《高考數學理科一輪【學案18】同角三角函數的基本關系式及誘導公式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學理科一輪【學案18】同角三角函數的基本關系式及誘導公式（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 高考數學精品復習資料 2019.5 學案18　同角三角函數的基本關系式及誘導公式 導學目標： 1.能利用單位圓中的三角函數線推導出α，πα的正弦、余弦、正切的誘導公式.2.理解同角三角函數的基本關系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 自主梳理 1．同角三角函數的基本關系 (1)平方關系：____________________. (2)商數關系：______________________________. 2．誘導公式 (1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝___

2、_______，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z. (2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________. (3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________. (4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________. (5)sin＝________，cos＝________. (6)sin＝__________，cos＝_______________________________

3、_____. 3．誘導公式的作用是把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，一般步驟為： 上述過程體現(xiàn)了化歸的思想方法． 自我檢測 1．(20xx全國Ⅰ)cos 300等于 (　　) A．－ B．－ C. D. 2．(2009陜西)若3sin α＋cos α＝0，則的值為 (　　) A.

4、B. C. D．－2 3．(20xx福建龍巖一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，則sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ 4．cos(－π)－sin(－π)的值是 (　　) A. B．－ C．0 D. 5．(20xx清遠月考)已知cos(－α)＝，則sin(α－)＝________. 探究點一　利用同角

5、三角函數基本關系式化簡、求值 例1　已知－

6、－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個內角． 變式遷移3　(20xx安陽模擬)已知△ABC中，sin A＋cos A＝， (1)求sin Acos A； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求tan A的值． 轉化與化歸思想的應用 例　(12分)已知α是三角形的內角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出來，并求其值． 多角度審題　由sin α＋cos α＝應聯(lián)想到隱含條件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，應當切化弦，所以只要求出sin α，cos α

7、即可． 【答題模板】 解　(1)聯(lián)立方程 由①得cos α＝－sin α，將其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分] ∵α是三角形的內角，∴，[4分] ∴tan α＝－.[6分] (2)＝＝＝，[8分] ∵tan α＝－，∴＝[10分] ＝＝－.[12分] 【突破思維障礙】 由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立方程組，利用角α的范圍，應先求sin α再求cos α.(1)問切化弦即可求．(2)問應弦化切，這時應注意“1”的活用． 【易錯點剖析】 在求解sin α，cos α的過程中，若消去cos α得到關于sin α的方程，

8、則求得兩解，然后應根據α角的范圍舍去一個解，若不注意，則誤認為有兩解． 1．由一個角的三角函數值求其他三角函數值時，要注意討論角的范圍． 2．注意公式的變形使用，弦切互換、三角代換、消元是三角代換的重要思想，要盡量少開方運算，慎重確定符號．注意“1”的靈活代換． 3．應用誘導公式，重點是“函數名稱”與“正負號”的正確判斷． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx荊州模擬)已知△ABC中，＝－，則cos A等于 (　　) A. B. C．－ D．－ 2．已知tan α＝－，且α為第

9、二象限角，則sin α的值等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 3．(20xx許昌月考)已知f(α)＝，則f(－π)的值為 (　　) A. B．－ C．－ D. 4．設f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零實數，若f(2 002)＝－1，則f(2 003)等于 (　　) A．－1 B．0 C．1

10、 D．2 5．(20xx全國Ⅰ)記cos(－80)＝k，那么tan 100等于 (　　) A. B．－ C. D．－ 題號 1 2 3 4 5 答案 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx全國Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α＝________. 7．sin21＋sin22＋sin23＋…＋sin289＝________. 8．(20xx東北育才學校高三第一次模擬考試)若tan α＝2，則＋cos2α＝________. 三、解答題(共3

11、8分) 9．(12分)已知f(α)＝. (1)化簡f(α)； (2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值． 10．(12分)化簡： (k∈Z)． 11．(14分)(20xx秦皇島模擬)已知sin θ，cos θ是關于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根． (1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值； (2)求tan(π－θ)－的值． 答案 自主梳理 1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)＝tan α　2.(1)sin α　cos α tan α　(2)－sin α?。璫os α　tan α　(3

12、)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α?。璫os α　－tan α　(5)cos α　sin α (6)cos α?。璼in α 自我檢測 1．C　[cos 300＝cos(360－60)＝cos 60＝.] 2．A　[∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝， ∴＝ ＝＝.] 3．B 4．A　[cos(－π)－sin(－π)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)＝cos＋sin＝.] 5．－ 解析　sin(α－)＝－sin(－α) ＝－sin[(－α)＋] ＝－cos(－α)＝－.

13、 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　學會利用方程思想解三角函數題，對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，已知其中一個式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意對符號的判斷． 解　由sin x＋cos x＝得， 1＋2sin xcos x＝，則2sin xcos x＝－. ∵－0， 即sin x－cos x<0. 則sin x－cos x ＝－ ＝－＝－. (1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x) ＝＝－. (2)由， 得，則tan x＝－. 即＝

14、＝. 變式遷移1　解　∵sin(3π＋α)＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α. ∴sin α＝2cos α，即tan α＝2. 方法一　(直接代入法)： (1)原式＝＝－. (2)原式＝＝＝. 方法二　(同除轉化法)： (1)原式＝＝＝－. (2)原式＝sin2α＋2sin αcos α ＝＝＝. 例2　解題導引　三角誘導公式記憶有一定規(guī)律：的本質是：奇變偶不變(對k而言，指k取奇數或偶數)，符號看象限(看原函數，同時可把α看成是銳角)．誘導公式的應用是求任意角的三角函數值，其一般步驟：(1)負角變正角，再寫成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)轉化為銳角三角函數．

15、 解　(1)∵sin＝－，α∈(0，π)， ∴cos α＝－，sin α＝. ∴＝＝－. (2)∵cos α＝－，sin α＝， ∴sin 2α＝－，cos 2α＝－， cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－. 變式遷移2　 解析　∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝ ＝＝＝. 例3　解題導引　先利用誘導公式化簡已知條件，再利用平方關系求得cos A．求角時，一般先求出該角的某一三角函數值，再確定該角的范圍，最后求角．誘導公式在三角形中常用結論有：A＋B＝π－C；＋＋＝. 解　由已知得 ①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝. (1)當cos A＝時，cos B

16、＝， 又A、B是三角形的內角， ∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π. (2)當cos A＝－時，cos B＝－. 又A、B是三角形的內角， ∴A＝π，B＝π，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝π. 變式遷移3　解　(1)∵sin A＋cos A＝，① ∴兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由(1)sin Acos A＝－<0，且00，cos A<0，∴sin A－c

17、os A>0， ∴sin A－cos A＝，② ∴由①，②得sin A＝，cos A＝－， ∴tan A＝＝－. 課后練習區(qū) 1．D　[∵A為△ABC中的角，＝－， ∴sin A＝－cos A，A為鈍角，∴cos A<0. 代入sin2A＋cos2A＝1，求得cos A＝－.] 2．C　[已知tan α＝－，且α為第二象限角， 有cos α＝－＝－，所以sin α＝.] 3．C　[∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－π) ＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.] 4．C　[∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β)

18、 ＝asin α＋bcos β＝－1， ∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β) ＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)] ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.] 5．B　[∵cos(－80)＝cos 80＝k， sin 80＝＝. ∴tan 100＝－tan 80＝－.] 6．－ 解析　∵tan α＝－，∴＝－， 又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角， ∴cos α＝－. 7. 解析　sin21＋sin22＋sin23＋…＋sin289

19、＝sin21＋sin22＋…＋sin245＋…＋sin2(90－2)＋ sin2(90－1) ＝sin21＋sin22＋…＋2＋…＋cos22＋cos21 ＝(sin21＋cos21)＋(sin22＋cos22)＋…＋(sin244＋cos244)＋＝44＋＝. 8. 解析　原式＝＋ ＝3＋＝3＋＝. 9．解　(1)f(α)＝ ＝＝－cos α.…………………………………………………………(5分) (2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝， ∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(8分) ∴cos α＝－＝－＝－，

20、∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(12分) 10．解　當k為偶數2n (n∈Z)時， 原式＝ ＝ ＝＝＝－1；……………………………………………………(6分) 當k為奇數2n＋1 (n∈Z)時， 原式＝ ＝＝＝－1. ∴當k∈Z時，原式＝－1.………………………………………………………………(12分) 11．解　由已知原方程的判別式Δ≥0， 即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分) 又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，則a2－2a－1＝0，(6分) 從而a＝1－或a＝1＋(舍去)， 因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分) (1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………(11分) (2)tan(π－θ)－＝－tan θ－ ＝－(＋)＝－＝－＝1＋. ……………………………………………………………………………………………(14分)