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2019屆高三數(shù)學上學期期中試題 文(含解析) 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分） 1.復數(shù)　　 A. 10 B. C. 10i D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)復數(shù)的運算展開得到表達式，即可得到結(jié)果. 【詳解】根據(jù)復數(shù)的乘法運算得到：. 故答案為：C. 【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則,考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，點的象限和復數(shù)的對應關系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算. 2.已知全集，集合，集合，則集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,,則,故選B. 考點：本題主要考查集合的交集與補集運算. 3.已知向量，，，則　　 A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意求出，利用∥（），得到12＝﹣1（1+m），求出m即可． 【詳解】向量（﹣1，1），（3，m），∴（2，1+m）， ∵∥（）， ∴12＝﹣1（1+m）， ∴m＝﹣3． 故選：C． 【點睛】本題考查向量共線與向量的平行的坐標運算，考查計算能力． 4.已知某幾何體的三視圖如圖所示俯視圖中曲線為四分之一圓弧，則該幾何體的表面積為　　 A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的柱體，代入柱體的表面公式，即可得到答案. 【詳解】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以俯視圖為底面的柱體， 底面面積為， 底面周長為，柱體的高為1， 所以該柱體的表面積為. 【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應表面積與體積公式求解. 5.函數(shù)的圖象可能是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作出判斷. 【詳解】 ，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱。排除B,當 則排除C,D.故選A. 【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖像，解題的關鍵是研究函數(shù)的性質(zhì). 6.設x，y滿足約束條件，則的最大值為　　 A. 8 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值． 【詳解】作出不等式對應的平面區(qū)域， 由z＝x+2y，得y， 平移直線y，由圖象可知當直線y經(jīng)過點B時，直線y的截距最大，此時z最大． 由，得， 即B（3，2）， 此時z的最大值為z＝3+22＝7， 故選B． 【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法． 7.在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在長方體中，連接，可得,得即為異面直線與所成的角，在中，利用余弦定理即可求解. 【詳解】在長方體中，連接，可得, 所以異面直線與所成的角，即為直線與直線所成的角， 即為異面直線與所成的角， 在長方體中，設， 則， 在中，由余弦定理得，故選B. 【點睛】本題主要考查了空間中異面直線所成角的求解，其中根據(jù)異面直線所成角的定義，得到為異面直線與所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，以及計算能力，屬于基礎題. 8.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙說:“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：乙說的是事實”.經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話， 且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 ∵乙、丁兩人的觀點一致，∴乙、丁兩人的供詞應該是同真或同假； 若乙、丁兩人說的是真話，則甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是罪犯的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論，矛盾；∴乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話；由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯． 9.如圖所示，已知四棱錐的高為3，底面ABCD為正方形，且，則四棱錐外接球的半徑為　　 A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知，四棱錐為正四棱錐，外接球的球心在四棱錐的高上，根據(jù)已知條件，求出，在中即可求出外接球半徑. 【詳解】由已知，四棱錐為正四棱錐，設外接球半徑為 連接、交于點，連接，外接球的球心在高上，連接，則 四棱錐的高為，，即 ，， 又 為直角三角形 ，即，解得. 故選B. 【點睛】本題考查棱錐外接球的計算，考查正四棱錐的特征，考查推理能力、運算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想. 10.利用反證法證明：“若，則”時，假設為 A. ，都不為0 B. 且，都不為0 C. 且，不都為0 D. ，不都為0 【答案】D 【解析】 原命題的結(jié)論是都為零，反證時，假設為不都為零. 11.若兩個正實數(shù)滿足,且恒成立,則實數(shù)的取值范圍是 A. B. C. (-4,2) D. (-2,4) 【答案】D 【解析】 x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋2≥8，當且僅當，即4y2＝x2時等號成立．x＋2y＞m2＋2m恒成立，則m2＋2m＜8，m2＋2m－8＜0，解得－4＜m＜2，故選D. 12.設等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則，，，，中最大項為　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：因為S19>0，S20<0，所以，且 所以， 所以， 當時， 所以，中最大項為，故選C． 考點：等差數(shù)列． 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分） 13.求經(jīng)過圓的圓心，且與直線平行的直線的一般式方程為______ 【答案】 【解析】 【分析】 由圓的方程求得圓心坐標，根據(jù)題意設所求直線為，代入圓心坐標，即可求解. 【詳解】由圓的方程，可得圓心坐標， 又因為所求直線與直線平行，可設所求直線為， 代入圓心坐標，可得，解的， 即所求直線的方程為. 【點睛】本題主要考查了直線的位置關系的應用，以及圓的標準方程的應用，其中解答中根據(jù)兩直線的位置關系，合理設出方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力. 14.給出下列命題： 命題1：點是直線與雙曲線的一個交點； 命題2：點是直線與雙曲線的一個交點； 命題3：點是直線與雙曲線的一個交點； 觀察上面命題，猜想出命題是正整數(shù)為：______． 【答案】點） 是直線y=nx與雙曲線的一個交點 【解析】 解：由題意命題1：點(1,1)是直線y = x與雙曲線y =的一個交點; 命題2：點(2,4)是直線y = 2x與雙曲線y =的一個交點; 命題3：點(3,9)是直線y = 3x與雙曲線y =的一個交點; 則歸納猜想可知，結(jié)論為是直線y=nx與雙曲線的一個交點 15.已知中，，，，則面積為______ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，結(jié)合A，B的范圍，可求﹣π＜A﹣B＜π，進而求得A﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，根據(jù)三角形面積公式即可計算得解． 【詳解】∵acosB=bcosA， ∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0， ∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0，可得：a=b=1， ∴cosA===，可得：sinA=， ∴S△ABC=bcsinA==． 故答案為：． 【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題． 16.若，，，且，，則的值為______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先對所給的方程進行恒等變形，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和角度的范圍求得的值，然后求解三角函數(shù)值即可. 【詳解】∵， ∴(?2β)3?2sinβcosβ?2λ=0， 即(?2β)3+sin(?2β)?2λ=0. 由可得. 故?2β和是方程x3+sinx?2λ=0的兩個實數(shù)解. 再由，，， 所以和的范圍都是， 由于函數(shù)x3+sinx在上單調(diào)遞增， 故方程x3+sinx?2λ=0在上只有一個解， 所以，，∴， 則的值為. 【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分） 17.已知函數(shù)的最小正周期為． 求的值； 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，面積，求b． 【答案】(1)(2)3 【解析】 【分析】 （1）化簡 ，根據(jù)函數(shù)的最小正周期即可求出的值 2）由（1）知，.由，求得，再根據(jù)的面積，解得，最后由余弦定理可求出. 【詳解】（1） 故函數(shù)的最小正周期，解得. （2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面積，解得.由余弦定理可得 ，所以. 【點睛】本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎知識；考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題． 18.已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，且點在橢圓C上． 求橢圓C的方程； 若點P在第二象限，，求的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）已知橢圓的焦點在軸上且長軸為，則橢圓方程可設為，再利用點在橢圓上可求得，從而得橢圓方程；（2）由（1）求得及，在中，由余弦定理可得，然后代入三角形面積公式可得面積． 試題解析：（1）因為的焦點在軸上且長軸為， 故可設橢圓的方程為（）， 因為點在橢圓上，所以，解得， 所以，橢圓的方程為． （2）由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，即，∴，則. 19.如圖，四棱錐中，平面底面ABCD，是等邊三角形，底面ABCD為梯形，且，，． Ⅰ證明：； Ⅱ求A到平面PBD的距離． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理得，從而BD⊥AB，由AB∥DC，得BD⊥DC．從而BD⊥平面PDC，由此能證明BD⊥PC （2）設A到平面PBD的距離為h．取DC中點Q，連結(jié)PQ，由VA-PBD=VP-ABD，能求出A到平面PBD的距離． 【詳解】（1）由余弦定理得， ∴，∴， ∴. 又平面 底面，平面 底面 ，底面， ∴平面， 又平面，∴. （2）設到平面的距離為 取中點，連結(jié),∵△是等邊三角形，∴. 又平面 底面，平面 底面 ，平面， ∴底面，且， 由（Ⅰ）知平面，又平面，∴. ∴，即2 1. 解得. 【點睛】本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 20.已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設，數(shù)列的前項和，求使成立的最大正整數(shù)的值. 【答案】⑴，；⑵ 【解析】 【分析】 （1）利用得到，解出可得通項公式． （2）利用裂項相消法求后解不等式可得最大正整數(shù)的值． 【詳解】（1）由題意知，，即， 解得，故，． （2）由， 得， ， 由，解得． 故所求的最大正整數(shù)為5． 【點睛】數(shù)列求和關鍵看通項的結(jié)構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法. 21.己知二次函數(shù)滿足，且． 求函數(shù)的解析式 令， 若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍 求函數(shù)在區(qū)間的最小值． 【答案】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2. ②見解析 【解析】 【分析】 （1）據(jù)二次函數(shù)的形式設出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數(shù)相等解得． （2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x=m為對稱軸的拋物線， ①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2； ②分當m≤0時，當0＜m＜2時，當m≥2時三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案． 【詳解】由已知令； （1） 又 . （2）①=其對稱軸為 在上不單調(diào)，，. ②當，即時， 當，即時， 當，即時，, 綜上， . 【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵． 22.設公差不為0的等差數(shù)列的首項為1，且，，構成等比數(shù)列． 求數(shù)列的通項公式，并求數(shù)列的前n項和為； 令，若對恒成立，求實數(shù)t的取值范圍． 【答案】（1）, (2) 【解析】 【分析】 （1）利用等差數(shù)列的首項和公差,代入，求出，進而求出；可看成是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的乘積，故可用錯位相減法求和. （2）通過分奇偶討論求出，再利用參變分離求的范圍. 【詳解】（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，首項，由題意， 則,解得.則. ?， ?， ?-?得 ， . (2), 當為奇數(shù)時，， 當為偶數(shù)時，， 綜上所述， 【點睛】錯位相減法是求數(shù)列前項和的一種基本方法，解題過程計算比較繁瑣，特別要注意解題中符號的變化以及相減后消去哪些項，保留哪些項.處理數(shù)列與不等式相結(jié)合的恒成立問題，其方法與函數(shù)中恒成立問題相同，但是一定要注意數(shù)列中變量的取值的特殊性.