小題專項集訓(xùn)(十三)　立體幾何（二） (時間：40分鐘　滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共50分) 1．已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任一點O，＝x＋＋，則x的值為 (　　)． A. B. C. D．0 解析　由四點共面的充要條件，知x＋＋＝1，因此x＝. 答案　A 2. (2011遼寧)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(　　)． A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD C．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角 解析　易證AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正確；AB∥DC，DC?平面SCD，故AB∥平面SCD，B正確；由于SA，SC與平面SBD的相對位置一樣，因而所成的角相同． 答案　D 3．點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標原點且方向向量為s＝(1，－1,1)的直線l的距離為，則點M的坐標是 (　　)． A．(0,0，2) B．(0,0，3) C．(0,0，) D．(0,0，1) 解析　設(shè)M為(0,0，z)，直線l的一個單位方向向量為s0＝，故點M到直線l的距離d＝＝ ＝，解得z＝3. 答案　B 4．在如圖所示的正方體A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　如圖建立直角坐標系D－xyz，設(shè)DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.則＝(－1,1,0)，＝，若異面直線DE與AC所成的角為θ，cos θ＝|cos〈，〉|＝. 答案　D 5．(2011全國)已知二面角α－l－β，點A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則D到平面ABC的距離等于 (　　)． A. B. C. D．1 解析　∵＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2， ∴||2＝2.在Rt△BDC中，BC＝. ∵面ABC⊥面BCD，過D作DH⊥BC于H，則DH⊥面ABC， ∴DH的長即為D到平面ABC的距離， ∴DH＝＝＝.故選C. 答案　C 6．如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中點，Q是BC的中點，P是A1B1的中點，則直線PQ與AM所成的角為 (　　)． A. 　　　 B. C. 　　　 D. 解析　以A為坐標原點，AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AA1＝AB＝AC＝2，則＝(0,2,1)，Q(1,1,0)，P(1,0,2)，＝(0，－1,2)，所以＝0，所以QP與AM所成角為. 答案　D 7．如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP＝MC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為 (　　)． 解析　以D為原點，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖： 設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則 P，C(0，a,0)， 則|MC|＝， |MP|＝ . 由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一部分． 答案　A 8．如圖所示，在四面體P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP－C的余弦值為 (　　)． A. B. C．－ D. 解析　如圖所示，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.設(shè)AB＝1，則易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝.因為＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2＋2＋2， 所以＝－，所以cos〈，〉＝－.故選C. 答案　C 9．(2013南通一模)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，則 (　　)． A．EF至多與A1D、AC之一垂直 B．EF與A1D、AC都垂直 C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 解析　設(shè)AB＝1，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，＝，＝(－1，－1,1)，＝－，＝＝0，從而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故選B. 答案　B 10．P是二面角α－AB－β棱上的一點，分別在α，β平面上引射線PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45，∠MPN＝60，那么二面角α－AB－β的大小為 (　　)． A．60 B．70 C．80 D．90 解析　不妨設(shè)PM＝a，PN＝b，如圖所示，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F，因為∠BPM＝∠BPN＝45，所以PE＝a，PF＝b，所以＝(－)(－)＝－－＋＝abcos 60－abcos 45－abcos 45＋ab＝－－＋＝0，所以⊥，所以二面角α－AB－β的大小為90. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共25分) 11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. 解析　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， ∴(c－a)(2b)＝(0,0,1－x)(2,4,2)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 答案　2 12．(2013徐州模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________． 解析　如圖建立直角坐標系D－xyz，設(shè)DA＝1，由已知條件A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，C(0,1,0)，＝，＝(－1,0,0)設(shè)異面直線AE與BC所成角為θ. cos θ＝|cos〈，〉|＝＝. 答案　 13．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點，AB＝AC＝1，PA＝2.則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為________． 解析　如圖，以點A為原點，AB，AC，AP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz.AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(0,1，0)，P(0,0,2)，D，E，F(xiàn). ∴＝(0,0,2)，＝，＝. 設(shè)平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)．則 即解得 取z＝1，則平面DEF的一個法向量為n＝(2,0,1)． 設(shè)PA與平面DEF所成的角為θ，則sin θ＝|cos〈，n〉|＝ ＝，故直線PA與平面DEF所成角的正弦值為. 答案　 14．已知：如圖，△ABC是以∠B為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M、N、D分別是SC、AB、BC的中點，則A到平面SND的距離為________． 解析　建立如圖的空間直角坐標系，則N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(－1,4，0)，∴＝(0，－2,2)，＝(－1,4，－2)．設(shè)平面SND的法向量為n＝(x，y,1)，∵n＝0，n＝0， ∴，∴，∴n＝(2,1,1)．∵＝(0,0,2)． ∴A到平面SND的距離為＝＝. 答案　 15．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，則二面角B1－A1C－C1的大小是________． 解析　如圖所示，以B為原點O，OA，OC，OB1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)， 設(shè)AC的中點為M，M的坐標為(1,1,0)，連接BM，由題意，知BM⊥AC，BM⊥CC1，又AC∩CC1＝C，所以BM⊥平面A1C1CA，即＝(1,1,0)是平面A1C1CA的一個法向量．設(shè)平面A1B1C的一個法向量為n＝(x，y，z)，由題意，得＝(－2,2，－2)，＝(－2,0,0)，所以令z＝1，得x＝0，y＝1，所以n＝(0,1,1)．設(shè)法向量n與的夾角為φ，二面角B1－A1C－C1的大小為θ，顯然θ為銳角，所以cos θ＝|cos φ|＝＝，解得θ＝. 答案　 6