2019屆高三數(shù)學(xué)6月模擬考試試題 理(普通班，含解析) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 已知集合，則 A. {1，3} B. {3} C. {1} D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)定義域，由函數(shù)單調(diào)性，求出集合A，解方程求出集合B，根據(jù)交集的意義求出交集. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取最小值， 所以集合，解集合B中方程可得集合， 所以. 故選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的計(jì)算，求函數(shù)型集合時(shí)要注意觀察集合表示的時(shí)值域還是定義域，通過(guò)單調(diào)性等性質(zhì)求解，還要注意定義域的限制. 2. 若復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且z1=2?i，則復(fù)數(shù)z1|z1|2+z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 由對(duì)稱性可求得z2，根據(jù)模的公式求出z1的模，代入復(fù)數(shù)中，通過(guò)化簡(jiǎn)求出此復(fù)數(shù)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷所在象限. 【詳解】由對(duì)稱性得z2=?2?i，|z1|2=22+(?1)2=5， 所以z1|z1|2+z2=2?i5+(?2?i)=2?i3?i=710?110i，點(diǎn)的坐標(biāo)為(710,?110)，在第四象限. 故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算及有關(guān)性質(zhì)，要熟練掌握復(fù)數(shù)的各概念，復(fù)雜計(jì)算中注意符號(hào)，求虛部時(shí)注意只寫(xiě)系數(shù). 3. 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期是π，若其圖象向右平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象 A. 關(guān)于點(diǎn)(π12,0)對(duì)稱 B. 關(guān)于直線x=π12對(duì)稱 C. 關(guān)于點(diǎn)(5π12,0)對(duì)稱 D. 關(guān)于直線x=5π12對(duì)稱 【答案】D 【解析】 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<π2)的最小正周期是π，所以，2πω=π,ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ)，將其圖象向右平移π3個(gè)單位后得到的函數(shù)為g(x)=sin(2x?2π3+φ)，又因?yàn)間(x)=sin(2x?2π3+φ)為奇函數(shù)，所以?2π3+φ=kπ，可得φ=?π3，則f(x)=sin(2x?π3)，f(5π12)=sin(5π6?π3)=1，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π12對(duì)稱，故選D. 視頻 4. 若X-B（5，15），則（ ） A. E(X)=1且D(X)=45 B. E(X)=15 且D(X)=1 C. E(X)=1 且D(X)=15 D. E(X)=45 且D(X)=1 【答案】A 【解析】 【分析】 本題隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)公式計(jì)算期望和方差即可. 【詳解】E(X)=515=1，D(X)=515(1?15)=45. 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布，掌握二項(xiàng)分布的表示方法，求期望和方差可直接用公式，注意區(qū)分二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的表示. 5. 已知函數(shù)f(x)=x2+sinπ2x,x≥1?f(x+3),x<1，則f(?2018)=（ ） A. ?2 B. 2 C. 4+22 D. ?4?22 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知求出當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）是周期為6的周期函數(shù)，可得f（﹣xx）=f（﹣3366﹣2）=f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）．再由x≥1時(shí)的解析式求解． 【詳解】由x＜1時(shí)，f（x）=﹣f（x+3），可得f（x+3）=﹣f（x），則f[（x+3）+3]=﹣f（x+3）=﹣[﹣f（x）]=f（x）． 可知，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）是周期為6的周期函數(shù)， 則f（﹣xx）=f（﹣3366﹣2）=f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）． 而當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x2+sinπ2x，∴f（1）=2． 則f（﹣xx）=﹣f（1）=﹣2． 故答案為：A． 【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查函數(shù)的周期性和函數(shù)求值,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算能力.(2)函數(shù)求值時(shí)，如果自變量比較大，一般要聯(lián)想到函數(shù)的周期性解答. 6. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，則該幾何體的體積為 A. 40π3 B. 40π3?83 C. 32π3 D. 16π3 【答案】C 【解析】 由三視圖可得該幾何體為一個(gè)圓柱截去兩個(gè)圓錐，其中圓柱底面圓的半徑為2、高為4，圓錐底面圓的半徑為2、高為2，故該幾何體的體積為π224-213π222=32π3．故選C． 7. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為（ ） A. 98 B. 256 C. 258 D. 642 【答案】C 【解析】 由題可知該程序框圖的功能是求數(shù)列{n?2n}的前5項(xiàng)和，所以輸出的S=121+222+ 323+424+525=258．故選C． 8. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x?y?3≤0x+y?2≥0?x+2y?2≤0，則z=(x?1)2+y2的最小值為（ ） A. 12 B. 22 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)(1,0)的距離的平方，所以zmin=(|1+0-2|12+12)2=12．故選A． 9. x+1x+25展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（ ） A. 120 B. 80 C. 20 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】 將x+1x看作整體，利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開(kāi)，選出x+1x的二次方、四次方項(xiàng)，分別計(jì)算，最后將x2項(xiàng)合并即可. 【詳解】原式可化為：[(x+1x)+2]5，其展開(kāi)式中可出現(xiàn)x2項(xiàng)的只有C53(x+1x)223與C51(x+1x)421兩項(xiàng)， 所以其展開(kāi)式中x2項(xiàng)分別為C53C20x2(1x)023=80x2、C51C41x3(1x)121=40x2， 則x2項(xiàng)為120x2. 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查三項(xiàng)的二項(xiàng)式定理，需要將某兩項(xiàng)看作整體，分別觀察展開(kāi)式，逐層篩選，最后求得某項(xiàng)，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性. 10. 在ΔABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=23,c=22，1+tanAtanB=2cb，則∠C=（ ） A. π6 B. π4 C. π4或3π4 D. π3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理將原式中邊化弦，經(jīng)化簡(jiǎn)，可得cosA的值，根據(jù)同角三角函數(shù)可得sinA，最后根據(jù)正弦定理求出sinC，從而求出角C，舍去不合題意的結(jié)果即可. 【詳解】利用正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系，原式可化為：1+sinAcosBcosAsinB=2sinCsinB， 去分母移項(xiàng)得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA， 所以：sin(A+B)=sinC=2sinCcosA，所以cosA=12. 由同角三角函數(shù)得：sinA=32， 由正弦定理asinA=csinC，解得sinC=22所以∠C=π4或3π4（舍）. 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查解三角形以及三角函數(shù)恒等變換的公式，要熟練掌握公式之間的互化，由正弦求角度時(shí)，注意一題多解的情況，由于本題有角度限制，所以要舍去一個(gè)結(jié)果. 11. 已知點(diǎn)F1,F2為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足PF2=F1F2,∠F1F2P=120，則雙曲線的離心率為（ ） A. 3+12 B. 5+12 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 由特殊角等腰三角形的三邊關(guān)系以及雙曲線的定義可表示出a、c的關(guān)系，對(duì)關(guān)系式化簡(jiǎn)，通過(guò)離心率公式，對(duì)關(guān)系式變型，解方程求出離心率. 【詳解】由題意知：|PF2|=|F1F2|=2c，因?yàn)榈妊切蔚捻斀菫?20°，所以根據(jù)三角形的性質(zhì)可求出|PF1|=23c， 由雙曲線定義可得：|PF1|?|PF2|=2a=(23?2)c， 由離心率公式可得：e=ca=223?2=3+12. 故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，求離心率有兩種方式，一種是由題目中條件求出參數(shù)值，根據(jù)離心率公式得離心率，另一種是根據(jù)條件求得a、c的齊次式，等號(hào)兩側(cè)同時(shí)除以a或a2等，構(gòu)造離心率. 12. 若函數(shù)f(x)在區(qū)間A上，對(duì)?a,b,c∈A,f(a),f(b),f(c)可以為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)y=f(x)為“三角形函數(shù)”。已知函數(shù)f(x)=xlnx+m在區(qū)間1e2,e上是“三角形函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ） A. 1e,e2+2e B. 2e,+∞ C. 1e,+∞ D. e2+2e,+∞ 【答案】D 【解析】 試題分析：根據(jù)“三角形函數(shù)”的定義可知，若f(x)在區(qū)間A上的“三角形函數(shù)”，則f(x)在A上的最大值和最小值應(yīng)滿足M>2m，由f′(x)=lnx+1=0可得x=1e，所以f(x)在[1e2,1e)上單調(diào)遞減，在[1e,e)上單調(diào)遞增，f(x)min=f(1e)=m?1e,f(x)max=f(e)=m+e，所以e+m>2(m?1e)>0，解得m的取值范圍為(1e,e2+2e)，故選A. 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.解答本題首先通過(guò)給出的定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，得到最小值，通過(guò)比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值求出最大值，列出關(guān)于參數(shù)m的不等式，進(jìn)而求得其范圍. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知(1+ax)(1?2x)5的展開(kāi)式中，x3的系數(shù)為?20，則實(shí)數(shù)a=__________． 【答案】32 【解析】 分析：先求(1-2x)5中x3,x2的系數(shù)，再根據(jù)x3的系數(shù)為-20求出a的值. 詳解：令(1-2x)5的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C5r(?2x)r=C5r(?2)rxr, 當(dāng)x=3時(shí)，x3的系數(shù)為C53(?2)3=?80. 當(dāng)x=2時(shí)，x2的系數(shù)為C52(?2)2=40， 所以1（-80）+a40=40a-80=-20, 所以a=32. 故答案為：32 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式展開(kāi)式的項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)的掌握能力和分類討論思想方法. (2)解答本題的關(guān)鍵是求(1-2x)5中x3,x2的系數(shù)，然后x3的系數(shù)為1（-80）+a40=40a-80. 14. 已知平面區(qū)域Ω=(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤1，現(xiàn)向該區(qū)域內(nèi)任意擲點(diǎn)，則點(diǎn)落在曲線y=cos2x下方的概率為_(kāi)_________． 【答案】12 【解析】 分析：先化簡(jiǎn)y=cos2x=1+cos2x2，再求0π(12+cos2x2)dx，再求點(diǎn)落在曲線y=cos2x下方的概率. 詳解：y=cos2x=1+cos2x2， 所以0π(12+cos2x2)dx=(12x+14sin2x)|0π=π2， 所以點(diǎn)落在曲線y=cos2x下方的概率為π2π1=12. 故答案為：12 點(diǎn)睛：（1）本題考查定積分和幾何概型的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法. (2)解答本題的關(guān)鍵是求點(diǎn)落在曲線y=cos2x下方的面積. 15. 設(shè)拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若∠AMB=90，則|AF|=__________． 【答案】2 【解析】 分析：先設(shè)直線AB方程為y=kx+1,再利用MA?MB=0求出k的值，最后求|AF|. 詳解：設(shè)直線AB方程為y=kx+1, 聯(lián)立x2=4yy=kx+1,∴x2?4kx?4=0 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0.則x1+x2=4k,x1?x2=?4. 由題得MA=(x1,y1+1),MB=(x2,y2+1), 因?yàn)椤螦MB=90，所以MA?MB=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=?4(1+k2)+8k2+4=4k2=0， 所以k=0. 所以x1=2,y1=1. ∴A(2,1),∴|AF|=2. 故答案為：2 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理的能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)MA?MB=0求出k的值. 16. 如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD=1，∠BAD=2π3，射線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)使得DC平分∠EDF（點(diǎn)E在線段BC上且與B、C不重合），則當(dāng)BF+4BE取最小值時(shí)，tan∠EDF=__________． 【答案】3 【解析】 分析：先建立直角坐標(biāo)系，再由cos<DE,DC>=cos<DF,DC>得ab=3，最后利用基本不等式求BF+4BE的最小值從而求出tan∠EDF. 詳解： 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 設(shè)B(0，0),A(0，1),D(32,32),C(3,0),E(a,0),F(b,0)， 由cos<DE,DC>=cos<DF,DC>得ab=3,且0<a<3<b， BF+4BE=b+4a=b+12b≥2b?12b=43. 當(dāng)b=23,a=32時(shí)，不等式取等號(hào). 此時(shí)DE⊥BF, ∴tan∠EDF=EFDE=23?3232=3. 故答案為：3 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查坐標(biāo)法，考查利用基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理轉(zhuǎn)化的能力. (2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是想到利用坐標(biāo)法解答，其二是由cos<DE,DC>=cos<DF,DC>得ab=3. 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17. 已知等差數(shù)列an的公差d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2+a8=22，且a4，a7，a12成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （2）若Tn=1S1+1S2+?+1Sn，證明：Tn<34． 【答案】（1）an=2n+1n∈N*；（2）見(jiàn)解析． 【解析】 分析：（Ⅰ）由題意可求得等差數(shù)列an的公差d=2，a1=3，從而可得an=2n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1Sn=1nn+2=121n-1n+2，然后根據(jù)裂項(xiàng)相消法得到Tn=34-121n+1+1n+2，由此可得結(jié)論成立． 詳解：（Ⅰ）∵數(shù)列an為等差數(shù)列，且a2+a8=22， ∴a5=12a2+a8=11． ∵a4,a7,a12成等比數(shù)列， ∴a72=a4?a12， 即11+2d2=11-d?11+7d， 又d≠0, ∴d=2， ∴a1=11-42=3， ∴an=3+2n-1=2n+1n∈N*. （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得Sn=na1+an2=nn+2， ∴1Sn=1nn+2=121n-1n+2． ∴Tn=1S1+1S2+?+1Sn =121-13+12-14+13-15+?+(1n-1-1n+1)+(1n-1n+2) =12(1+12-1n+1-1n+2) =34-121n+1+1n+2<34． ∴Tn<34． 點(diǎn)睛：對(duì)于通項(xiàng)公式是分式型的數(shù)列求和時(shí)一般用裂項(xiàng)法，解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)： （1）列項(xiàng)時(shí)，一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止；（2）消項(xiàng)的規(guī)律為：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)，即剩余的項(xiàng)具有對(duì)稱性． 18. 隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購(gòu)銷平臺(tái)．已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤(rùn)0.5萬(wàn)元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬(wàn)元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如圖所示．已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品，現(xiàn)以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度的市場(chǎng)需求量，T（單位：萬(wàn)元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤(rùn)． （1）視x分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率，求Px≥120； （2）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式； （3）在頻率分布直方圖的市場(chǎng)需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值（組中值）代表該組的各個(gè)值，并以市場(chǎng)需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場(chǎng)需求量取該組中值的概率（例如x∈100,110，則取x=105的概率等于市場(chǎng)需求量落入100,110的頻率），求T的分布列及數(shù)學(xué)期望ET． 【答案】（1）0.7；（2）T=0.8x?39,100≤x<13065,130≤x≤150；（3）見(jiàn)解析． 【解析】 分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）結(jié)合題意用分段函數(shù)的形式表示T與x的關(guān)系．（Ⅲ）先確定T的所有可能取值為45,53,61,65，然后分別求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而可得分布列，最后求出期望． 詳解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖及互斥事件的概率公式可得： Px≥120=P120≤x<130+P130≤x<140+P140≤x≤150 =0.03010+0.02510+0.01510 =0.7． （Ⅱ）當(dāng)x∈100,130時(shí)，T=0.5x-0.3130-x=0.8x-39， 當(dāng)x∈130,150時(shí)，T=0.5130=65． 所以T=0.8x-39,100≤x<13065,130≤x≤150 （Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得： 當(dāng)x∈100,110時(shí)，T=0.8105-39=45，PT=45=0.01010=0.1； 當(dāng)x∈110,120時(shí)，T=0.8115-39=53，PT=53=0.02010=0.2； 當(dāng)x∈120,130時(shí)，T=0.8125-39=61，PT=61=0.03010=0.3； 當(dāng)x∈130,150時(shí)，T=65，PT=65=0.025+0.01510=0.4． 所以T的分布列為： T 45 53 61 65 P 0.1 0.2 0.3 0.4 ∴ET=450.1+530.2+610.3+650.4=59.4萬(wàn)元． 點(diǎn)睛：（1）求隨機(jī)變量及其分布列的一般步驟 ①明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；②利用相應(yīng)的概率求出隨機(jī)變量取每個(gè)可能值的概率；③按規(guī)范形式寫(xiě)出隨機(jī)變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證． （2）解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，合理選擇合適的概率公式求解． 19. 在四棱錐P?ABCD中，AB∥CD?,?CD=2AB?． （1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)M，AN=mAP(m>0)，且MN∥平面PCD，求實(shí)數(shù)m的值； （2）若AB=AD=DP?,?∠BAD=60?,?PB=2AD?,且PD⊥AD, 求二面角B?PC?D的余弦值． 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)64. 【解析】 分析：（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得AMAC=13．結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得 m=ANAP=AMAC=13． （2）由幾何關(guān)系可得PD⊥平面ABCD，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DP的方向?yàn)閤,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，據(jù)此可得平面PBC的一個(gè)法向量為n1=(1,2,3)，平面PCD的一個(gè)法向量為 n2=(3,0,1)．據(jù)此可得cos<n1,n2>=64，則二面角B-PC-D 的正弦值為104. 詳解：（1）因?yàn)锳B//CD,所以AMMC=ABCD=12?,?即AMAC=13． 因?yàn)镸N//平面PCD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PCD=PC， 所以MN//PC． 所以ANAP=AMAC=13，即m=13． （2）因?yàn)锳B=AD,∠BAD=60,可知為等邊三角形， 所以BD=AD=PD，又BP=2AD， 故BP2=PD2+DB2，所有PD⊥DB． 由已知PD⊥AD,AD∩BD=D，所以PD⊥平面ABCD， 如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DP的方向?yàn)閤,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB=1，則AB=AD=DP=1,CD=2， 所以，則PB=(12,-1,32),PC=(-1,-1,3)， 設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1)，則有 n1?PB=0,n1?PC=0,即x1-2y1+3z1=0,x1+y1-3z1=0. 設(shè)x1=1，則y1=2,z1=3，所以n1=(1,2,3)，　 設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2)，由已知可得 n2?DC=0,n2?DP=0,即x2-3z2=0,y2=0.　 令z2=1，則x2=3，所以 n2=(3,0,1)．　 所以cos<n1,n2>=n1?n2n1?n2=13+02+31222=64， 設(shè)二面角B-PC-D的平面角為，則． 點(diǎn)睛：(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算． (2)設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與<m，n>互補(bǔ)或相等.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 20. 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，且過(guò)點(diǎn)P(22,32)，動(dòng)直線：y=kx+m交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，且OA?OB=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）. （1）求橢圓C的方程. （2）討論3m2-2k2是否為定值？若為定值，求出該定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1)x22+y2=1;(2)2. 【解析】 試題分析： (1)由題意求得b2=1，a2=2，故所求的橢圓方程為x22+y2=1. (2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意可證得3m2-2k2=2為定值. 試題解析： （1）由題意可知ca=22，所以a2=2c2=2(a2-b2)，即a2=2b2，① 又點(diǎn)P(22,32)在橢圓上，所以有24a2+34b2=1，② 由①②聯(lián)立，解得b2=1，a2=2， 故所求的橢圓方程為x22+y2=1. （2）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由OA?OB=0， 可知x1x2+y1y2=0. 聯(lián)立方程組{y=kx+m,x22+y2=1, 消去y化簡(jiǎn)整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0， 由Δ=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)>0，得1+2k2>m2，所以x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2m2-21+2k2，③ 又由題知x1x2+y1y2=0， 即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0， 整理為(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 將③代入上式，得(1+k2)2m2-21+2k2-km?4km1+2k2+m2=0. 化簡(jiǎn)整理得3m2-2-2k21+2k2=0，從而得到3m2-2k2=2. 21. 設(shè)函數(shù)f(x)=?a2lnx+x2?ax(a∈R). （1）試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性； （2）設(shè)φ(x)=2x+(a2?a)lnx，記h(x)=f(x)+φ(x)，當(dāng)a>0時(shí)，若方程h(x)=m(m∈R)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2，證明h(x1+x22)>0. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析. 【解析】 試題分析： (1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論可得： ①若a>0時(shí)，當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ②若a=0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ③若a<0時(shí)，當(dāng)x∈(0,-a2)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(-a2,+∞)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. (2)構(gòu)造新函數(shù)h(x)=f(x)+φ(x)= x2+(2-a)x-alnx (x>0)，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式. 試題解析： （1）由f(x)=-a2lnx+x2-ax，可知f(x)=-a2x+2x-a= 2x2-ax-a2x=(2x+a)(x-a)x. 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，所以， ①若a>0時(shí)，當(dāng)x∈(0,a)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ②若a=0時(shí)，當(dāng)f(x)=2x>0在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； ③若a<0時(shí)，當(dāng)x∈(0,-a2)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(-a2,+∞)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. （2）證明：由題可知h(x)=f(x)+φ(x)= x2+(2-a)x-alnx (x>0)， 所以h(x)=2x+(2-a)-ax= 2x2+(2-a)x-ax=(2x-a)(x+1)x. 所以當(dāng)x∈(0,a2)時(shí)，h(x)<0；當(dāng)x∈(a2,+∞)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x=a2時(shí)，h(a2)=0. 欲證h(x1+x22)>0，只需證h(x1+x22)>h(a2)，又h(x)=2+ax2>0，即h(x)單調(diào)遞增，故只需證明x1+x22>a2. 設(shè)x1，x2是方程h(x)=m的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為0<x1<x2， 則{x12+(2-a)x1-alnx1=m,x22+(2-a)x2-alnx2=m, 兩式相減并整理得a(x1-x2+lnx1-lnx2)= x12-x22+2x1-2x2， 從而a=x12-x22+2x1-2x2x1-x2+lnx1-lnx2， 故只需證明x1+x22>x12-x22+2x1-2x22(x1-x2+lnx1-lnx2)， 即x1+x2=x12-x22+2x1-2x2x1-x2+lnx1-lnx2. 因?yàn)閤1-x2+lnx1-lnx2<0， 所以（*）式可化為lnx1-lnx2<2x1-2x2x1+x2， 即lnx1x2<2x1x2-2x1x2+1. 因?yàn)?<x1<x2，所以0<x1x2<1， 不妨令t=x1x2，所以得到lnt<2t-2t+1，t∈(0,1). 記R(t)=lnt-2t-2t+1，t∈(0,1)，所以R(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等號(hào)成立，因此R(t)在(0,1)單調(diào)遞增. 又R(1)=0， 因此R(t)<0，t∈(0,1)， 故lnt<2t-2t+1，t∈(0,1)得證， 從而h(x1+x22)>0得證. 22. 直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1：x=2+5cosφy=1+5sinφ (φ為參數(shù)）c2：y=kx （x≥0），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線c3的極坐標(biāo)方程為：ρ=63sin2θ+9. （1）求c1的普通方程及c3的直角坐標(biāo)方程。 （2）c2過(guò)點(diǎn)2，1與曲線c1交于不同于原點(diǎn)的點(diǎn)A,與曲線c3交于點(diǎn)B，求A、B兩點(diǎn)的距離。 【答案】(1) C1:(X-2)+(y-1)=5，x23+y24=1;(2)25-152. 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)平方和消參求C1的直角坐標(biāo)方程，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式即可求得C3的直角坐標(biāo)方程； （2）由于曲線C2過(guò)原點(diǎn)和另一點(diǎn)，可以求出其斜率，再將曲線C2化為極坐標(biāo)形式， 令曲線C2分別與另兩條曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出ρ1,ρ2， 由|AB|=|ρ1?ρ2|，即可求出結(jié)果. 【詳解】（1）C1:(X-2)+(y-1)=5，C3:ρ=63sin2θ+9 即x23+y24=1. (2)C2的極坐標(biāo)方程θ=α（ρ≥0,θ）又C2過(guò)點(diǎn)（2，1），所以tanα=,cosα=,sinα=,由曲線C1:(X-2)+(y-1)=5 ，所以-4ρcosθ-2ρsinθ=0. 與θ=α聯(lián)立得-4ρcosα-2ρsinα=0 ρ=2,同理聯(lián)立C2于C3得 3cosα+4ρsinα=12,得ρ=所以=ρ-ρ=2- 【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程以及直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程之間的互化，以及極坐標(biāo)中利用ρ的幾何意義求長(zhǎng)度，求弦長(zhǎng)有多種方式，本題線段長(zhǎng)是由一條過(guò)原點(diǎn)的直線構(gòu)造的，所以采用極坐標(biāo)的方式去解題. 23. 已知函數(shù)f(x)=，g(x)=a （1）當(dāng)a=3時(shí)，解不等式（關(guān)于x的）f(x)g(x)+3. （2）若f(x)g(x)-1 對(duì)于任意x都成立，求a的取值范圍。 【答案】(1);(2). 【解析】 【分析】 （1）寫(xiě)出不等式，根據(jù)絕對(duì)值零點(diǎn)進(jìn)行分段求解即可，最后各段結(jié)果取并集. （2）對(duì)自變量進(jìn)行分類討論，分離參數(shù)，利用絕對(duì)值三角不等式求解即可. 【詳解】（1）當(dāng)a=3 時(shí)>3+3即-3-3>0 ①當(dāng)X≤0時(shí)4-x+3x-3>0即x>-即-<x<0 ②當(dāng)0<x<4時(shí)4-x-3x-3>0即x<-(舍去） ③當(dāng)X≥4時(shí)x-4-3X-3>0即X<- 綜上所述 (2)若不等式f(x)≥g(x)-4恒成立即≥a-4即a≤+4 當(dāng)x=0時(shí)0≤8成立 當(dāng)x≠0時(shí)a≤,因?yàn)?4≥=>0 所以≥1（當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取“等號(hào)”） 所以 的最小值為1，所以a的取值范圍是 【點(diǎn)睛】絕對(duì)值不等式要利用每個(gè)絕對(duì)值的零點(diǎn)將定義域分為幾段，分段求解，最后取并集； 解絕對(duì)值類型不等式，要考慮絕對(duì)值三角不等式，化簡(jiǎn)兩個(gè)絕對(duì)值相加或相減的形式，求參數(shù)范圍問(wèn)題，分離參數(shù)時(shí)注意運(yùn)算的可行性，注意必要時(shí)要分類討論.