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2019屆高三數(shù)學10月月考試題 文(含解析) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.集合，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}； ∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R； ∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B?A，A?B； 即B正確． 故選：B． 2.已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題； 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題． ∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題． 故選B． 3.已知向量若與垂直，則的值為（　?。? A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 解∵ ∴向量（1﹣4，3+2m）=（﹣3，3+2m） 又∵向量與互相垂直， ∴1（﹣3）+3（3+2m）=0 ∴﹣3+9+6m=0?m=﹣1 故選C 4.若，則（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 由題知，則．故本題答案選． 5.已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b等于(　　) A. 10 B. 9 C. 8 D. 5 【答案】D 【解析】 由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即cos2A=, 又因△ABC為銳角三角形, 所以cosA=. △ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b6, 即b2-b-13=0, 即b=5或b=-(舍去),故選D. 6.在四個函數(shù)，，，中，最小正周期為的所有函數(shù)個數(shù)為（　?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 解：函數(shù)y=sin|2x|不是周期函數(shù)，不滿足條件； 令y=f（x）=|sinx|，則f（x+π）=|sin（x+π）|=|﹣sinx|=|sinx|=f（x）， ∴函數(shù)y=|sinx|是最小正周期為π的函數(shù)，滿足條件； 又函數(shù)y=sin（2x+）的最小正周期為T==π，滿足條件； 函數(shù)y=tan（2x﹣）的最小正周期為T=，不滿足條件． 綜上，以上4個函數(shù)中，最小正周期為π有2個． 故選：B． 7.已知中，滿足 的三角形有兩解，則邊長的取值范圍是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解：由三角形有兩解，則滿足，即 ，解得：2＜＜，所以邊長的取值范圍（2，）， 故選C． 8.函數(shù) 的部分圖象大致為（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 去掉B,D; 舍C，選A. 9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調遞增區(qū)間為（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：函數(shù)的周期T=2=2π，即，得ω=1， 則f（x）=cos（x+）， 則當時，函數(shù)取得最小值， 則π+ =π+2kπ，即 =+2kπ， 即f（x）=cos（x+）， 由2kπ+π＜x+＜2kπ+2π，k∈Z， 即2k+＜x＜2k+，k∈Z， 即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為為（2k+，2k+）， 故選：D 10.設,,分別為三邊,,的中點，則（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵分別為的三邊的中點， ∴ ．選D． 11.若函數(shù) 在 單調遞增，則的取值范圍是（　?。? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：函數(shù)f（x）=x﹣2sinxcosx+acosx 那么：f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx ∵f（x）在[，]單調遞增，即f′（x）=1﹣2cos2x﹣asinx≥0， sinx在[，]上恒大于0， 可得：a≤ 令y==,令 可得：y=，（t∈[]） ∴當t=時，y取得最小值為：2 故得 故選D 點睛：將問題轉化為不等式恒成立問題是解決本題的關鍵，用分離參數(shù)法解決恒成立問題時要注意參數(shù)系數(shù)正負號的討論. 12.已知函數(shù) ，若 存在唯一的零點，且 ，則實數(shù) 的取值范圍為（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：由題意可得f（x）=0， 即為ax3﹣2x2+1=0， 可得a=， 令g（x）=， g′（x）= 可得x＜，x＞時，g（x）遞減； 當＜x＜0，0＜x＜時，g（x）遞增． 作出g（x）的圖象，可得g（x）的極大值為g（）=， 由題意 可得當a＞時，f（x）存在唯一的零點x0，且x0＜0， 故選：D． 點睛:將函數(shù)零點問題轉化為方程a=解問題后，再進一步轉化為兩函數(shù)y=a，的交點問題是解決本題的關鍵.通過討論的單調性，作出其大致圖像后，作圖討論兩函數(shù)的交點個數(shù)問題即可得出實數(shù) 的取值范圍. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13.曲線在點A（0，1）處的切線方程為___________ 【答案】 【解析】 解：由題意得y′=ex， ∴在點A（0，1）處的切線的斜率k=e0=1， ∴所求的切線方程為y﹣1=x，即x﹣y+1=0， 14.設函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是_____． 【答案】 【解析】 解：由題意，f（x）≤2得， 解得0≤x＜1及1≤x≤4， 所以使得f（x）≤2成立的x的取值范圍是[0，4]； 故答案為：[0，4]； 本題函數(shù)圖象： 15.設內角,,的對邊分別為,,,已知, 且．則邊=________ 【答案】 【解析】 解： 4sinA=4cosBsinC+bsin2C， ?4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC， ?4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC， ?4sinBcosC=2bsinCcosC， ?4sinB=2bsinC，（C≠，cosB≠0） ?4b=2bc，（） ?c=2 點睛：應用正弦定理、余弦定理解三角形問題時要注意邊化角、角化邊的運用，同時還需注意三角形其他性質的運用，如：大角對大邊；兩邊之和大于第三邊等等. 16.設函數(shù)的圖象與（為常數(shù)）的圖象關于直線對稱．且，則 =______． 【答案】 【解析】 解：函數(shù)y=f（x）的圖象與y=lg(x+a)（a為常數(shù)）的圖象關于直線y=x對稱， ∴f（x）=10﹣x+a， ∴, 解得a=1； ∴ f（﹣1）=10+1=9． 故答案為：9． 點睛：熟練掌握求函數(shù)反函數(shù)及函數(shù)圖像變換方法是解決本題的關鍵.這里先求出y=lg(x+a)反函數(shù)的解析式，再求反函數(shù)關于原點對稱的函數(shù)的解析式即可得到的解析式. 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：60分。 17.已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的對稱軸方程； （2）將函數(shù)的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長為原來的2倍，然后再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象．若，，分別是△三個內角，，的對邊，，，且，求的值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 試題分析：（1）先運用二倍角公式將轉化為 的形式后再令，解出x即為的對稱軸方程；（2）由三角函數(shù)圖像平移變換、伸縮變換的方法求出的解析式,再由求出角B后，應用余弦定理即可求出b值. 試題解析： 解：（Ⅰ）函數(shù) ， 令， 解得，， 所以函數(shù)f（x）的對稱軸方程為，，． （Ⅱ）函數(shù)f（x）的圖象各點縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)的圖象， 再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象， 所以函數(shù)． 又△ABC中，（B）=0，所以，又， 所以，則． 由余弦定理可知，， 所以. 18.如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，．為與的交點，為棱上一點, （1）證明：平面⊥平面； （2）若三棱錐的體積為， 求證：∥平面． 【答案】(1)見解析 (2) 見解析 【解析】 試題分析：（1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知需在平面平面內找到一條直線垂直于另一個平面,通過分析后易知AC⊥平面PBD，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由VP﹣EAD，需作出三棱錐的高，為此通過觀察分析后，我們取AD中點H，連結BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F,易證BH⊥平面PAD，再由EF∥BH，可得EF⊥平面PAD，故EF為三棱錐的高， 再由VP﹣EAD，可求出EF的值，又由∠BAD=60，BH⊥AD，可求出BH的值，至此易知，即E為PB中點，而O為BD中點，所以OE為△PBD的中位線，由三角形中位線性質可得OE∥PD，再由線面平行判定定理PD∥平面EAC． 試題解析： 證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD， ∴AC⊥平面PBD， 又∵AC?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB． （2）取AD中點H，連結BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F， ∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60， ∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D， ∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD， 可得：BH=AB=， ∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPADEF= ， ∴EF=， ∴，可得E為PB中點， 又∵O為BD中點， ∴OE∥PD， ∵PD?平面EAC，OE?平面EAC， ∴PD∥平面EAC． 點睛：作出三棱錐的高是解決問題（2）的關鍵.該題還可以應用空間向量來解決. 19.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同一型號零件．記生產(chǎn)的零件的尺寸為（cm)，相關行業(yè)質檢部門規(guī)定：若，則該零件為優(yōu)等品；若，則該零件為中等品；其余零件為次品．現(xiàn)分別從甲、乙機床生產(chǎn)的零件中各隨機抽取50件，經(jīng)質量檢測得到下表數(shù)據(jù)： 尺寸 甲零件頻數(shù) 2 3 20 20 4 1 乙零件頻數(shù) 3 5 17 13 8 4 （Ⅰ）設生產(chǎn)每件產(chǎn)品的利潤為：優(yōu)等品3元，中等品1元，次品虧本1元.若將頻率視為概率，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估算甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望； （Ⅱ）對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，試根據(jù)樣本估計總體的思想，估計約有多大的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”，并說明理由. 參考公式：. 參考數(shù)據(jù)： 0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0.010 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6.635 【答案】（1)（2)約有的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”. 【解析】 試題分析：解：（Ⅰ）設甲機床生產(chǎn)一件零件獲得的利潤為元，它的分布列為 3 1 0.8 0.14 0.06 則有=30.8+10.14+（-1）0.06=2.48（元）. 所以，甲機床生產(chǎn)一件零件的利潤的數(shù)學期望為2.48元. （Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可知：甲機床優(yōu)等品40個，非優(yōu)等品10個；乙機床優(yōu)等品30個，非優(yōu)等品20個. 制作22列聯(lián)表如下: 甲機床 乙機床 合計 優(yōu)等品 40 30 70 非優(yōu)等品 10 20 30 合計 50 50 100 計算=. 考察參考數(shù)據(jù)并注意到，可知：對于這兩臺機床生產(chǎn)的零件，在排除其它因素影響的情況下，根據(jù)樣本估計總體的思想，約有95%的把握認為“零件優(yōu)等與否和所用機床有關”． 考點：列聯(lián)表，直方圖，期望，分布列 點評：本小題主要考查概率統(tǒng)計的基礎知識和獨立性檢驗、頻率估計概率、樣本估計總體等統(tǒng)計思想方法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想． 20.在平面直角坐標系中，點，點在軸上，點在軸非負半軸上，點滿足： （1）當點在軸上移動時，求動點的軌跡C的方程； （2）設為曲線C上一點，直線過點且與曲線C在點處的切線垂直，與C的另一個交點為，若以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，求直線的方程． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 試題分析：（1）由點在軸上，點在軸非負半軸上且為動點，可設出設A（a，0），B（0，b），M（x，y）,由關系,將向量坐標代入可得動點的軌跡C的方程. (2)設Q（m，2m2）, 直線過點且與曲線C在點處的切線垂直,可求出直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m）,設,聯(lián)立與C的方程，并由韋達定理可得,, （2m2）yR，2m2yR，又由線段為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，即mxR+（2m2）yR=0，整理后可求出直線的方程． 試題解析： 解：（Ⅰ）設A（a，0），M（x，y），B（0，b），則=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1） ∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b ∵，∴有a（x﹣a）+y=0 ∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0 即C的方程是y=2x2； （Ⅱ）設Q（m，2m2），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k= ∴直線l的方程為y﹣2m2=（x﹣m） 與y=2x2聯(lián)立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，該方程必有兩根m與xR，且mxR=﹣m2﹣ ∴（2m2）yR=4（﹣m2﹣）2 ∵，∴mxR+（2m2）yR=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m= ∴直線l的方程為． 21.已知為實常數(shù)，函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調性； （2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； （Ⅱ） 的取值范圍是 【解析】 試題分析： （1）求出函數(shù)的定義域后對函數(shù)進行求導，通過討論導函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調性.（2）在（1）的基礎上知，函數(shù)有兩個不同的零點的必要條件是a＞0且（）=ln＞0，解得0＜a＜1.為求充分條件，通過分析后取x=（）=﹣1﹣+1=﹣＜0，由函數(shù)零點存在定理知在（，）存在一個零點. 再取x=，通過分析后（）＜0，易知存在x∈（，），使得（x）=0，所以可知0＜a＜1時函數(shù)有兩個不同的零點. 試題解析： 解：（Ⅰ）（x） =lnx+1﹣ax， 函數(shù)（x）的定義域為（0，+∞），其導數(shù)′（x）=． ①當a≤0時，′（x）＞0，函數(shù)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)； ②當a＞0時，′（x）＞0?0＜x＜；′（x）＜0?x＞． 所以函數(shù)（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，當a≤0時，函數(shù)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點； 當a＞0時，函數(shù)（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（，+∞）上是減函數(shù)， 此時（）為函數(shù)g（x）的最大值， 若（）≤0，則函數(shù)（x）最多有一個零點，不合題意， 所以（）=ln＞0，解得0＜a＜1． 因為，＜1＜＜，?。ǎ?﹣1﹣+1=﹣＜0， 則x1∈（，），使得（x1）=0； 取（）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1）， 令F（a）=2﹣2lna﹣（0＜a＜1），則F′（a）=﹣+=＞0，（0＜a＜1）， 所以F（a）在（0，1）上單調遞增． 所以F（a）＜F（1）=2﹣e＜0，即（）＜0，則x2∈（，），使得（x2）=0， 故函數(shù)（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1＜x2），且x1，x2∈（，）． 綜上a的取值范圍是（0，1）． 點睛：討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調性時，求導后需對參數(shù)進行分類討論；討論函數(shù)的零點問題很多時候需將函數(shù)零點存在定理與單調性結合起來，通過不斷嘗試后，在合適區(qū)間上討論. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。 22.[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線． （1）說明是哪種曲線，并將的方程化為極坐標方程； （2）已知與的交于，兩點，且過極點，求線段的長． 【答案】（Ⅰ） 為以為圓心，以 為半徑的圓； （Ⅱ） 【解析】 試題分析： （1）為知是哪種曲線，需將的參數(shù)方程化為普通方程，再將普通方程化為極坐標方程.(2)先將與方程化為普通方程，易知AB為與的公共弦長，在求出弦AB的方程后，由點到直線的距離公式求出C2（0，1）到公共弦的距離為，由勾股定理即可求出 試題解析： 解：（1）∵曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，a＞0）． ∴C1的普通方程為， ∴C1為以C1（，0）為圓心，以a為半徑的圓， 由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C1的極坐標方程為． （2）解法一：∵曲線． ∴, 二者相減得公共弦方程為, ∵AB過極點，∴公共弦方程過原點， ∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程為， 則C2（0，1）到公共弦的距離為． ∴. 解法二：∵AB：θ=θ0， ∴與ρ2=2ρsinθ+6為ρ的同解方程， ∴或θ=． ∴． 23.[選修4—5：不等式選講] 已知函數(shù)． （1）當時，求不等式的解集； （2）若不等式的解集包含，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ） ，或 （Ⅱ）或 【解析】 試題分析： （1）主要考查了含絕對值不等式的解法.當時，這里可采用零點分段法即可解出不等式的解集.（2）不等式的解集包含，易知當x∈[1，3]時，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立，適當變形為|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1，即得|x﹣a|≥1在x∈[1，3]恒成立. 試題解析： 解：（1）當a=3時，求不等式f（x）≥3，即|x﹣3|+|x﹣5|≥3， ∴①，或 ②，或③． 解①求得x≤；解②求得x∈；解③求得x≥． 綜上可得，不等式f（x）≥3的解集為{x|x≤，或 x≥}． （2）若不等式f（x）≥|x﹣6|的解集包含[1，3]， 等價于當x∈[1，3]時，不等式f（x）≥|x﹣6|恒成立， 即|x﹣a|+|x﹣5|≥|x﹣6|恒成立，即|x﹣a|≥|x﹣6|﹣|x﹣5|=6﹣x﹣（5﹣x）=1恒成立，即|x﹣a|≥1 恒成立， ∴x﹣a≥1，或 x﹣a≤﹣1恒成立，即a≤x﹣1，或a≥x+1 恒成立，∴a≤0，或a≥4． 綜上可得，a≤0，或a≥4．