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第一類邊界問題的有限差分法探討

上傳人:仙*** 文檔編號(hào):43727219 上傳時(shí)間:2021-12-04 格式:DOC 頁數(shù):25 大?。?.15MB
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《第一類邊界問題的有限差分法探討》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《第一類邊界問題的有限差分法探討(25頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、. 第一類邊界問題的有限差分法探討 摘要:本次重點(diǎn)是對(duì)于第一類邊界問題的兩種不同方法的對(duì)比研討,通過計(jì)算機(jī)仿真有限差分法和計(jì)算分離變量法對(duì)同一問題的求解,對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,能夠發(fā)現(xiàn)有限差分法更加快捷簡(jiǎn)便,只要迭代次數(shù)足夠多就能使誤差趨于零。而分離變量法則是準(zhǔn)確的計(jì)算出結(jié)果,只是運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜。 關(guān)鍵字:有限差分法,分離變量法,加速收斂因子,迭代次數(shù),邊界條件。 引言:在給定的三類邊界條件①下求解標(biāo)量位或矢量位的泊松方程或拉普拉斯方程的解一般的理論依據(jù)是唯一性定理和得加原理,由此而得出的解題方法有很多。主要分為兩大類:一是解析法(如分離變量法,鏡像法②等),二是數(shù)值法(如有限差分法,有限元法

2、③等)。這兩種方法各有優(yōu)點(diǎn)和不足④,相比較而言在許多實(shí)際問題中由于邊界條件過于復(fù)雜而無法求得解析解。這就需要借助于數(shù)值法來求電磁場(chǎng)的數(shù)值解。有限差分法便是一種比較容易的數(shù)值解法。本次研討就以第一類邊界問題進(jìn)行為例來分析研究有限差分法。 一、 有限差分法的定義: 微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法為有限差分法。基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替, 這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn);把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似;把原方程和定解條件中的微商用差商來近似, 積分用積分和來近似,于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組,即有限差分方程組 ,

3、 解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。 精品 . 二、 有限差分法解題的基本步驟: (1)、區(qū)域離散化,即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè)格點(diǎn)組成的網(wǎng)格; (2)、近似替代,即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù); (3)、逼近求解。換而言之,這一過程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來代替偏微分方程的解的過程。 三、 有限差分法公式的推導(dǎo): 把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格,把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的場(chǎng)分布用網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值解來代替。網(wǎng)格劃分的充分細(xì),才能夠達(dá)到足夠的精度。應(yīng)用有限差分法計(jì)算靜態(tài)場(chǎng)邊值

4、問題時(shí),需要把微分方程用差分方程替代。 用圖形法解釋如下: 精品 . 有限差分網(wǎng)格劃分 在由邊界L界定的二維區(qū)域D內(nèi),電位函數(shù)φ滿足拉普拉斯方程且給定第一邊界條件,則: 如圖將區(qū)域D劃分為正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn),兩相鄰平行網(wǎng)格線間的距離稱為步距 h。然后,拉普拉斯方程離散化,對(duì)于任一點(diǎn)0,有一階偏導(dǎo)數(shù): 而后,對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù): 精品 . 對(duì)于Y軸同理: 因此拉普拉斯方程的差分格式為: 緊鄰邊界節(jié)點(diǎn)的拉普拉斯方程的差分格式為: 其中p、q為小于1的正數(shù);1、2為邊界

5、上的節(jié)點(diǎn),其值為對(duì)應(yīng)邊界點(diǎn)處的值,是已知的。具體如圖: 緊鄰邊界節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格劃分 精品 . 應(yīng)用數(shù)值計(jì)算解釋(泰勒公式展開法): 1點(diǎn)電位的泰勒公式展開為 3點(diǎn)電位的泰勒公式展開為 ,當(dāng)h很小時(shí),忽略4階以上的高次項(xiàng),得 同樣可得 將上面兩式相加得 在上式中代入,得 精品 . 對(duì)于,即F=0的區(qū)域,得到二維拉普拉斯方程的有限差分形式 通過以上兩種方法的推導(dǎo),可得任意點(diǎn)的電位等于圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值。當(dāng)用網(wǎng)格將區(qū)域劃分后,對(duì)每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)寫出類似的式子,就得到方程數(shù)與未知電位的網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)數(shù)相等的線性方程組。

6、已知的邊界條件在離散化后成為邊界上節(jié)點(diǎn)的已知電位值。 四、 差分方程組的解法 方法一:高斯——賽德爾迭代法(簡(jiǎn)單迭代法) 其步驟是先對(duì)每一網(wǎng)格點(diǎn)設(shè)一初值。然后按一個(gè)固定順序(一般點(diǎn)的順序按“自然順序”,即:從左到右,從下到上)如圖: 之后,利用二維拉普拉斯方程的有限差分形式用圍繞它的四個(gè)點(diǎn)的電位的平均值作為它的新值,當(dāng)所有的點(diǎn)計(jì)算完后,用它們的新值代替舊值,即完成了一次迭代。然后再進(jìn)行下一次迭代,如此循環(huán)。如下式: 精品 . (迭代公式1) 其式中的上角標(biāo)(k)表示k次近似值,下腳標(biāo)i,j表示節(jié)點(diǎn)所在位置,即第i行第j列的交點(diǎn)。其中要特別注意:在迭代過程

7、中遇到邊界點(diǎn)式,需將邊界條件 帶入。 循環(huán)迭代時(shí)當(dāng)所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)滿足以下條件時(shí)停止迭代: 其中,W是預(yù)定的最大允許誤差。 方法二:逐次超松弛法 簡(jiǎn)單迭代法在解決問題時(shí)收斂速度比較慢,實(shí)用價(jià)值不大。實(shí)際中常采用逐次超松弛法(又稱高斯——賽德爾迭代法變形),相比之下它有兩點(diǎn)重大的改進(jìn) ,第一是計(jì)算每一網(wǎng)格點(diǎn)時(shí),把剛才計(jì)算得到的臨近點(diǎn)的新值代入,即在計(jì)算(i,j)點(diǎn)的電位時(shí),把它左邊的點(diǎn)(i-1,j)和下面的點(diǎn)(i,j-1)的電位用剛才算過的新值代入,即: (迭代公式2) 第二,是引入“加速收斂因子”。上式中的α即為“加速收斂因子”,且1《 α

8、<2。特別關(guān)注的是逐次超松弛法收斂的快慢與α有明顯關(guān)系。并且最佳α的取值隨著條件的不同而不同,如何選擇最佳α,是個(gè)復(fù)雜問題。 精品 . 在計(jì)算時(shí)可以嘗試求取最佳α值,以使計(jì)算快速。 五、 應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真有限差分法解決具體問題 本次討論我選擇第四題為具體實(shí)例進(jìn)行研究。 題目: 如圖所示,有一長(zhǎng)方形的導(dǎo)體槽,a = 20,b = 15,設(shè)槽的長(zhǎng)度為無限長(zhǎng),槽上有一塊與槽絕緣的蓋板,電位為100V,其他板電位為零,求槽內(nèi)的電位分布。 通過MATLAB進(jìn)行仿真,運(yùn)用有限差分法,源代碼如下: u=zeros(15,20); i=2:14; u(i,

9、20)=100; for j=1:20 for i=2:14 u(i,j)=100/19*(j-1); end end a=input(please input a(1

10、1,j); f=u(i,j-1); g=0.25.*(c+d+e+f); u(i,j)=b+a.*(g-b); end end end mesh(u); 通過對(duì)相關(guān)資料的查詢及學(xué)習(xí),我認(rèn)為運(yùn)用MATLAB編程就是要將有限差分法的基本公式實(shí)現(xiàn)。以此為出發(fā)點(diǎn)可以讓解析和編寫過程相對(duì)簡(jiǎn)單化。 首先,先要對(duì)電場(chǎng)的邊界條件進(jìn)行設(shè)定: u=zeros(15,20); i=2:14; u(i,20)=100; 使其滿足題目的要求右側(cè)邊界電位為100,其余三邊為0,由此也可以判斷出此題目為

11、第一類邊界條件的問題。 精品 . 同時(shí),此處,也要特別注意,因?yàn)樵贛ATLAB程序中,編寫一個(gè)矩陣的默認(rèn)順序是從左到右,從上到下。另外,命名矩陣時(shí)是先編寫行,后編寫列,因此,對(duì)于u(i,j)中,i代表的是第i行即對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo),j代表的是第j列即對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo),與坐標(biāo)表示有一定的差別,需要區(qū)分和注意。 之后是相對(duì)關(guān)鍵的編寫部分,就是對(duì)電場(chǎng)內(nèi)部的電位設(shè)定,此處,我通過分離變量法將u分解為u(x)和u(y),分別求解。為讓計(jì)算簡(jiǎn)便,我設(shè)定其內(nèi)電場(chǎng)為線性變化的,即u(x)=kx+b,u(y)=0作為初值進(jìn)行計(jì)算(應(yīng)用分離變量法得到的結(jié)果是u(x)=Bsinh m∏/15 u(y)=Asinm∏/1

12、5。可以通過此處在得出結(jié)果后進(jìn)行對(duì)比和誤差分析。)又因?yàn)橐贛ATLAB中進(jìn)行運(yùn)算,所以首先要轉(zhuǎn)化為i和j的形式,因此可得:u(j)=kj+b和u(i)=0。從而得到方程組: u(1)=k+b=0; u(20)=20k+b=100。 解得:u(j)=100/19*(j-1),即:u(i,j)=100/19*(j-1)。由此得到了內(nèi)電場(chǎng)除去上下邊界(衡為零)的電位方程,在MATLAB中我運(yùn)用了for循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)其內(nèi)電場(chǎng)的賦值,源代碼如下: for j=1:20 for i=2:14 u(i,j)=100/19*(j-1); end 精品 .

13、end 將電場(chǎng)各點(diǎn)的電位賦初值完成后,就需要帶入公式進(jìn)行計(jì)算了。在之前先要對(duì)“加速收斂因子” α的最佳值和預(yù)定的最大允許誤差進(jìn)行確定。關(guān)于加速因子的最佳值確定問題,我通過學(xué)習(xí)和查閱相關(guān)資料得到了兩種方法,如下: 一是逐步搜索法; 將α的取值區(qū)間(1,2)進(jìn)行M等分,α分別取1+1/M,1+2/M……1+(M-1)/M,通過上面提到的迭代公式2依次對(duì)同一個(gè)精度要求求出迭代次數(shù)k的值,并從中選出“加速收斂因子” α的最佳值,具體步驟如下: 步驟1 給定等分?jǐn)?shù)M和精度要求ε的值,令α的初始值為1; 步驟2 令p=1,2,3,……M-1,重復(fù)步驟3-5; 步驟3 αp=1+p/

14、M; 步驟4 按照如下公式迭代 找出符合精度要求ε的迭代次數(shù)kp; 步驟5 比較找出kp值最小的αp為最佳的加速收斂因子α的值。 二是黃金分割法: 依據(jù)黃金分割法的思想,通過計(jì)算機(jī)自動(dòng)選取最佳加速收斂因子α的近似值,具體步驟如下: 步驟1 對(duì)(1,2)區(qū)間第一次0.618的分割,區(qū)間分界a 精品 . 1=1,b1=2,在(a1,b1)區(qū)間分割出黃金點(diǎn)point1= a1+0.618(b1- a1),進(jìn)行迭代公式2的迭代,求出迭代次數(shù)K值,如果迭代次數(shù)沒有超出規(guī)定的發(fā)散常數(shù),迭代結(jié)束,否則轉(zhuǎn)為步驟2。 步驟2 在(1,1.618)和(1.618,2)之

15、間進(jìn)行第二次的黃金分割,找出分割點(diǎn)point2=a2+0.618(b2- a2),其中a2和b2是新分割區(qū)間的左右邊界。找出迭代次數(shù)最少的α。 以上兩種方法是比較具有實(shí)踐和研究?jī)r(jià)值進(jìn)行的,在這里介紹和分享給大家探討。在我分析過后認(rèn)為第二種較好,因?yàn)槠淇梢酝ㄟ^計(jì)算機(jī)自動(dòng)選取到最佳的加速收斂因子,但是實(shí)施起來比較復(fù)雜,要通過MATLAB或其它語言進(jìn)行編碼實(shí)驗(yàn)得到,我初步試驗(yàn)過,沒能成功,就運(yùn)用了第一種方法進(jìn)行了計(jì)算,但是,我發(fā)現(xiàn)其運(yùn)算過于復(fù)雜,筆算正確的成功率比較低,而運(yùn)用電腦編程要重復(fù)多次運(yùn)算,雖然,計(jì)算機(jī)運(yùn)算快速且方便,但是,這樣的源代碼同樣過于復(fù)雜,可以進(jìn)一步進(jìn)行深入的研究。 本次的題目

16、解答中,由于是應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算,所以計(jì)算速度和計(jì)算效率在不同的α取值中沒有明顯區(qū)別。因此,我就只是設(shè)定了一個(gè)1~2之間的一個(gè)數(shù)字:1.8為“加速收斂因子” α的值了,進(jìn)行了近似計(jì)算,實(shí)驗(yàn)誤差在可接受的范圍。 然后,是對(duì)于迭代次數(shù)的確定。當(dāng)?shù)鷿M足停止條件: 時(shí),對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)即為最終的迭代次數(shù),這里的W為設(shè)定好的允許誤差,為從簡(jiǎn)方式,我選擇運(yùn)用輸入迭代次數(shù),并通過多次輸入對(duì)比輸出結(jié)果選取最佳迭代次數(shù)的方法來選取,存在了一定的誤差。但是,相比于我運(yùn)用上面的公式求解計(jì)算迭代次數(shù),進(jìn)而得出的圖形的誤差比要小許多,我一直嘗試進(jìn)行改進(jìn),但一直沒能很好的解決誤差過大的問題:最主要的問題是邊界值一

17、直不滿足我的設(shè)定值。希望通過進(jìn)一步的研討和大家的交流能過得到最優(yōu)方式。 精品 . 通過以上的分析,我得出了進(jìn)一步的編程代碼: a=input(please input a(1

18、代求解,并用圖形形式表示出來。其源代碼如下: for n=1:m; for i=2:14; for j=2:19; b=u(i,j); c=u(i,j+1); d=u(i+1,j); 精品 . e=u(i-1,j); f=u(i,j-1); g=0.25.*(c+d+e+f); u(i,j)=b+a.*(g-b); end end end mesh(

19、u); 上述代碼中,b,c,d,e,f分別場(chǎng)內(nèi)一點(diǎn)及其左右上下各點(diǎn)的電位值,之后的g和u(i,j)則實(shí)現(xiàn)了逐次超松弛法的迭代,最后用mesh實(shí)現(xiàn)圖形的輸出。 六、 結(jié)果和誤差的對(duì)比分析 由分離變量法得到的初步結(jié)果是u(x)=Bsinh m∏/15和u(y)=Asinm∏/15,從而應(yīng)有u=Csinh(m∏/15)sinm(∏/15)的結(jié)果,從其表達(dá)式的形式,我們可以簡(jiǎn)單推斷出電場(chǎng)的電位在x軸上的分布是成虛指數(shù)函數(shù)的形式呈現(xiàn),而在y軸上是成正弦函數(shù)呈現(xiàn)的,這和通過有限差分法的計(jì)算機(jī)仿真的圖形基本符合,如下圖: 精品 . 因此,可以基本確定通過計(jì)算機(jī)仿真得到的結(jié)果的正確性。 另外

20、,可能存在較大誤差的方面是跌代次數(shù),因?yàn)榈螖?shù)是我們?nèi)斯ぽ斎氲?,所以判斷其正確與否要通過輸出的結(jié)果來判定、來選擇,下面幾幅圖是當(dāng)“加速收斂因子” α=1.8時(shí),不同的迭代次數(shù)m的對(duì)應(yīng)圖形: m=1時(shí): m=10時(shí): 精品 . m=20 m=30 m=32 精品 . m=35 m=40 通過上面迭代次數(shù)m取不同的值對(duì)應(yīng)的不同圖形分析可以看出,在m=1,10,20時(shí)期計(jì)算結(jié)果都存在較大誤差,圖形與分離變量法得到的結(jié)果相差很大,有明顯的不規(guī)則部分,不成現(xiàn)光滑的曲線。而當(dāng) 精品 . m=30后圖形與分離變量法計(jì)算到的圖形近似,

21、而且圖形規(guī)則,曲線光滑,而且隨著m值的增大圖形的變化非常微小了,因此,我選擇m=32為迭代次數(shù),所得到的結(jié)果誤差比較小,結(jié)果相對(duì)準(zhǔn)確。 七、 研究結(jié)論 學(xué)習(xí)了運(yùn)用有限差分法計(jì)算第一類邊界條件的電位值,通過計(jì)算機(jī)仿真進(jìn)行了實(shí)際例題的求解,通過與分離變量法求解的對(duì)比,證明可行性和有效性,適用于解決第一類邊界問題,而且更加方便和快捷。同時(shí),“加速收斂因子”最佳解問題比較復(fù)雜,不過通過計(jì)算機(jī)仿真的過程中,不同數(shù)值“加速收斂因子”的加速效果不易體現(xiàn)出來。跌代次數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果又較大影響,迭代次數(shù)越多,結(jié)果越準(zhǔn)確,誤差越小,但相應(yīng)的計(jì)算也會(huì)更加復(fù)雜,因此只要迭代次數(shù)得到得結(jié)果滿足一定的允許誤差范圍即可。

22、 附錄: ① 三類邊界條件:第一類:已知電位在邊界上的數(shù)值。 第二類:已知電位的導(dǎo)數(shù)在邊界上的數(shù)值。 第三類:已知電位在一部分邊界上的數(shù)值和在其余邊界上的導(dǎo)數(shù)的數(shù)值。 ② 解析法包括:分離變量法,鏡像法,復(fù)變函數(shù)法,保角變換法,格林函數(shù)法。 ③ 數(shù)值法包括:數(shù)值積分法,有限差分法,有限元法,矩量法。 ④ 解析法的優(yōu)點(diǎn):由有限個(gè)項(xiàng)構(gòu)成閉合解或無窮級(jí)數(shù),通常具有鮮明的物理意義。 精品 . 缺點(diǎn):解題范圍窄小,對(duì)邊界形狀十分挑剔。 數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn):解題范圍寬廣,對(duì)邊界的形狀沒有限制。 缺點(diǎn):數(shù)據(jù)離散,物理意義深藏其中。 心得體會(huì): 有限差分法的公式套用很簡(jiǎn)單,記住結(jié)果很簡(jiǎn)單,但是要想深刻理解其內(nèi)容和靈活應(yīng)用則比較困難,需要一定時(shí)間的深刻學(xué)習(xí)和做題應(yīng)用,同時(shí),這個(gè)方法確實(shí)是一個(gè)非常方便和有效地解決三類邊界條件問題的工具。 MATLAB在電磁場(chǎng)方面的應(yīng)用相當(dāng)廣泛,其內(nèi)擁有的很多函數(shù)都可以模擬靜電場(chǎng)中的實(shí)例,就比如這次的研討就應(yīng)用了矩陣,通過有限差分法來模擬靜電場(chǎng)的電位分布,相信將來還會(huì)有更多的有意思,有研究?jī)r(jià)值計(jì)算和模擬電磁場(chǎng)的相關(guān)知識(shí)。是學(xué)好電磁場(chǎng)必須要牢固掌握的工具。 如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系告知?jiǎng)h除,感謝你們的配合! 精品

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