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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) (I) 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知 ，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 已知 ，其中為虛數(shù)單位，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，選A 3. 下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)和，滿足，所以函數(shù)都是奇函數(shù)，函數(shù)滿足，所以函數(shù)都是偶函數(shù)，故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性. 4. 《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為“已知甲乙丙丁戊五人分5錢，甲乙兩人所得與丙丁戊三人所得相同，且甲乙丙丁戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（錢是古代的一種重量單位），這個問題中，甲所得為（ ） A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢 【答案】B 5. 函數(shù) 的一個單調(diào)增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 的單調(diào)增區(qū)間是，所以是一個單調(diào)增區(qū)間，選C. 6. 已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為． 考點(diǎn)：雙曲線方程. 7. 若滿足約束條件，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：約束條件，表示的可行域如圖，解得，解得，解得，把、、分別代入，可得的最小值是，故選A． 考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用． 【方法點(diǎn)晴】1．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．2．常見的目標(biāo)函數(shù)截距型：形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值，間接求出的最值．注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義． 8. 設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列命題中，正確的是（ ） A. 若與所成的角相等，則 B. 若， 則 C. 若， 則 D. 若， 則 【答案】C 【解析】試題分析：因?yàn)閳A錐的所有母線都與底面成等角，所以A錯，如果兩個平面互相垂直，平行于其中一個平面的直線與另一個平面可以成任意角，故B錯，D項(xiàng)當(dāng)中的直線可以成任意角，故D錯，根據(jù)一個平面經(jīng)過另一個平面的垂直，則兩面垂直，故C對，故選C． 考點(diǎn)：空間關(guān)系的考查． 9. 函數(shù)的圖象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于函數(shù)的圖象有意義，則滿足，根據(jù)定義域排除A,D然后在B,C中通過賦值法，令x=2,可知函數(shù)值大于零，圖像在x軸的上方，故排除C，選B. 考點(diǎn)：函數(shù)的圖像 點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的解析式和定義域以及函數(shù)的性質(zhì)來排除法得到結(jié)論。屬于基礎(chǔ)題。 10. 在中，是邊上的一點(diǎn)，的面積為， 則的長為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,選C 11. 定義在上的函數(shù)滿足，任意的都有是的 （ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】因?yàn)?；，且關(guān)于對稱，所以時， 反之也成立：時，，所以選C. 點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件． 2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件． 12. 已知函數(shù)，若方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作圖，則滿足條件實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B 點(diǎn)睛： 對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知實(shí)數(shù)滿足的條件，則的最大值為__________． 【答案】 【解析】作可行域，則直線過點(diǎn)A（2，0）時取最大值6 點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得. 14. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，在直線的方程是__________． 【答案】 【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，拋物線方程為，設(shè)，則有，，兩式相減得，，所以直線方程為，即，故填． 15. 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號 點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤. 16. 給出下列命題： ①函數(shù)的一個對稱中心為； ②若為第一象限角，且，則； ③若，則存在實(shí)數(shù)，使得 ； ④在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，則必有兩解； ⑤函數(shù) 的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象. 其中正確命題的序號是__________．（把你認(rèn)為正確的序號都填上） 【答案】①③④ 【解析】試題分析：因?yàn)?，且，所以是函?shù)的一個對稱中心，所以①是正確的，因?yàn)?，但是，所以②是錯誤的，當(dāng)，所以有兩個向量是反向的，即是共線向量，所以一定存在實(shí)數(shù)，使得，故③是正確的，因?yàn)椋员赜袃山?，所以④是正確的，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，所以⑤是正確的，故答案為①③④． 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角形解的個數(shù)，向量的關(guān)系． 【易錯點(diǎn)睛】該題屬于選擇題性質(zhì)的填空題，考查的知識點(diǎn)比較多，屬于較難題目，在解題的過程中，需要對每個命題所涉及的知識點(diǎn)掌握的比較熟練，容易出錯的地方是需要把握三角形解的個數(shù)的判定方法，以及圖像變換中涉及到左右平移時移動的量那是自變量本身的變化量，以及三角函數(shù)在各象限內(nèi)是不具備單調(diào)性的． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）分別寫出曲線與曲線的普通方程； （2）若曲線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長. 【答案】(1) ， (2) 【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)，得曲線，利用，得曲線； （2）把曲線和曲線聯(lián)立消去得，結(jié)合弦長公式即可求得弦的長． 試題解析：（1）曲線， 曲線． （2）聯(lián)立，得， 設(shè)，則，， 于是． 故線段的長為． 考點(diǎn)：參數(shù)方程；極坐標(biāo)方程；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系． 18. 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖的的值； （2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由. （3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù). 【答案】(1) (2)36000（3） 【解析】試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力. 第（Ⅰ）問，由高組距=頻率，計(jì)算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計(jì)算出a的值；第（Ⅱ）問，利用高組距=頻率，先計(jì)算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率樣本容量=頻數(shù)，計(jì)算所求人數(shù)；第（Ⅲ）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進(jìn)行比較，得出2≤x<2.5，再估計(jì)月均用水量的中位數(shù). 試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0,0.5）的頻率為0.080.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a， 解得a=0.30. （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12="36" 000. （Ⅲ）設(shè)中位數(shù)為x噸. 因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5. 由0.50（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸. 【考點(diǎn)】頻率分布直方圖 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個小矩形的面積就是相應(yīng)組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖的基礎(chǔ)． 19. 若是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù). 【答案】(1) (2) 的最小值為. 【解析】試題分析：第一問根據(jù)條件中數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題中的條件，建立關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問利用第一問的結(jié)果，先寫出，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)條件，得出相應(yīng)的不等式，轉(zhuǎn)化為最值來處理，從而求得結(jié)果． 試題解析：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)的首項(xiàng)為，公差為 ，所以 ．又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以．所以． 因?yàn)楣畈坏扔?，所以．又因?yàn)?，所以，所以? （2）因?yàn)椋? 所以 ． 要使對所有都成立，則有，即．因?yàn)?，所以的最小值?0． 考點(diǎn)：等差數(shù)列，裂項(xiàng)相消法求和，恒成立問題． 20. 在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心，為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）求點(diǎn)到平面的距離. 【答案】（1）見解析 （2） 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得,再由平面得,又由矩形得AD,根據(jù)線面垂直判定定理得平面,即得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得平面平面（2）求點(diǎn)到平面距離一般轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)三棱錐的高，利用等體積法求體積，再根據(jù)體積公式求結(jié)果 試題解析：（1）易得平面，所以平面平面（2）由 所以點(diǎn)到平面的距離為 點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 21. 已知函數(shù). （1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1）時求導(dǎo)，得到在切點(diǎn)處切線斜率，代入點(diǎn)斜式即可； (2) 求導(dǎo)對分情況討論，討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目要求對任意恒成立名即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍； 試題解析：(1） 時，， 切點(diǎn)為， 時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 （2）（i），， 當(dāng)時，，， 在上單調(diào)遞增，， 不合題意． ②當(dāng)即時，在上恒成立， 在上單調(diào)遞減，有， 滿足題意． ③若即時，由，可得，由，可得， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ， 不合題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 22. 在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)） （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)與有兩個公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（I）曲線的極坐標(biāo)方程為，展開可得：，利用互化公式可得可得直角坐標(biāo)方程；（II）當(dāng)曲線和曲線有兩個公共點(diǎn)時，數(shù)形結(jié)合可得：圓心到直線的距離，解出即可得出． 試題解析：（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. （Ⅱ）曲線的直角坐標(biāo)方程為：， 實(shí)數(shù)的取值范圍：. 考點(diǎn)：（1）簡單曲線的極坐標(biāo)方程；（2）參數(shù)方程化為普通方程.