)”,以下推理的錯誤是________. ①大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤;②小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤;③推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤;④大前提和小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤. 解析 當(dāng)a>1時,函數(shù)y=logax是增函數(shù);當(dāng)0<a<1時,函數(shù)y=logax是減函數(shù).故大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤. 答案 ① 1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一
31、個新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2.演繹推理是從一般的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段論.?dāng)?shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行. 3.合情推理僅是“合乎情理”的推理,它得到的結(jié)論不一定正確.而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下). 創(chuàng)新突破9——新定義下的歸納推理 【典例】 (2013湖南卷)對于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},例如: (1)子集{a1,a
32、3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于______; (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)列”q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個數(shù)為________. 解析 (1)根據(jù)題意可知子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,0,…,0,此數(shù)列前3項(xiàng)和為2. (2)根據(jù)題意可寫出子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,1,0,則P={a1,a3,…,a2n-1,…,a99}(1≤n≤50), 子集Q的“特征數(shù)
33、列”為1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,1,則Q={a1,a4,…,a3k-2,…,a100}(1≤k≤34),則P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},共有17項(xiàng). 答案 (1)2 (2)17 [反思感悟] 此類問題一定要抓住題設(shè)中的例子與定義的緊密結(jié)合, 細(xì)心觀察,尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號之間的關(guān)系,需有一定的邏輯推理能力. 【自主體驗(yàn)】 若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的n個值x1,x2,…,xn總滿足[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤f,稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函數(shù),則在△ABC中,sin A+sin B+
34、sin C的最大值是________. 解析 已知[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]≤ f,(大前提) 因?yàn)閒(x)=sin x在(0,π)上是凸函數(shù),(小前提) 所以f(A)+f(B)+f(C)≤3f,(結(jié)論) 即sin A+sin B+sin C≤3sin =. 因此sin A+sin B+sin C的最大值是. 答案 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:40分鐘) 一、填空題 1.正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),因此f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),以上推理________. ①結(jié)論正確;②大前
35、提不正確;③小前提不正確;④全不正確. 解析 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù),所以小前提不正確. 答案 ③ 2.(2014西安五校聯(lián)考)觀察下式:1=12;2+3+4=32;3+4+5+6+7=52;4+5+6+7+8+9+10=72,…,則得出第n個式子的結(jié)論:________. 解析 各等式的左邊是第n個自然數(shù)到第3n-2個連續(xù)自然數(shù)的和,右邊是中間奇數(shù)的平方,故得出結(jié)論:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 3.若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)的
36、和為Sn,則數(shù)列為等差數(shù)列,且通項(xiàng)為=a1+(n-1),類似地,請完成下列命題:若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b1,公比為q,前n項(xiàng)的積為Tn,則________. 答案 數(shù)列{}為等比數(shù)列,且通項(xiàng)為=b1()n-1 4.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=________. 解析 由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x). 答案?。璯(x) 5.(2012江西卷改編)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a
37、3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10等于________. 解析 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開始,后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123. 答案 123 6.(2014長春調(diào)研)類比“兩角和與差的正弦公式”的形式,對于給定的兩個函數(shù):S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正確的運(yùn)算公式是________. ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③2S(x+y)=S(x)C(y)+
38、C(x)S(y); ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). 解析 經(jīng)驗(yàn)證易知①②錯誤.依題意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). 答案?、邰? 7.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”;
39、 ④“t≠0,mt=xt?m=x”類比得到“p≠0,ap=xp?a=x”; ⑤“|mn|=|m||n|”類比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上式子中,類比得到的結(jié)論正確的是________. 解析?、佗谡_;③④⑤⑥錯誤. 答案?、佗? 8.(2014南京一模)給出下列等式:=2cos ,=2cos ,=2cos ,請從中歸納出第n個等式:=________. 答案 2cos 二、解答題 9.給出下面的數(shù)表序列: … 其中表n(n=1,2,3,…)有n行,第1行的n個數(shù)是1,3,5,…,2n-1,從第2行起,每行中的每個數(shù)都等于它肩上
40、的兩數(shù)之和. 寫出表4,驗(yàn)證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明). 解 表4為 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32 它的第1,2,3,4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4,8,16,32,它們構(gòu)成首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列. 將這一結(jié)論推廣到表n(n≥3),即表n(n≥3)各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n,公比為2的等比數(shù)列. 10.f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般
41、性結(jié)論,并給出證明. 解 f(0)+f(1)=+ =+=+=, 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想f(x)+f(1-x)=. 證明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==. 能力提升題組 (建議用時:25分鐘) 一、填空題 1.(2012江西卷改編)觀察下列事實(shí):|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為12,…,則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個數(shù)為________. 解析 由|x|+|y|=1的不同整數(shù)解的
42、個數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解的個數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解的個數(shù)為12,歸納推理得|x|+|y|=n的不同整數(shù)解的個數(shù)為4n,故|x|+|y|=20的不同整數(shù)解的個數(shù)為80. 答案 80 2.觀察下列各式9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,…,這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律,設(shè)n表示自然數(shù),用關(guān)于n的等式表示為________. 解析 9-1=(1+2)2-12=4(1+1),16-4=(2+2)2-22=4(2+1),25-9=(3+2)2-32=4(4+1),36-16=(4+2)2-42=4(5+1),…,一般地,有(n+2)2-
43、n2=4(n+1)(n∈N*). 答案 (n+2)2-n2=4(n+1)(n∈N*) 3.(2013湖北卷)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4. (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是________; (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=________(用數(shù)值作答)
44、. 解析 (1)四邊形DEFG是一個直角梯形,觀察圖形可知:S=(+2)=3,N=1,L=6. (2)由(1)知,S四邊形DEFG=a+6b+c=3. S△ABC=4b+c=1. 在平面直角坐標(biāo)系中,取一“田”字型四邊形,構(gòu)成邊長為2的正方形,該正方形中S=4,N=1,L=8.則S=a+8b+c=4.聯(lián)立解得a=1,b=.c=-1. ∴S=N+L-1,∴若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=71+18-1=79. 答案 (1)3,1,6 (2)79 二、解答題 4.(2012福建卷)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù): ①sin213+co
45、s217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解 (1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15 =1-sin 30 =1- =. (2)三角恒等式為sin2α+cos2
46、(30-α)-sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α)=sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α)=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=. 第3講 直接證明與間接證明 知 識 梳 理 1.直接證明 (1)綜合法定義: 從命題的條件出發(fā),利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則,通過演繹推理,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明.這樣的思維方法稱為綜
47、合法. (2)框圖表示:→→→…→ (其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論). (3)分析法定義: 從求證的結(jié)論出發(fā),一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件,直到歸結(jié)為這個命題的條件,或者歸結(jié)為定義、公理、定理等.這樣的思維方法稱為分析法. (4)框圖表示:→→→…→ . 2.間接證明 (1)反證法定義: 在證明數(shù)學(xué)命題時,要證明的結(jié)論要么正確,要么錯誤,二者必居其一.我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立,在這個前提下,若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立,由此斷定命題的結(jié)
48、論成立.這種證明方法叫作反證法. (2)反證法的證題步驟是: ①作出否定結(jié)論的假設(shè); ②進(jìn)行推理,導(dǎo)出矛盾; ③否定假設(shè),肯定結(jié)論. 辨 析 感 悟 對三種證明方法的認(rèn)識 (1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.() (2)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定,推出矛盾.() (3)在解決問題時,常常用分析法尋找解題的思路與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(√) (4)證明不等式+<+最合適的方法是分析法.(√) [感悟提升] 兩點(diǎn)提醒 一是分析法是“執(zhí)果索因”,特點(diǎn)是從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分
49、條件,如(1); 二是應(yīng)用反證法證題時必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法.所謂矛盾主要指:①與已知條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與公認(rèn)的簡單事實(shí)矛盾;⑤自相矛盾. 考點(diǎn)一 綜合法的應(yīng)用 【例1】 (2013新課標(biāo)全國Ⅱ卷)設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1. 證明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2
50、+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c.所以++≥1. 規(guī)律方法 綜合法往往以分析法為基礎(chǔ),是分析法的逆過程,但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明. 【訓(xùn)練1】 (1)設(shè)a>0,b>0,a+b=1,求證:++≥8. (2)已知a,b,c是全不相等的正實(shí)數(shù),求證:++>3. 證明 (1)∵a+b=1, ∴++=++ =1++1++≥2+2+ =2+2+4=8.當(dāng)且僅當(dāng)a=b
51、=時等號成立. (2)∵a,b,c全不相等,且都大于0 ∴與,與,與全不相等, ∴+>2,+>2,+>2, 三式相加得+++++>6, ∴++>3, 即++>3. 考點(diǎn)二 分析法的應(yīng)用 【例2】 已知a>0,求證:-≥a+-2. 審題路線 從結(jié)論出發(fā)?觀察不等式兩邊的符號?移項(xiàng)(把不等式兩邊都變?yōu)檎?xiàng))?平方?移項(xiàng)整理?平方?移項(xiàng)整理可得顯然成立的結(jié)論. 證明 (1)要證-≥a+-2, 只需要證+2≥a++. ∵a>0,故只需要證2≥2, 即a2++4+4 ≥a2+2++2+2, 從而只需要證2≥, 只需要證4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式顯然成立,故原不
52、等式成立. 規(guī)律方法 (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵. (2)證明較復(fù)雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論,從而使原命題得證. 【訓(xùn)練2】 已知m>0,a,b∈R,求證:2≤. 證明 ∵m>0,∴1+m>0.所以要證原不等式成立, 只需證(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2) 即證m(a2-2ab+b2)≥0, 即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故原不等式得證. 考點(diǎn)三 反證法的應(yīng)用 【例3
53、】 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn; (2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. (1)解 由已知得∴d=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+). (2)證明 由(1)得bn==n+. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r∈N*,且互不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr. 即(q+)2=(p+)(r+). ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∴2=pr,(p-r)2=0. ∴p=r,與p≠r矛盾. ∴數(shù)列
54、{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列. 規(guī)律方法 用反證法證明不等式要把握三點(diǎn):(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實(shí)矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的. 【訓(xùn)練3】 已知a≥-1,求證三個方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實(shí)數(shù)根. 證明 假設(shè)三個方程都沒有實(shí)數(shù)根,則 ? ∴-<a<-1. 這與已知a≥-1矛盾, 所以假設(shè)不成立,故原結(jié)論成立.
55、 1.分析法的特點(diǎn):從未知看需知,逐步靠攏已知. 2.綜合法的特點(diǎn):從已知看可知,逐步推出未知. 3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn).分析法思考起來比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較繁;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡捷地解決問題,但不便于思考.實(shí)際證題時常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來. 4.利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時,要假設(shè)結(jié)論錯誤,并用假設(shè)的命題進(jìn)行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯誤的. 答題模板13——反證法在證明題中的應(yīng)用 【典例】 (14分)(2013北京卷)直線y
56、=kx+m(m≠0)與橢圓W:+y2=1相交于A,C兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn). (1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長; (2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時,證明:四邊形OABC不可能為菱形. [規(guī)范解答] (1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形, 所以AC與OB相互垂直平分.(2分) 所以可設(shè)A,代入橢圓方程得+=1, 即t=. 所以|AC|=2.(5分) (2)假設(shè)四邊形OABC為菱形. 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且AC⊥OB,所以k≠0. 由消y并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.(7分) 設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則
57、 =-, =k+m=. 所以AC的中點(diǎn)為M.(9分) 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn),且m≠0,k≠0, 所以直線OB的斜率為-.(11分) 因?yàn)閗≠-1,所以AC與OB不垂直.(13分) 所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾. 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時,四邊形OABC不可能為菱形.(14分) [反思感悟] (1)掌握反證法的證明思路及證題步驟,明確作假設(shè)是反證法的基礎(chǔ),應(yīng)用假設(shè)是反證法的基本手段,得到矛盾是反證法的目的. (2)當(dāng)證明的結(jié)論和條件聯(lián)系不明顯、直接證明不清晰或正面證明分類較多、而反面情況只有一種或較少時,常采用反證法. (3)利用反證法證明時,一定要回到結(jié)論上去
58、. 答題模板 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的答題模板: 第一步:分清命題“p→q”的條件和結(jié)論; 第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定綈q; 第三步:由p和綈q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果; 第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于所作的假設(shè)綈q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題. 【自主體驗(yàn)】 設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實(shí)數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0. (1)證明:l1與l2相交; (2)證明:l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2+y2=1上. 證明 (1)假設(shè)l1與l2不相交, 則l1與l2平行或重合,有k1=k2, 代入k1k2+2
59、=0,得k+2=0. 這與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾,從而k1≠k2, 即l1與l2相交. (2)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 從而2x2+y2=22+2 ===1, 所以l1與l2的交點(diǎn)P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:40分鐘) 一、填空題 1.(2014安陽模擬)若a<b<0,則下列不等式中成立的是________. ①<;②a+>b+;③b+>a+;④<. 解析 (特值法)取a=-2,b=-1,驗(yàn)證③正確. 答案?、? 2.用反證法證明命題:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,則a,b中至少有一個能被5整除”時,應(yīng)反設(shè)_____
60、___成立.解析 由反證法的定義得,反設(shè)即否定結(jié)論. 答案 a,b都不能被5整除 3.(2014上海模擬)“a=”是“對任意正數(shù)x,均有x+≥1”的________條件. 解析 當(dāng)a=時,x+≥2=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=時取等號;反之,顯然不成立. 答案 充分不必要 4.(2014張家口模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<a”索的因應(yīng)是________. ①a-b>0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0. 解析 由題意知<a?b2-ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c
61、2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案?、? 5.(2014天津模擬)p=+,q=(m,n,a,b,c,d均為正數(shù)),則p,q的大小關(guān)系為________. 解析 q= ≥=+=p. 答案 p≤q 6.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的條件的個數(shù)是________. 解析 要使+≥2,只需>0且>0成立,即a,b不為0且同號即可,故①③④能使+≥2成立. 答案 3 7.已知a,b,m均為正數(shù),且a>b,則與的大小關(guān)系是_
62、_______. 解析 -==, ∵a,b,m>0,且a>b,∴b-a<0,∴<. 答案?。? 8.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件的是________(填序號). 答案 ① 二、解答題 9.若a,b,c是不全相等的正數(shù),求證: lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 證明 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴≥>0,≥>0,≥>0. 又上述三個不等式中等號不能同時成立. ∴>abc成立. 上式兩邊同時取常用對數(shù), 得lg>lg abc, ∴l(xiāng)g+lg+lg>lg a+lg b+l
63、g c. 10.(2014鶴崗模擬)設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和. (1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列; (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么? (1)證明 假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3, 即a(1+q)2=a1a1(1+q+q2), 因?yàn)閍1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q≠0矛盾, 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. (2)解 當(dāng)q=1時,Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列; 當(dāng)q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列,否則2S2=S1+S3, 即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,這與
64、公比q≠0矛盾. 綜上,當(dāng)q=1數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;當(dāng)q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列. 能力提升題組 (建議用時:25分鐘) 一、填空題 1.(2014漳州一模)設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個數(shù)a+,b+,c+________. ①都大于2;②都小于2;③至少有一個不大于2;④至少有一個不小于2 解析 ∵a>0,b>0,c>0, ∴++=++ ≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有一個不小于2. 答案?、? 2.已知函數(shù)f(x)=x,a,b是正實(shí)數(shù),A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關(guān)系為________. 解析 ∵≥≥,又f
65、(x)=x在R上是減函數(shù),∴f≤f()≤f. 答案 A≤B≤C 3.(2014株洲模擬)已知a,b,μ∈(0,+∞),且+=1,則使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________. 解析 ∵a,b∈(0,+∞),且+=1, ∴a+b=(a+b)=10+≥16,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=12時等號成立,∴a+b的最小值為16. ∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16. 答案 (0,16] 二、解答題 4.是否存在兩個等比數(shù)列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;若不存在,說明
66、理由. 證明 假設(shè)存在兩個等比數(shù)列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列. 設(shè){an}的公比為q1,{bn}的公比為q2, 則b2-a2=b1q2-a1q1,b3-a3=b1q-a1q, b4-a4=b1q-a1q. 由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差數(shù)列得 即 ①q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0, 由a1≠0得q1=q2或q1=1. ⅰ)當(dāng)q1=q2時,由①,②得b1=a1或q1=q2=1, 這時(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾. ⅱ)當(dāng)q1=1時,由①,②得b1=0或q2=1, 這時(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾. 綜上所述,不存在兩個等比數(shù)
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