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1、第5講 找規(guī)律(一)
這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”,然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。
按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如,
(1) 1,2,3,4,5,6,…
(2) 1,2,4,8,16,32;
(3) 1,0,0,1,0,0,1,…
(4) 1,1,2,3,5,8,13。
一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù),稱為這個數(shù)列的第n項。如,數(shù)列(1)的第3項是3,數(shù)列(2)的第3項是4。一般地,我們將數(shù)列的第n項記作an。
數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個,如數(shù)列(2)(4),也可以是無限多個,如數(shù)列(1)(3)。
許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的,我們這一講就是
2、講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。
數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的,也叫做自然數(shù)數(shù)列,其規(guī)律是:后項=前項+1,或第n項an=n。
數(shù)列(2)的規(guī)律是:后項=前項2,或第n項
數(shù)列(3)的規(guī)律是:“1,0,0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。
數(shù)列(4)的規(guī)律是:從第三項起,每項等于它前面兩項的和,即
a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,
a6=3+5=8,a7=5+8=13。
常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類:
第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān),或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。
第二類是前后幾項為一組,以組為單元找關(guān)系才可找到
3、規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。
第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些,我們用后面的例3、例4來作一些說明。
例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)4,7,10,13,( ),…
(2)84,72,60,( ),( );
(3)2,6,18,( ),( ),…
(4)625,125,25,( ),( );
(5)1,4,9,16,( ),…
(6)2,6,12,20,( ),( ),…
解:通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析,可發(fā)現(xiàn)
(1)的規(guī)律是:前項+3=后項。所以應(yīng)填16。
(2)的規(guī)律是:前項-1
4、2=后項。所以應(yīng)填48,36。
(3)的規(guī)律是:前項3=后項。所以應(yīng)填54,162。
(4)的規(guī)律是:前項5=后項。所以應(yīng)填5,1。
(5)的規(guī)律是:數(shù)列各項依次為
1=11, 4=22, 9=33, 16=44,
所以應(yīng)填55=25。
(6)的規(guī)律是:數(shù)列各項依次為
2=12,6=23,12=34,20=45,
所以,應(yīng)填 56=30, 67=42。
說明:本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān),因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為
(1)an=3n+1;(2)an=96-12n;
(3)an=23n-1;(4)an=55-n;(5)
5、an=n2;(6)an=n(n+1)。
這樣表示的好處在于,如果求第100項等于幾,那么不用一項一項地計算,直接就可以算出來,比如數(shù)列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中,數(shù)列(2)(4)只有5項,當然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。
例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)1,2,2,3,3,4,( ),( );
(2)( ),( ),10,5,12,6,14,7;
(3) 3,7,10,17,27,( );
(4) 1,2,2,4,8,32,( )。
解:通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。
(1)把數(shù)列每兩項分為一組,
6、1,2,2,3,3,4,不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是:前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù),所以應(yīng)填4,5。
(2)把后面已知的六個數(shù)分成三組:10,5,12,6,14,7,每組中兩數(shù)的商都是2,且由5,6,7的次序知,應(yīng)填8,4。
(3)這個數(shù)列的規(guī)律是:前面兩項的和等于后面一項,故應(yīng)填( 17+27=)44。
(4)這個數(shù)列的規(guī)律是:前面兩項的乘積等于后面一項,故應(yīng)填(832=)256。
例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù):
(1)18,20,24,30,( );
(2)11,12,14,18,26,( );
(3)2,5,11,23,47,( ),( )。
解:(1
7、)因20-18=2,24-20=4,30-24=6,說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2,4,6,…其規(guī)律是“依次加2”,因為6后面是8,所以,a5-a4=a5-30=8,故
a5=8+30=38。
(2)12-11=1,14-12=2, 18-14=4, 26-18=8,組成一新數(shù)列1,2,4,8,…按此規(guī)律,8后面為16。因此,a6-a5=a6-26=16,故a6=16+26=42。
(3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系,后項=前項2+1,所以
a6=2a5+1=247+1=95,
a7=2a6+1=295+1=191。
例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律,并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適
8、的數(shù):
(1)12,15,17,30, 22,45,( ),( );
(2) 2,8,5,6,8,4,( ),( )。
解:(1)數(shù)列的第1,3,5,…項組成一個新數(shù)列12,17, 22,…其規(guī)律是“依次加5”,22后面的項就是27;數(shù)列的第2,4,6,…項組成一個新數(shù)列15,30,45,…其規(guī)律是“依次加15”,45后面的項就是60。故應(yīng)填27,60。
(2)如(1)分析,由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2,5,8,…中,8后面的數(shù)應(yīng)為11;由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8,6,4,… 中,4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11,2。
練習(xí)5
按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。
1.
9、56,49,42,35,( )。
2.11, 15, 19, 23,( ),…
3.3,6,12,24,( )。
4.2,3,5,9,17,( ),…
5.1,3,4,7,11,( )。
6.1,3,7,13,21,( )。
7.3,5,3,10,3,15,( ),( )。
8.8,3,9,4,10,5,( ),( )。
9.2,5,10,17,26,( )。
10.15,21,18,19,21,17,( ),( )。
11.數(shù)列1,3,5,7,11,13,15,17。
(1)如果其中缺少一個數(shù),那么這個數(shù)是幾?應(yīng)補在何處?
(2)如果其中多了一個數(shù),那么這個數(shù)是幾?為什么?