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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 (I) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將答題卡收回。 1、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)集合=（ ） A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2．“”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3．下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 5、設(shè)函數(shù)則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是（　?。? A．[-1,2] B．[0,2] C．[0,+∞) D．[1,+∞) 6、 函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1， 則cos＝(　　) A．0 B. C．－1 D．1 7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使不等式成立的的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 8. 兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 9．曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 10．設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 11.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為 ( ) A． B． C. D． 12.已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) A． xx B．2016 C. 1010 D．1008 二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.已知向量滿足,,則_______________. 14．在△OAB中.點(diǎn)C滿足向量,則y-x= . 15．函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是________． 16．已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，且，則不等式的解集為___________ 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.(12分) 已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍. 18.（12分）△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列， 求證：△為等邊三角形。 19.（12分） 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn). （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，，求平面與平面所成二面角的正弦值. 20.(12分) 某地區(qū)高考實(shí)行新方案,規(guī)定:語(yǔ)文,數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還須從物理,化學(xué),生物,歷史,地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理,化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理,化學(xué)和生物”為其選考方案. 某學(xué)校為了解高一年級(jí)420名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表: 性別 選考方案確定情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確定的有8人 8 8 4 2 1 1 選考方案待確定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生 選考方案確定的有10人 8 9 6 3 3 1 選考方案待確定的有6人 5 4 1 0 0 1 ⑵假設(shè)男生,女生選擇選考科目是相互獨(dú)立的.從選考方案確定的8位男生中隨機(jī)選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率; ⑶從選考方案確定的8名男生中隨機(jī)選出2名,設(shè)隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 21. (12分) 已知函數(shù)，其中 （1）當(dāng)，且為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)對(duì)任意的，總有成立，試用表示出的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)x∈[0，＋∞)恒成立，求的最小值. 22．（12分）已知函數(shù)，； （1）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）求證：當(dāng)時(shí)，． 沛西中學(xué)高三xx期中考試 數(shù)學(xué)能力測(cè)試 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 注意事項(xiàng)： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。 3．考試結(jié)束后，將答題卡收回。 2、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.設(shè)集合=（ D ） A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2．“”是“”的（ A ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3．下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是（ C ） A. B. C. D. 4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是減函數(shù)的是（ C ） A. B. C. D. 5、設(shè)函數(shù)則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是（　C?。? A．[-1,2] B．[0,2] C．[0,+∞) D．[1,+∞) 7、 函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1， 則cos＝(　D　) A．0 B. C．－1 D．1 7. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則使不等式成立的的最大值為( B ) A 3 B 4 C 5 D 6 8. 兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ B ） A. B. C. D. 9．曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為（ A ） A． B． C． D． 10．設(shè)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ D ） A． B． C． D． 11.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為 ( C ) A． B． C. D． 12.已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( A ) A． xx B．2016 C. 1010 D．1008 二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.已知向量滿足,,則_______5__________. 14．在△OAB中.點(diǎn)C滿足向量,則y-x= . 15．函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是_____或_____． 16．已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，且，則不等式的解集為_______________ 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17.(12分) 已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍. 答案： 解　(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)， 則方程f(x)＝0的根的判別式Δ<0，即16－4(a＋3)<0， 解得a>1. 故a的取值范圍為a>1. (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3圖象的對(duì)稱軸是x＝2， 所以y＝f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)． 又y＝f(x)在[－1,1]上存在零點(diǎn)， 所以即 解得－8≤a≤0. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍為－8≤a≤0. 18.（12分）△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列， 求證：△為等邊三角形。 答案： A+B+C=180 2B=A+C B=60 4分 b=ac 6分 b= a-2acCOSB= a-ac 8分 ac=a-ac 9分 （a- c）=0 10分 a=c 11分 △為等邊三角形 12分 19.（12分） 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn). （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，，求平面與平面所成二面角的正弦值. 答案 （Ⅰ）證明：如圖3，連接，，連接， 四棱錐的底面為菱形， 為中點(diǎn)，又是中點(diǎn)， 在中，是中位線，， 又平面，而平面，平面． （Ⅱ）解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，， 為菱形，且，為正三角形，． 設(shè)，，，且為等腰直角三角形，即， ， 平面，且， ，， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸， 則，，，，，，， ，，，， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 則即可?。? 設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 則即可?。? 于是．所以平面與平面所成二面角的正弦值為． 20.(12分) 某地區(qū)高考實(shí)行新方案,規(guī)定:語(yǔ)文,數(shù)學(xué)和英語(yǔ)是考生的必考科目,考生還須從物理,化學(xué),生物,歷史,地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目,則稱該學(xué)生的選考方案確定;否則,稱該學(xué)生選考方案待確定.例如,學(xué)生甲選擇“物理,化學(xué)和生物”三個(gè)選考科目,則學(xué)生甲的選考方案確定,“物理,化學(xué)和生物”為其選考方案. 某學(xué)校為了解高一年級(jí)420名學(xué)生選考科目的意向,隨機(jī)選取30名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表: 性別 選考方案確定情況 物理 化學(xué) 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確定的有8人 8 8 4 2 1 1 選考方案待確定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生 選考方案確定的有10人 8 9 6 3 3 1 選考方案待確定的有6人 5 4 1 0 0 1 ⑴估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人? ⑵假設(shè)男生,女生選擇選考科目是相互獨(dú)立的.從選考方案確定的8位男生中隨機(jī)選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機(jī)選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率; ⑶從選考方案確定的8名男生中隨機(jī)選出2名,設(shè)隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 答案： ⑴由題可知,選考方案確定的男生中確定選考生物的學(xué)生有4人,選考方案確定的女生中確定選考生物的學(xué)生有6人.該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有人. ⑵由數(shù)據(jù)可知,選考方案確定的8位男生中選出1人選考方案中含有歷史學(xué)科的概率為; 選考方案確定的10位女生中選出1人含有歷史學(xué)科的概率為,所以該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學(xué)科的概率為. ⑶由數(shù)據(jù)可選,選考方案確定的男生 中有4人選擇物理,化學(xué)和生物;有2人選擇物理,化學(xué)和歷史,有1人選擇物理化學(xué)和地理;有1人選擇物理,化學(xué)和政治.由已知得的取值為1, 2. ;. ∴. 21. (12分) 已知函數(shù)，其中 （1）當(dāng)，且為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)對(duì)任意的，總有成立，試用表示出的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)x∈[0，＋∞)恒成立，求的最小值. 答案： (1)由題意，得在上單調(diào)遞增 ∴在上恒成立 ∴在上恒成立 構(gòu)造函數(shù) 則 ∴F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 (i)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∴ ∴，從而 (ii)當(dāng)，即時(shí)，F(xiàn)(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增 ，從而 8分 綜上，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，； (2)當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù) 由題意，有對(duì)恒成立 ∵ (i)當(dāng)時(shí)， ∴在上單調(diào)遞增 ∴在上成立，與題意矛盾. (ii)當(dāng)時(shí)，令 則，由于 ①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減 ∴，即在上成立 ∴在上單調(diào)遞減 ∴在上成立，符合題意 ②當(dāng)時(shí)， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ∵ ∴在成立，即在成立 ∴在上單調(diào)遞增 ∴在上成立，與題意矛盾 綜上，a的最小值為1 22．（12分）已知函數(shù)，； （1）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）求證：當(dāng)時(shí)，． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）由題得，， ①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減， ②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ③當(dāng)時(shí)，令，得，令，得， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， （2）要證，即證，令， 當(dāng)時(shí)，，∴成立； 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴． ∵，∴，， ∴，即成立，故原不等式成立．