專題跟蹤檢測（十九）專題跟蹤檢測（十九） 不等式選講不等式選講 （選修（選修 4-5） 1(2018 全國卷全國卷)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)5|xa|x2|. (1)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，求不等式時(shí)，求不等式 f(x)0 的解集；的解集； (2)若若 f(x)1，求，求 a 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f(x) 2x4，x2. 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，由時(shí)，由 2x40，解得，解得2x2 時(shí)，由時(shí)，由2x60，解得，解得 2x3， 故故 f(x)0 的解集為的解集為x|2x3 (2)f(x)1 等價(jià)于等價(jià)于|xa|x2|4. 而而|xa|x2|a2|，且當(dāng)，且當(dāng) x2 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立 故故 f(x)1 等價(jià)于等價(jià)于|a2|4. 由由|a2|4 可得可得 a6 或或 a2. 所以所以 a 的取值范圍是的取值范圍是(，62，) 2(2018 蘭州模擬蘭州模擬)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)|x3|，g(x)|x2|. (1)解不等式解不等式 f(x)g(x)2； (2)對于實(shí)數(shù)對于實(shí)數(shù) x，y，若，若 f(x)1，g(y)1，證明：，證明：|x2y1|3. 解：解：(1)解不等式解不等式|x3|x2|2. 當(dāng)當(dāng) x2 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 3x2x32.所以所以32x2. 當(dāng)當(dāng) 2x3 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 3xx22，解得，解得 13 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 x3x22，解得，解得 x72.所以所以 3x72. 由由可知，不等式的解集為可知，不等式的解集為 x| 32x72. (2)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?f(x)1，g(y)1，即，即|x3|1，|y2|1，所以，所以|x2y1|(x3)2(y2)|x3|2|y2|123. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x4，y1或或 x2，y3時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立 3(2018 開封模擬開封模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|xm|，m0. (1)當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，求解不等式時(shí)，求解不等式 f(x)f(x)2x； (2)若不等式若不等式 f(x)f(2x)1 的解集非空，求的解集非空，求 m 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) m1 時(shí)，時(shí)，f(x)|x1|，f(x)|x1|， 設(shè)設(shè) F(x)|x1|x1| 2x，x1，2，1x1，2x，x1， G(x)2x，由，由 F(x)G(x)，解得，解得 x2 或或 x0， 所以不等式所以不等式 f(x)f(x)2x 的解集為的解集為x|x2 或或 x0 (2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0. 設(shè)設(shè) g(x)f(x)f(2x)， 當(dāng)當(dāng) xm 時(shí)，時(shí)，g(x)mxm2x2m3x， 則則 g(x)m； 當(dāng)當(dāng) mxm2時(shí)，時(shí)，g(x)xmm2xx， 則則m2g(x)m； 當(dāng)當(dāng) xm2時(shí)，時(shí)，g(x)xm2xm3x2m， 則則 g(x)m2. 所以所以 g(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?m2， ， 若不等式若不等式 f(x)f(2x)m2，解得，解得 m2， 又又 m0，所以，所以 m 的取值范圍是的取值范圍是(2,0) 4(2018 全國卷全國卷)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)|2x1|x1|. (1)畫出畫出 yf(x)的圖象；的圖象； (2)當(dāng)當(dāng) x0，)時(shí)，時(shí)，f(x)axb，求，求 ab 的最小值的最小值 解：解：(1)f(x) 3x，x12，x2，12x1，3x，x1. yf(x) 的圖象如圖所示的圖象如圖所示 (2)由由(1)知，知，yf(x)的圖象與的圖象與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2，且各部，且各部分所在直線斜率的最大值為分所在直線斜率的最大值為 3，故當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng) a3 且且 b2 時(shí)，時(shí)，f(x)axb 在在0，)成立，因此成立，因此 ab 的最小值為的最小值為 5. 5已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|x1|. (1)求不等式求不等式 f(x)f(a)f(b) 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為x12x2，解得，解得 x1； 當(dāng)當(dāng)1x12時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 x12x2，解得，解得 x1，此時(shí)原不等式無解；，此時(shí)原不等式無解； 當(dāng)當(dāng) x12時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 x11. 綜上，綜上，Mx|x1 (2)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)?f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|， 所以要證所以要證 f(ab)f(a)f(b)， 只需證只需證|ab1|ab|，即證，即證|ab1|2|ab|2， 即證即證 a2b22ab1a22abb2， 即證即證 a2b2a2b210，即證，即證(a21)(b21)0. 因?yàn)橐驗(yàn)?a，bM，所以，所以 a21，b21， 所以所以(a21)(b21)0 成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立 6(2018 廣東五市聯(lián)考廣東五市聯(lián)考)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|xa|12a(a0) (1)若不等式若不等式 f(x)f(xm)1 恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù) m 的最大值；的最大值； (2)當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) g(x)f(x)|2x1|有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍 解：解：(1)f(xm)|xma|12a. f(x)f(xm)|xa|xma|m|， 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)|m|1 時(shí)，時(shí)，f(x)f(xm)1 恒成立，恒成立， 1m1，即實(shí)數(shù)，即實(shí)數(shù) m 的最大值為的最大值為 1. (2)當(dāng)當(dāng) a12時(shí)，時(shí)， g(x)f(x)|2x1|xa|2x1|12a 3xa12a1，x12， g(x)ming 1212a12a2a2a12a0， 0a12，2a2a10或或 a0，2a2a10， 解得解得12a0， 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是 12，0 . 7(2018 鄭州模擬鄭州模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|2x1|ax5|(0a5) (1)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，求不等式時(shí)，求不等式 f(x)9 的解集；的解集； (2)若函數(shù)若函數(shù) yf(x)的最小值為的最小值為 4，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的值的值 解：解：(1)當(dāng)當(dāng) a1 時(shí)，時(shí)，f(x)|2x1|x5| 63x，x12，x4，12x5，3x6，x5，所以所以 f(x)9 x12，63x9或或 12x5，x49或或 x5，3x69.解得解得 x1 或或 x5， 即所求不等式的解集為即所求不等式的解集為(，15，) (2)0a5，5a1， 則則 f(x) a2 x6，x5a時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，f(x)的最小值在的最小值在 12，5a上取得上取得 在在 12，5a上，當(dāng)上，當(dāng) 0a2 時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 當(dāng)當(dāng) 2a5 時(shí)，時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減， 0a2，f x minf 124或或 2a5，f x minf 5a4. 解得解得 a2. 8(2018 成都模擬成都模擬)已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)|x2|k|x1|，kR. (1)當(dāng)當(dāng) k1 時(shí)，若不等式時(shí)，若不等式 f(x)4 的解集為的解集為x|x1xx2，求，求 x1x2的值；的值； (2)當(dāng)當(dāng) xR 時(shí)，若關(guān)于時(shí)，若關(guān)于 x 的不等式的不等式 f(x)k 恒成立，求恒成立，求 k 的最大值的最大值 解：解：(1)由題意，得由題意，得|x2|x1|2 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 2x5，2x52； 當(dāng)當(dāng)1x2 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為 34，1x2. 當(dāng)當(dāng) x1 時(shí)，原不等式可化為時(shí)，原不等式可化為2x3， 32x1； 綜上，原不等式的解集為綜上，原不等式的解集為 x 32x52， 即即 x132，x252.x1x21. (2)由題意，得由題意，得|x2|k|x1|k. 當(dāng)當(dāng) x2 時(shí)，即不等式時(shí)，即不等式 3kk 成立，成立，k0. 當(dāng)當(dāng) x2 或或 x0 時(shí)，時(shí)， |x1|1，不等式不等式|x2|k|x1|k 恒成立恒成立 當(dāng)當(dāng)2x1 時(shí)，時(shí)， 原不等式可化為原不等式可化為 2xkxkk， 可得可得 k2xx214x2，k3. 當(dāng)當(dāng)1x0 時(shí)，時(shí)， 原不等原不等式可化為式可化為 2xkxkk，可得，可得 k12x， k3. 綜上，可得綜上，可得 0k3，即，即 k 的最大值為的最大值為 3.