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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) (II) 考試時(shí)間: 120分鐘 滿(mǎn)分: 150分 一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. 已知全集，設(shè)集合，集合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，∴,又 ∴ 故選：B 點(diǎn)睛：求集合的交、并、補(bǔ)時(shí)，一般先化簡(jiǎn)集合，再由交、并、補(bǔ)的定義求解．在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍． 2. 已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】根據(jù)所給的關(guān)于復(fù)數(shù)的等式，整理出要求的z的表示式，進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的最簡(jiǎn)結(jié)果，根據(jù)橫標(biāo)和縱標(biāo)的值寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，得到點(diǎn)的位置． 解：∵復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足∴=（1-i）（2-i）=1-3i， ∴z=1+3i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1， 3） ∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限， 故選A 3. 下列命題中的假命題是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：當(dāng)x=1時(shí)，（x-1）2=0,顯然選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選B。 考點(diǎn)：特稱(chēng)命題與存在命題的真假判斷。 視頻 4. 吳敬《九章算法比類(lèi)大全》中描述：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)塔頂幾盞燈？（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)塔頂 盞燈，則 ，解得 ． 故選C． 5. 已知平面向量，且，則（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】∵平面向量，且 ∴,即, ∴ ∴ ∴ 故選：B 6. 已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，給出下列4個(gè)命題： ①若 ②若 ③若 ④若 其中真命題的序號(hào)為（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】m?α，n∥α，則m∥n或m與n是異面直線，故①不正確； 若m⊥α，則m垂直于α中所有的直線，n∥α，則n平行于α中的一條直線l， ∴m⊥l，故m⊥n．故②正確； 若m⊥α，m⊥β，則α∥β．這是直線和平面垂直的一個(gè)性質(zhì)定理，故③成立； m∥α，n∥α，則m∥n，或m，n相交，或m，n異面．故④不正確， 綜上可知②③正確， 故選：D． 7. 在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組, 表示的平面區(qū)域的面積是（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】作出可行域如圖： 聯(lián)立方程組 解得B，所以，故選A. 8. 運(yùn)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的,則輸出s屬于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】程序?yàn)闂l件結(jié)果對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為s=， 則當(dāng)輸入的t∈[﹣1，3]， 則當(dāng)t∈[﹣1，1）時(shí)，s=3t∈[﹣3，3）， 當(dāng)t∈[1，3]時(shí)，s=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4∈[3，4]， 綜上s∈[﹣3，4]， 故選：D． 點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng). 9. 已知 ，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是(　　) A. [1，＋∞) B. (－∞，1] C. [－3，＋∞) D. (－∞，－3] 【答案】A 【解析】：∵條件p：x＞1或x＜﹣3，條件q：x＞a，且q是p的充分而不必要條件 ∴集合q是集合p的真子集，q?P 即a∈[1，+∞）． 故選：A 10. 如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線和虛線畫(huà)出的是多面體的三視圖，則該多面體的體積為（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，截去一個(gè)三棱錐得到，所以幾何體的體積為222﹣， 故選：A． 11. 已知是球的球面上兩點(diǎn)，,為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】試題分析：如上圖所示，點(diǎn) 三點(diǎn)應(yīng)為大圓面上的等要直角三角形，由于為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí)即時(shí)，三棱錐的體積取最大值，所以，解得，所以球的表面積為，故選C. 考點(diǎn)：1、球；2、球的表面積；3、三棱錐. 12. 已知偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)， ，則使成立 的的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 令，則，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)可得，即函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，又由題設(shè)可知，所以結(jié)合圖像可知不等式解集是，則不等式的解集是，應(yīng)選答案B 。 點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用已知條件，并探尋已知不等式與構(gòu)造的函數(shù)之間的關(guān)系。解答時(shí)充分運(yùn)用題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，借助題設(shè)條件與導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系推斷該函數(shù)的單調(diào)性是單調(diào)遞減函數(shù)，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集使得問(wèn)題獲解。 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分． 13. 已知函數(shù)，則__________. 【答案】 【解析】由題意可得： ， 故答案為： 14. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____________. 【答案】 【解析】試題分析：∵，∴，∴，∴切線方程為，即. 考點(diǎn)：用導(dǎo)數(shù)求切線方程. 15. 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立 等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，恒成立 又 ∴ 故答案為： 點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果分離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法. 16. 若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】試題分析：由題意，得，令，則，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，故． 考點(diǎn)：1、函數(shù)零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 三、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 17. 已知等差數(shù)列滿(mǎn)足=2，前3項(xiàng)和=. (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式， (Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足=，=，求前n項(xiàng)和. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（1）設(shè)的公差為，則由已知條件可得解得可寫(xiě)出通項(xiàng)公式． （2）由（1）得．據(jù)此求得公比為,應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式即得． 試題解析：（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，． 化簡(jiǎn)得解得故通項(xiàng)公式，即． （2）由（1）得．設(shè)的公比為,則,從而． 故的前項(xiàng)和． 考點(diǎn)：1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式；2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式． 視頻 18. 已知函數(shù)（）的最小正周期為． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（1）利用二倍角公式及兩角和正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)得：， 由最小正周期為，利用公式可得的值；（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 試題解析： （Ⅰ） . 因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且， 所以，解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）得．. 因?yàn)椋? 所以. 所以.. 因此，即的取值范圍為.. 19. 如圖，四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （I）證明平面； （II）求四面體的體積. 【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ). 【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）由條件可知四面體N-BCM的高，即點(diǎn)到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果． 試題解析：（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. 又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是. 因?yàn)槠矫?，平面，所以平? （Ⅱ）因?yàn)槠矫?，為的中點(diǎn)， 所以到平面的距離為. 取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，. 由得到的距離為，故. 所以四面體的體積. 考點(diǎn)：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、三棱錐的體積． 20. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． （I）求的值； （II）若，求的面積． 【答案】(Ⅰ)2；(Ⅱ). 試題解析： 由正弦定理得， 所以， 即， 化簡(jiǎn)得， ∴即． （II）由得，由余弦定理得及， 得，從而． 又， 得，所以． 點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是： ①定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向. ②定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化. ③求結(jié)果. 21. 已知函數(shù)的最大值為. （I）若，試比較與的大小； （II）是否存在非零實(shí)數(shù)，使得對(duì)恒成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】(Ⅰ)答案見(jiàn)解析；(Ⅱ)存在非零實(shí)數(shù)，且的取值范圍為. 【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用分類(lèi)整合思想求解；(2)依據(jù)題設(shè)先轉(zhuǎn)化再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)探求. 試題解析： （1）. 令，得，令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故. 當(dāng)時(shí)，，∴，∴； 當(dāng)時(shí)，，∴，∴. （2）由（1）知，∴. 設(shè)，∴，令，解得. 當(dāng)時(shí)，令，得；令，得， ∴， ∴. 故當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足對(duì)恒成立； 當(dāng)時(shí)，同理可得，解得. 故存在非零實(shí)數(shù)，且的取值范圍為. 考點(diǎn)：分類(lèi)整合思想及轉(zhuǎn)化化歸思想和導(dǎo)數(shù)等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性和極值最值問(wèn)題的重要而有效的工具.本題就是以含參數(shù)函數(shù)解析式為背景,精心設(shè)置了兩道問(wèn)題,旨在考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)與函數(shù)單調(diào)性和極值的關(guān)系等方面的綜合運(yùn)用以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.本題的第一問(wèn)是先運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，再進(jìn)行分類(lèi)比較；第二問(wèn)的求解時(shí)，先構(gòu)造函數(shù)，再運(yùn)用求導(dǎo)法及分類(lèi)整合思想進(jìn)行分析推證，從而使得問(wèn)題獲解． 請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22. 在直角坐標(biāo)系中，圓和的參數(shù)方程分別是（為參數(shù)）和（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. （Ⅰ）求圓和的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）射線：與圓交于點(diǎn)、，與圓交于點(diǎn)、，求的最大值. 【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ)4. 【解析】試題分析：（1）圓C1的參數(shù)方程分別是（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開(kāi)利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．圓C2的參數(shù)方程（β為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程，展開(kāi)利用互化公式可得極坐標(biāo)方程． （2）依題意得點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，，從而表示出，利用正弦函數(shù)的有界性問(wèn)題迎刃而解. 試題解析： （Ⅰ）圓和的普通方程分別是和. ∴圓和的極坐標(biāo)方程分別為，. （Ⅱ）依題意得點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為，。 ∴，，從而， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取“”，取最大值4. 23. 已知函數(shù)，． （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解不等式； （Ⅱ）若任意，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】試題分析： (1)將a=0代入題中的不等式，平方之后求解不等式即可； (2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，求解 的最小值即可求得實(shí)數(shù) 的取值范圍. 試題解析： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得， 兩邊平方整理得，解得或， ∴原不等式的解集為．　 （Ⅱ）由，得， 令，即 故， 故可得到所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.