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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) (IV) 參考公式和數(shù)表: 1、獨立性檢驗可信度表： P() 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2、獨立性檢驗臨界值表及參考公式： 3、線性回歸方程：， 第I卷 選擇題 一、選擇題（本大題共有12小題，每小題5分，共60分，每一小題只有一個選項正確） 1. 進(jìn)入互聯(lián)網(wǎng)時代，發(fā)電子郵件是不可少的，一般而言，發(fā)電子郵件要分成以下幾個步驟：a.打開電子郵箱；b.輸入發(fā)送地址；c.輸入主題；d.輸入信件內(nèi)容；e.點擊“寫郵件”；f.點擊“發(fā)送郵件”，則正確的流程是 A. a→b→c→d→e→f B. a→c→d→f→e→b C. a→e→b→c→d→f D. b→a→c→d→f→e 【答案】C 【解析】發(fā)電子郵件要分成以下幾個步驟：a.打開電子郵箱；e.點擊“寫郵件”；b.輸入發(fā)送地址；c.輸入主題；d.輸入信件內(nèi)容； f.點擊“發(fā)送郵件”. 故選C. 2. 在等差數(shù)列中，如果，那么數(shù)列的前項的和是 A. 54 B. 81 C. D. 【答案】C 【解析】在等差數(shù)列中，， 又，所以， 數(shù)列的前9項的和 故選C. 3. 設(shè)，是虛數(shù)單位，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的 A. 充分不必要條 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】由，得，． 而由，得． 所以“”是“復(fù)數(shù)為純數(shù)”的充要條件． 故選C. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函數(shù)的圖象可得最大值為4，且在一周期內(nèi)先出現(xiàn)最小值，所以， 觀察圖象可得函數(shù)的周期T=16，， 若，則 當(dāng)時，, ∵; 當(dāng) 又函數(shù)的圖象過（2，﹣4）代入可得， ∴， ∵， ∴函數(shù)的表達(dá)式． 故選A. 5. 已知，為直線，為平面，下列結(jié)論正確的是 A. 若 ，則 B. 若 ，則 C. 若 ，則 D. 若 ，則 【答案】B 對于選項B，由垂直于同一平面的兩條直線平行可知，選項B正確； 對于選項C，平行與同一平面的兩條直線可以平行，也可以相交或異面，所以錯誤；. 當(dāng)，有或或，所以錯誤. 故選B. 6. 已知，，，則、、大小關(guān)系是 A. << B. << C. << D. << 【答案】D 【解析】，， 故選D. 7. 把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 取BD的中點E，連結(jié)CE，AE， ∵平面ABD⊥平面CBD， ∴CE⊥AE， ∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖， ∵BD=,∴CE=AE=， ∴△CEA的面積S==， 故選：C. 8. 已知命題：?，；命題：?，.若、都為假命題，則實數(shù)的取值范圍是(　　) A. [1，＋∞) B. (－∞，－1] C. (－∞，－2] D. [－1,1] 【答案】A 【解析】p，q都是假命題．由p：?，為假命題， 得?，，∴. 由q：?，為假，得?， ∴，得或. ∴. 故選A. 9. 已知為數(shù)列的前項和，且，則數(shù)列的通項公式為(　) A. B. C. D. 【答案】B 當(dāng)時，； 當(dāng)時，， 所以數(shù)列的通項公式為. 故選B. 10. 設(shè)函數(shù)，是由軸和曲線及該曲線在點處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則在上的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 先求出曲線在點（1，0）處的切線，然后畫出區(qū)域D，利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)z的最大值即可：，， ∴曲線及該曲線在點處的切線方程為。 ∴由軸和曲線及圍成的封閉區(qū)域為三角形。 在點處取得最大值1。 故選D. 點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得. 11. 若，則為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，，∴. 又∵，，∴， ∴ 又∵，∴ 故選C. 點睛：在三角化簡求值類題目中，常?？肌敖o值求值”，“給值求角”的問題，遇見這類題目一般的方法為——配湊角：即將要求的式子通過配湊，得到與已知角的等量關(guān)系，進(jìn)而用兩角和差的公式展開求值即可.在求解過程中注意結(jié)合角的范圍來確定正余弦的正負(fù)！ 12. 已知是所在平面上一點，滿足，則點(　　) A. 在過點與垂直的直線上 B. 在的平分線所在直線上 C. 在過點邊的中線所在直線上 D. 以上都不對 【答案】A 【解析】由得，， 故選A. 點睛：（1）向量的加法運算，有兩個運算法則，一個是三角形法則，一個是平行四邊形法則，三角形法則是要求首尾相接，起點指向終點即可；平行四邊形法則要求兩向量共起點； （2）向量的減法運算要求，共起點，連終點，箭頭指被減. 第II卷 非選擇題 二、填空題（本大題共有4小題，每小題5分，共20分，請將正確答案填入相應(yīng)的位置） 13. 某冷飲店為了解氣溫對其營業(yè)額的影響，隨機記錄了該店1月份銷售淡季中的日營業(yè)額（單位：百元）與該地當(dāng)日最低氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，如表所示： 由圖表數(shù)據(jù)可知： =﹣0.7，則線性回歸方程為________________. 【答案】 【解析】由， ． 線性回歸方程為. 14. 在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點. 若，，則等于_______（用，表示）. 【答案】 【解析】 ∵，，∴. ∵E是OD的中點，∴＝，∴DF＝AB . ∴， ∴ ， 點睛：（1）向量的加法運算，有兩個運算法則，一個是三角形法則，一個是平行四邊形法則，三角形法則是要求首尾相接，起點指向終點即可；平行四邊形法則要求兩向量共起點； （2）向量的減法運算要求，共起點，連終點，箭頭指被減. 15. 已知，觀察下列算式： ；；… 若，則的值為_____________________． 【答案】 【解析】∵， ∴；…； ， 則. 16. 已知棱長為的正方體中，，，分別是線段、、 的中點，又、分別在線段、上，且． 設(shè)平面∩平面，現(xiàn)有下列結(jié)論： ①∥平面； ②⊥； ③直線與平面不垂直； ④當(dāng)變化時，不是定直線． 其中成立的結(jié)論是________．(寫出所有成立結(jié)論的序號) 【答案】①②③ 【解析】 連接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x， ∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易證PQ∥平面MEF， 又平面MEF∩平面MPQ=，∴PQ∥，∥EF， ∴∥平面，故①成立； 又EF⊥AC，∴⊥AC，故②成立； ∵∥EF∥BD，∴易知直線與平面BCC1B1不垂直， 故③成立； 當(dāng)變化時，是過點M且與直線EF平行的定直線，故④不成立． 答案為：①②③. 三、 解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，第17至21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 已知等差數(shù)列中，，. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)若等比數(shù)列的前n項和為，，，求的最小正整數(shù). 【答案】（1）；（2）5. 【解析】試題分析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得公差，即可得通項公式； （2）求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而得前n項和，解不等式即可. 試題解析： (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，. . (2) ∵，，∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 最小正整數(shù)為. 18. 如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點． （Ⅰ）證明：∥平面； （Ⅱ）設(shè)，，三棱錐的體積，求到平面的距離． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離 試題解析：(I）設(shè)BD交AC于點O，連結(jié)EO。 因為ABCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點。 又E為PD的中點，所以EO∥PB 又EO平面AEC，PB平面AEC 所以PB∥平面AEC。 （II） 由，可得. 作交于。 由題設(shè)易知，所以 故， 又所以到平面的距離為 法2：等體積法 由，可得. 由題設(shè)易知,得BC 假設(shè)到平面的距離為d， 又因為PB= 所以 又因為(或)， ， 所以 考點：線面平行的判定及點到面的距離 19. 在中，角,,所對的邊為,，,， ，，若 （1）求函數(shù)的圖象的對稱點； （2）若,且的面積為，求的周長. 【答案】（1）；（2）20. 【解析】試題分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，結(jié)合兩角和的正余弦公式及二倍角公式可得解析式，令即可得對稱中心； （2）由三角形的面積公式及余弦定理即可得周長. 試題解析： 由得，， (1) 由得， 令 ∴ 函數(shù)的圖象的對稱點為 （2） ∴. 20. 某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目．經(jīng)測算，該項目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為元，若該項目不獲利，政府將給予補貼． （1）當(dāng)時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？ （2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ 【答案】（1）政府每月至少需要補貼元才能使該項目不虧損；（2）當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低. 【解析】試題分析：（1）先確定該項目獲利的函數(shù)，再利用配方法確定不會獲利，從而可求政府每月至少需要補貼的費用； （2）確定食品殘渣的每噸的平均處理成本函數(shù)，分別求出分段函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)論． 試題解析： （1）當(dāng)時，該項目獲利為，則 ∴當(dāng)時，，因此，該項目不會獲利 當(dāng)時，取得最大值， 所以政府每月至少需要補貼元才能使該項目不虧損； （2）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為： 當(dāng)時， 所以當(dāng)時，取得最小值240； 當(dāng)時， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值200 因為240>200，所以當(dāng)每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低． 21. 設(shè)函數(shù)，的圖象在點處的切線與直線平行． （1）求的值； （2）若函數(shù) ，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：（1）由題意知，曲線y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為3，求導(dǎo)數(shù)，代入計算，即可得出結(jié)論； （2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求實數(shù)a的取值范圍． 試題解析： （1）由題意知，曲線的圖象在點處的切線斜率為3， 所以，又， 即，所以． （2）由（1）知， 所以， ①若在區(qū)間（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)，則在（0，+∞）上恒成立， 即，所以． 令，則， 由，得，由，得， 故在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)， 則，無最大值，在（0，+∞）上不恒成立， 故在（0，+∞）不可能是單調(diào)減函數(shù) ②若在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則在（0，+∞）上恒成立， 即，所以， 由前面推理知，的最小值為，∴， 故a的取值范圍是. 點睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參即可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒大于等于或恒小于等于0問題，即為恒成立問題. （1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題； （2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立； （3）若 恒成立，可轉(zhuǎn)化為 （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 [選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 22. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程 （為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：． （1）把直線的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程，把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程； （2）求直線與曲線交點的極坐標(biāo)（≥0，0≤）． 【答案】（1）直線l：，曲線C：；（2），． 【解析】試題分析：（1）將直線參數(shù)方程中的消去得普通方程，利用即可得極坐標(biāo)方程，利用可得曲線的普通方程； （2）聯(lián)立得交點的直角坐標(biāo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可. 試題解析： （1）直線l的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)化為， 把代入可得：， 由曲線C的極坐標(biāo)方程為：， 變?yōu)?，化? （2）聯(lián)立，解得或， ∴直線l與曲線C交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）為，． 點睛：化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參，可以利用加減消元、平方消元、代入法等等；在極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的條件下求解直線與圓的位置關(guān)系問題時，通常將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程化為普通方程來解決. [選修4－5：不等式選講] 23. (1)解不等式≥的解集. (2) 關(guān)于的不等式的解集是，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）{x|x≤－3或x≥2}；（2）. 【解析】試題分析：（1）分段去絕對值求解不等式即可 （2）由于二次項系數(shù)含有參數(shù)，故需對其進(jìn)行討論．對于二次項系數(shù)不為0時，借助于相應(yīng)二次函數(shù)的特征，可建立不等式組，從而求出實數(shù)m的取值范圍． 試題解析： (1)當(dāng)x<－2時，不等式等價于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3； 當(dāng)－2≤x<1時，不等式等價于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，無解； 當(dāng)x≥1時，不等式等價于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2. 綜上，不等式的解集為{x|x≤－3或x≥2}. (2)①當(dāng)，即或時，要使原不等式的解集為R，則 ②當(dāng)時，要使原不等式的解集為，則有： 綜合（1）（2）的的取值范圍為.