《【備戰(zhàn)】北京中國(guó)人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測(cè)范例選講）綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含詳解）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【備戰(zhàn)】北京中國(guó)人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測(cè)范例選講）綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含詳解）（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 題型預(yù)測(cè) 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)都是非常重要的初等函數(shù)，也是我們?cè)诟咧须A段研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)主要的載體．其它初等函數(shù)與之相復(fù)合，所得到的新函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心． 范例選講 例1．已知，其中． （1）試求的定義域和值域；求出的反函數(shù)； （2）求出的反函數(shù)； （3）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性； （4）若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍. 講解 （1） 由于，所以，函數(shù)的定義域?yàn)镽. 為求的值域，觀察函數(shù)的解析式．注意到其實(shí)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)（）和一個(gè)非單調(diào)函數(shù)（）之和，因此，的單調(diào)性并不能通過(guò)簡(jiǎn)單判斷很快

2、得到． 解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以有下面的兩種選擇： 一、從單調(diào)性的定義出發(fā)．即任取，且，比較的大小關(guān)系，這種方法留給同學(xué)自己完成． 二、通過(guò)剛才的觀察，很快可以看出：在上單調(diào)遞增，此時(shí)，的取值范圍為； 當(dāng)時(shí)，，因此，若令，則 由，則可知：此時(shí)的取值范圍為． 又時(shí)，．所以，函數(shù)的值域?yàn)椋? 所以，函數(shù)的值域?yàn)镽． （2）設(shè)，則=，利用與互為倒數(shù)，可得=，所以，． 所以，=，R． （3）任取R，則==，所以，函數(shù)為奇函數(shù)． 任取，且，則由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知： ，， 所以，，即． 所以，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增． （4）由得：，即： 結(jié)合的單調(diào)性可知：上式等價(jià)于

3、：，解之得：． 點(diǎn)評(píng) ①定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)．求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā)．②從定義域出發(fā)，利用函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域常用的方法． 例2．已知函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有成立． （1）求實(shí)數(shù)的值； （2）若當(dāng)時(shí)，的取值范圍恰為，求實(shí)數(shù)的值． 講解：（1）由及可得： 解之得：． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，所以，只有． （2）時(shí)， ，其定義域?yàn)? 所以，或． ①若，則． 為研究時(shí)的值域，可考慮在上的單調(diào)性．下證在上單調(diào)遞減． 任取，且，則 又，所以，，即． 所以，當(dāng)，在上單調(diào)遞減 由題：時(shí)，的取值范圍恰為，所以，必有，解之得：（因?yàn)?，所以舍去? ②若，則．又由于，所以，． 此時(shí)，同上可證在上單調(diào)遞增（證明過(guò)程略）． 所以，在上的取值范圍應(yīng)為，而為常數(shù)，故的取值范圍不可能恰為． 所以，在這種情況下，無(wú)解． 綜上，符合題意的實(shí)數(shù)的值為， 點(diǎn)評(píng) 本題（2）中，充分的運(yùn)用已知條件，可以減少分類(lèi)討論的次數(shù)． 3