專題46 整體代換誘導(dǎo)公式法求三角函數(shù)值(解析版)
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1、 專題46 整體代換誘導(dǎo)公式法求三角函數(shù)值 一、單選題 1.已知,且,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 由已知求得,再由誘導(dǎo)公式可求得選項(xiàng). 【詳解】 因?yàn)?,且,所以,所以? 又, 故選:D. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:對(duì)于三角函數(shù)給值求值型問題,關(guān)鍵在于得出所求的角與已知角之間的特殊關(guān)系,求解時(shí),注意盡可能縮小角的范圍,以便確定三角函數(shù)的值的符號(hào). 2.計(jì)算( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值, , 故選:B. 3.已知,則( )
2、 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式將題干條件化簡(jiǎn),即可得答案. 【詳解】 由題意得: 故選:B. 4.若,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 將轉(zhuǎn)化成,在用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),代入求值即可. 【詳解】 由得. 故選:A 5.若,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 利用,結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果. 【詳解】 由得:. 故選:A. 6.已知,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角公式可求得,利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.
3、 【詳解】 由得:, ,. 故選:. 7.已知,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 設(shè),則,然后利用誘導(dǎo)公式求解即可. 【詳解】 設(shè),則, 故. 故選:B 8.已知,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 依題意原式為,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得; 【詳解】 解:因?yàn)?,所? 故選:B 9.設(shè),.若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)的對(duì)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.9 D.12 【答案】B 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)恒成立,則對(duì)應(yīng)的圖象完全相同求得a、b即可. 【詳解】 ∵對(duì)于任
4、意實(shí)數(shù)都有, 則函數(shù)的周期相同,, 若,此時(shí), 此時(shí), 若,則方程 , 則,則, 綜上滿足條件的有序?qū)崝?shù)組為,,共有2組. 故選:B 10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,若存在,滿足,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 利用圖象求得函數(shù)的解析式為,由結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出,且有,將代入結(jié)合誘導(dǎo)公式可求得的值. 【詳解】 由圖象知函數(shù)的最小正周期為,, 又, 且, ,, 所以,,,, 當(dāng)時(shí),, 因?yàn)榇嬖?,滿足, 即,則,可得,且, 則. 故選:C. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛:根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法: (
5、1)求、,; (2)求出函數(shù)的最小正周期,進(jìn)而得出; (3)取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值. 11.已知,則( ) A. B.-2 C. D. 【答案】B 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得,再根據(jù)已知代入求解即可. 【詳解】 解:由誘導(dǎo)公式得:, 因?yàn)椋? 所以. 故選:B. 12.若,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得的值. 【詳解】 . 故選:C. 13.已知,則的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根據(jù)題意,化簡(jiǎn)得,再利用誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可. 【詳解】 解:由
6、題可知,, 由于, 所以. 故選:C. 14.( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式得答案. 【詳解】 依題意. 故選:B 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題. 15.已知,,則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 由已知利用誘導(dǎo)公式可求出的值,結(jié)合角的范圍,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求解. 【詳解】 由題意,,所以,則, 因?yàn)?,所以,即? 所以. 故選:B. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)
7、用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 16.式子的值為( ) A. B. C. D.2 【答案】B 【分析】 由正余弦的倍角公式、誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 由,, ∴, 故選:B 【點(diǎn)睛】 本題考查了利用三角恒等變換化簡(jiǎn)求值,屬于簡(jiǎn)單題. 17.已知,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算得到,故,解得答案. 【詳解】 解:由誘導(dǎo)公式可知, 又得:, 所以, . 故選:C. 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角恒等變換,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力,是中檔題. 18.如果,且,那么( ) A
8、. B. C. D. 【答案】C 【分析】 利用先求得的值,由此求得的值. 【詳解】 依題意, 由于, 所以, 所以, 所以. 故選:C 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式,屬于基礎(chǔ)題. 19.已知cos =,則=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 直接利用誘導(dǎo)公式求解即可 【詳解】 解:因?yàn)閏os =, 所以, 故選:A 【點(diǎn)睛】 此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 20.已知是第二象限角,且,則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 求出的范圍,進(jìn)而可求出的值,再利用
9、誘導(dǎo)公式可求出和,結(jié)合,可求出答案. 【詳解】 因?yàn)槭堑诙笙藿?,所以? 則, 因?yàn)?,所以? 則, 則, , 所以. 故選:D. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題. 二、多選題 21.下列關(guān)于函數(shù)的圖像或性質(zhì)的說法中,正確的為( ) A.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位所得圖像的函數(shù)為 C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.若,則 【答案】AD 【分析】 令得到對(duì)稱軸,即可判斷A;根據(jù)平移變換知識(shí)可判斷B;求出其單調(diào)增區(qū)間即可判斷C;利用配角法即可判斷D
10、. 【詳解】 對(duì)于A,令 ,解得,當(dāng)時(shí),得,故A正確; 對(duì)于B,將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位,得,故B錯(cuò)誤; 對(duì)于C,令,故C錯(cuò)誤; 對(duì)于D,若,則,故D正確. 故選:AD 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛:函數(shù)的性質(zhì): (1) . (2)周期 (3)由 求對(duì)稱軸 (4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間. 22.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則( ) A. B. C. D. 【答案】BD 【分析】 根據(jù)最小值求得,根據(jù)周期求得,根據(jù)點(diǎn)求得,由此求得的解析式,結(jié)合誘導(dǎo)公式確定正確選項(xiàng). 【詳解】 由圖象可得,,解得,所以,所以,又的圖象過點(diǎn),則,解得,又,所以,即 . 故選
11、BD 【點(diǎn)睛】 本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式,考查誘導(dǎo)公式,屬于中檔題. 第II卷(非選擇題) 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 三、雙空題 23.(1)一個(gè)扇形的半徑為,弧長(zhǎng)是半徑的倍,則扇形的面積等于________. (2)(a,b為常數(shù),),若,則_______. 【答案】 【分析】 (1)首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式求出扇形的圓心角,再利用扇形的面積公式即可求解. (2)利用誘導(dǎo)公式即可求解. 【詳解】 (1)根據(jù)題意可知,弧長(zhǎng), 設(shè)扇形的圓心角為,所以,解得, 所以扇形的面積; (2)由, 所以, 所以 所以
12、 . 故答案為:; 24.已知函數(shù),若方程的解為,則______,_______. 【答案】 【分析】 由已知求出的范圍,根據(jù)方程的解的對(duì)稱性可求得;再利用表示,即可表示為,再根據(jù)已知條件結(jié)合三角函數(shù)求值即可得到答案. 【詳解】 ,, 又方程的解為,, 解得., 由,可得,. 又,可得, . 故答案為:;. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性,及利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)并求值,解題的關(guān)鍵是要注意到是的兩個(gè)根,由三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到兩個(gè)根的對(duì)稱性,從而得解,考查了學(xué)生的分析解題能力與轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題. 25.已知,則
13、_________,_______. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可求得的值,利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值. 【詳解】 ,則, . 故答案為:;. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 四、填空題 26.若,且,則__________. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行整體代換,并利用同角三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求值. 【詳解】 由誘導(dǎo)公式得, , , , 又, , 故答案為:. 27.已知,則________. 【答案】 【分析】 由,再結(jié)合誘導(dǎo)公式
14、可得結(jié)果. 【詳解】 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛:利用誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),常用拼湊角,,常見的互余關(guān)系有:與,與,與等;常見的互補(bǔ)關(guān)系有: 與,與等; 28.設(shè),,,若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,則滿足條件的的所有取值的和為______. 【答案】 【分析】 結(jié)合進(jìn)行分類討論,由此求得的所有可能取值,進(jìn)而求得滿足條件的的所有取值的和. 【詳解】 因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)都有,所以. 當(dāng)時(shí),方程等價(jià)于,則兩函數(shù)的周期相同,即.當(dāng)時(shí),,此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí). 當(dāng)時(shí),方程等價(jià)于.當(dāng)時(shí),此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí).綜上,的所有取值為,,,,和為. 故答案為: 29.關(guān)于函數(shù)有如下命題,其中正確的有______
15、 ①的表達(dá)式可改寫為 ②是以為最小正周期的周期函數(shù); ③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱; ④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱. 【答案】①③ 【分析】 ①利用誘導(dǎo)公式變形,判斷選項(xiàng);②利用周期公式,判斷選項(xiàng);③代入函數(shù)判斷是否為0,判斷選項(xiàng);④代入選項(xiàng),是否取得最值,判斷選項(xiàng). 【詳解】 ①,故①正確; ②的最小正周期,故②不正確; ③當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)值為0,所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,故③正確; ④當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)值是0,不是函數(shù)的對(duì)稱軸,故④不正確. 故答案為:①③ 【點(diǎn)睛】 思路點(diǎn)睛:本題考查的解析式和性質(zhì)的判斷,可以整體代入驗(yàn)證的方法判斷函數(shù)性質(zhì):(1)對(duì)于函數(shù),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖
16、象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此判斷直線或點(diǎn)是否是函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心時(shí),可通過驗(yàn)證的值進(jìn)行判斷;(2)判斷某區(qū)間是否是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí),也可以求的范圍,驗(yàn)證次區(qū)間是否是函數(shù)的增或減區(qū)間. 30.已知,則_________. 【答案】 【分析】 由,利用誘導(dǎo)公式、二倍角余弦可得即可求值. 【詳解】 由題意知:,而, ∴, 故答案為:. 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:首先由整體代換法得到的關(guān)系,結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式得到含有已知三角函數(shù)值的函數(shù)式求值. 31.______. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值 【詳解】 解:, 故答案
17、為: 32.已知,則______. 【答案】 【分析】 根據(jù)與的關(guān)系,結(jié)合誘導(dǎo)公式求解出的值. 【詳解】 設(shè),則, 故. 故答案為:. 33.若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,則的值為______. 【答案】 【分析】 由已知可得,,解得,代入,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,得,解得 所以 故答案為: 34.在平面直角坐標(biāo)系中,角和角均以為始邊,它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若,則______. 【答案】 【分析】 由題意可得,由此能求出結(jié)果. 【詳解】 ∵在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱, ∴, 故答案為:
18、【點(diǎn)睛】 本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性,屬于基礎(chǔ)題. 35.已知,則的值為________. 【答案】 【分析】 先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),得,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),從而可得結(jié)果 【詳解】 解:由,得, 所以, 故答案為: 【點(diǎn)睛】 此題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題 36.化簡(jiǎn)_____________. 【答案】-1 【分析】 直接由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可. 【詳解】 . 故答案為:-1 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題. 37.若,且,則______. 【答案】 【分析】 利用誘導(dǎo)公式可得,,從而根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)
19、系求解即可. 【詳解】 ∵,且, ∴, ∴. 故答案為:. 【點(diǎn)睛】 本題考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 38.若,則______. 【答案】 【分析】 由,可得出答案. 【詳解】 因?yàn)?,所? 故答案為:. 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題. 39.已知,則___________. 【答案】 【分析】 由已知函數(shù)值,根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求的值. 【詳解】 , 故答案為: 【點(diǎn)睛】 本題考查了利用誘導(dǎo)公式求函數(shù)值,利用已知函數(shù)值,應(yīng)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成含有目標(biāo)函數(shù)中
20、代數(shù)式形式的函數(shù)求函數(shù)值; 40.已知,則______. 【答案】 【分析】 先由二倍角公式求出,再由誘導(dǎo)公式知,代入計(jì)算即可得答案. 【詳解】 因?yàn)? 所以, 所以, 故答案為:. 【點(diǎn)睛】 本題考查了二倍角公式,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 41.若,則________. 【答案】 【分析】 利用結(jié)合余弦的誘導(dǎo)公式求解即可. 【詳解】 因?yàn)?,所? 故答案為:. 【點(diǎn)睛】 本題考查利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值,屬于簡(jiǎn)單題,整體代入是關(guān)鍵. 五、解答題 42.已知,且,求的值. 【答案】. 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值,再結(jié)
21、合誘導(dǎo)公式可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 ,, 又,,. , . . 43.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,為單位圓上一點(diǎn),射線OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為. (1)求函數(shù)的解析式,并求; (2)若,求的值. 【答案】(1),;(2). 【分析】 (1)由三角函數(shù)的定義得到,進(jìn)而代入計(jì)算; (2)由已知得,將所求利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即得. 【詳解】 解:(1)因?yàn)椋? 所以, 由三角函數(shù)定義,得. 所以. (2)因?yàn)椋裕? 所以 . 【點(diǎn)睛】 本題考査三角函數(shù)的定義,三角函數(shù)性質(zhì),誘導(dǎo)公式.考查運(yùn)算求解能力
22、,推理論證能力.考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想. 已知求時(shí)要將已知中的角作為整體不分離,觀察所求中的角與已知中的角的關(guān)系,利用誘導(dǎo)公式直接轉(zhuǎn)化是化簡(jiǎn)求值的常見類型. 44.已知 (1)化簡(jiǎn); (2)若,求的值. 【答案】(1);(2). 【分析】 (1)根據(jù)誘導(dǎo)公式,將原式直接化簡(jiǎn)整理即可; (2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由誘導(dǎo)公式,以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系,即可求出結(jié)果. 【詳解】 (1) ; (2)因?yàn)椋桑?)得, 所以. 45.(1)已知角的終邊上有一點(diǎn),求的值. (2)已知,求的值. 【答案】(1);(2). 【分析】 (1)根據(jù)題意先確定角的三角函
23、數(shù)值,然后利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn),然后求值; (2)將化為,根據(jù)題目條件可求得,再利用可求得,然后求解的值. 【詳解】 解:(1)原式 因?yàn)橹堑慕K邊上有一點(diǎn),根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可知:, 故原式. (2)由,可得 , , 又 . 【點(diǎn)睛】 本題考查任意角三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式,考查兩角和與差的正余弦公式,難度一般. 46.已知, (1)化簡(jiǎn); (2)若,且,求的值; (3)證明:,并求滿足的的取值集合. 【答案】(1);(2);(3)證明見解析;. 【分析】 (1)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果; (2)根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得結(jié)果; (
24、3)利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算,可證得兩角差的余弦公式,代換角可得兩角和的正弦公式,令可證得結(jié)論;結(jié)合可將不等式化為,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果. 【詳解】 (1); (2), ,,, 當(dāng)時(shí),,; (3)證明:設(shè)為單位圓上兩點(diǎn), 則, 將換為,則, 令,則; 由得:,即, ,解得:, 即滿足的的取值集合為 【點(diǎn)睛】 本題考查三角函數(shù)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用問題,涉及到利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)、利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求值、二倍角正弦公式的證明、利用正弦型函數(shù)的值域求解定義域的問題;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算求解能力有較高要求. 47.已知角α為第一象限角,且. (1
25、)求的值; (2)求的值. 【答案】(1);(2)7 【分析】 (1)利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系,即可得答案; (2)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到關(guān)于,的式子,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的式子,即可得答案; 【詳解】 (1)角α為第一象限角,且, , . (2)原式. 【點(diǎn)睛】 本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力. 48.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn). (1)求,; (2)求的值. 【答案】(1),;(2). 【分析】 (1)先求出,再由三角函數(shù)定義可得,; (2)由(1)可知,,再結(jié)合誘導(dǎo)公式求得. 【詳解】 解:(1)由題意可得:, 由角的終邊上的點(diǎn)的性質(zhì)可得,; (2)由(1)可知,,再結(jié)合誘導(dǎo)公式得: , 所以 【點(diǎn)睛】 本題考查根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,是基礎(chǔ)題.
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