第一章 運動的描邀 1-1參考系坐標(biāo)系物理棋型 1一2運動的描述 1 3 4 對運動 1J參考系坐標(biāo)系物理模型 運動的絕對性和相對性 世界上萬物都處在不停地運動中，大到EU月、星體，小 到各種微觀粒子（分子.原子.質(zhì)子.電子……），沒有不運 動的物質(zhì)，也沒有物質(zhì)不運動，所以物質(zhì)運動是絕對的。 物體運動的絕對性，對運動描述的相對性。 3 例如，在勻速直線運動的火車上所作的自由落體運動, 火車上的觀察者：物體作勻變速直線運動； 地面上的觀察者：物體作平拋運動。 1.1.2參考糸 描述物體運動時被選作參考（標(biāo)準(zhǔn)）的物體或物體群一3 —稱為參考系 0_一 亠——■一― 二 1.1.3坐標(biāo)糸 為定量地描述物體位置而引入。 然坐標(biāo)系、 球面坐標(biāo) 常用的有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、 系或柱面坐標(biāo)系等。 ⑴運動學(xué)中參考系可任選。 ⑵ 參照物選定后，坐標(biāo)系可任選。 （3）常用坐標(biāo)系 柱坐標(biāo)系（P，0,z） 自然坐標(biāo)系（s） 4 河耨:理構(gòu)燮 對真實的物理過程和對象，根據(jù)所討論的問題的基本要 求對其進行理想化的簡化，抽象為可以用數(shù)學(xué)方法描述的理 想模型。 *關(guān)于物理模型的提出 ! (1) 明確所提問題； | (2) 分析各種因素在所提問題中的主次； (3) 突出主要因素，提出理想模型； (4 )實驗驗證。 | “理想模型”是對所考察的問題來說的，不具有絕對意義。 ? - 上—Q ? WC—；BM< 專 1、理想質(zhì)點模型 b選用質(zhì)點模型的前提條件是: 物體自身線度Z與所研究的物體運動的空間范圍啪比可以忽略; 或者物體只作平動。 兩個條件中，具一即可。 *質(zhì)點力學(xué)是基礎(chǔ) 如N個沙粒組成的物質(zhì)系統(tǒng)——質(zhì)點系 方法：一個沙粒一個沙粒地解決 如果是質(zhì)量連續(xù)體 方法：切割無限多個質(zhì)量元 一個質(zhì)量元一個質(zhì)量元地解決 7 2、理想剛體模型 當(dāng)物體自身線度Z與所研究的物體運動的空間范圍卄匕不可 以忽略；物體又不作平動時，即必須考慮物體的空間方位， 我們可以引入剛體模型。 剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。 剛體也是一個各質(zhì)點之間無相對位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布 的質(zhì)點系。 9 「~ 運動的描述 1.2.1 住矢、住移、速度和加速度盛直角坐標(biāo)糸中的表示或 1、位置矢量 / 1）位置坐標(biāo) 質(zhì)點P在直角坐標(biāo)系中的位置可由P所在點的三個坐標(biāo) （X, y, z）來確定 2）位置矢量r 由坐標(biāo)原點引向考察點的矢 量，簡稱位矢。 其在直角坐標(biāo)系中為 ―? ―? -9 r - xi +yj + zk /的方向余弦是 cos cos a- — r cos2 a+cos2 B + cos2 y = l 13 3)運動方程和軌道方程 a＞質(zhì)點在運動過程中，空間位置隨時間變化的函數(shù)式稱為運 動方程。 表示為： , y 二 y(f) , z 二 z(f). 或 r = r(0 運動方程是時間t的顯函數(shù)。 b、質(zhì)點在空間所經(jīng)過的路徑稱為軌道(軌跡)。 從上式中消去t即可得到軌道方程。 軌道方程不是時間t顯函數(shù)。 # 厶位移和路程 |1）位移Ar a＞定義：由起始位置指向終了位置的有向線段; Ar =四一斤 At時間內(nèi)位置矢量的增量 位移的模|AF|與矢量模的增量A廠不是同一個量 I Ar 1=1 - J] I = J（兀2 —兀1 F + （兒—X 丫 + （?2 —可）2 △廠=1 勺丨一丨片 1= Jx； + y； + z； 一 Jx： + y： + z： 11 b、位移在直角坐標(biāo)系中的表示式 Ar 二 Axi + Ayj + Azk 2）路程Z\S At時間內(nèi)質(zhì)點在空間實際運行的路徑。 &位移和路程的比較與聯(lián)系 不同處：Ar是矢量，AS是標(biāo)量； Ar只與始末位置有關(guān)； △S與軌道形狀和往返次數(shù)有關(guān); 因此，一般情況下|Ar| A? 聯(lián)系：在Zkt —>0時， \dr\ - ds 但仍是 |歷豐dr +速度 描述質(zhì)點位置變化和方向變化快慢的物理量 Ar 1）平均速度與平均速率 -As v =—— Ar 讀成t時刻附近時間內(nèi)的平均速度（或速率） A^o , — ? ■ _ X # X # X # 在一般情況下 在直角坐標(biāo)系中 |v I V = Ay v 十 Az r v =——I +亠7 +——k & A/ A/ 2）瞬時速度與瞬時速率 Ar lim —— _ dr dt lim As ds dt 可見速度是位矢對時間的變化率。 可見速率是路程對時間的變化率。 _ \dr\ ds 心|汁訂卩可見速率是速度的模。 3) V在直角坐標(biāo)系中的表示式 r =xi +刃 + zk - dr dx r dy 弋 dz r v =——=——i + — j +——k dt dt dt dt = vxi+vyj+vzk 2 ( 2 1 2 V + V + V x y z dx \dt丿 15 y— + 4“加速度 a 描述質(zhì)點速度大小和方向變化快慢的物理量 rS為描述機械運動的狀態(tài)參量 a 稱為機械運動狀態(tài)的變化率 1）平均加速度與瞬時加速度 # # dt dt2 23 2）加速度Q在直角坐標(biāo)系中 -dv dvY r ci —— =—i + dt dt d2x —dt2 4+也 dt dt +符 dt2 dt丿 dt丿 =ai +a^ j +ak d2x dt2 d2y dt2 d2z dt2 x yd z例1.1如圖1.5, —人用繩子拉著小車前進，小車位于高出繩 端方的平臺上，人的速率?不變，求小車的速度和加速度大小. 解小車沿直線運動，以小車前 進方向為兀軸正方向，以滑輪為 坐標(biāo)原點，小車的坐標(biāo)為兀，人 的坐標(biāo)為s,由速度的定義，小 車和人的速度大小應(yīng)為 dx ds 圖1?5 由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐標(biāo)的變化率等于拉小車的 繩長的變化率，即 dx dl 18 dt dt * I 兩邊對f求導(dǎo)得 可以看出有l(wèi)2=s2+h2 —dl 宀 ds 2Z——=2s—— dt dt 27 # 車十i s 人 y/s2 + h2 3 s1 + h2 # # 同理可得小車的加速度大小為 2/ 2 dt 訕 2 , 7 2 x + n 上好j運動學(xué)中的兩類問題 A 1、 已知運動方程，求速度、加速度（用求導(dǎo)法） _ dr 一 dv d2r v =—— a = = —z- 、 dt dt dt I 2、 已知加速度（速度），初始條件，求速度（運動程）（用積分的方） 法） 設(shè)初始條件為：t = 0時，廠=倉，v = v0 r t —? V-Vo = adt -dv (2 = dt -dr v =—— dt _dv = VO adt r r —? 「t —? \ dr = \ vdt f vdt Jr。 Jro J 29 例1?4已知一質(zhì)點的運動方程為，r = 3ti-4t2j 式中廠 以m計，/以s計，求質(zhì)點運動的軌道、速度、加速度? 解 將運動方程寫成分量式 x = 3t , y = -4t2 消去參變量匚得軌道方程：4x2+9j=0,這是頂點在原 點的拋物線?見圖1.15. 由速度定義得 v = — = 31-Stj dt 其模為v = ^32 + (802，與兀軸的夾角& 3 31 由加速度的定義得 a =——=-8 / dt 即加速度的方向沿y軸負(fù)方向, 大小為8m/52. # 例已知a = l6j 昇=0時， ％ =6幾兀=8 求乙那運動方程。 dv 一 dF = a = 167 代入初始條件 p-z>0=16rj ?積分初始值（下限）由初始條件確定 等式兩邊積分變量的積分限 對應(yīng) 廣… 16dr 7 Jv0 Jo J 得 v — 6i +16^j J_6?r = Jo (6i + 16f j)dt 得運動方程為 dr 一 ——=v dt 代入初始條件片二8花 23 # r = 6t z+8z2 j+8^ x — 6t^ y = 8z^2, z = 8 # 曲線運動的描述. li平面曲線運動的直角坐標(biāo)系描述一以拋體運動為例 1)物體作拋體運動的運動學(xué)條件: 25 # 且a與％夾角& （0 ＜0 ＜兀） 2)重力場中拋體運動的描述 (1)速度公式 冬=vo cose u = v0 sin0-gt x = v0 cosO ?t H0 H 71 2 X (2)坐標(biāo)公式＜ y 二卩0 sin0v — # (3)幾個重要問題 (i)射高：這時 vv = 0, tH = 丫。血 g 2 ? 2 q 將站代入坐標(biāo)公式y(tǒng)中得 H = VSm 2g (或看成 v0 sin 6^ 豎直上拋) (ii)射程： 飛行總時間 T = 2tH = 2vSin^ g 代入坐標(biāo)公式X中 得 R=仏sin 20 g jr 2 當(dāng) 0=時，r4射程最大 討論: 4 g 當(dāng)—時，H找有最大射高 2 2g 2、曲線運動的自然坐標(biāo)系描述 1）自然坐標(biāo)系 質(zhì)點作曲線運動，將質(zhì)點運動的軌跡曲線作為一維坐標(biāo)的 軸線一自然坐標(biāo)。 廠0, ％ 坐標(biāo)架單位矢: 27 # 方向通常指向前進方向, 方向指向曲線凹側(cè) # 2）切向加速度和法向加速度 叱）dO 29 a、法向加速度 一 dO _ dO ds a=v ——= v "dt ds dt ※描述的是速度方向的變化 b、切向加速度 dv 一 dtTQ d2s - 喬5 ※描述的是速度大小的變化 do - 引入曲率、曲率半徑 ds k de v2 一 —no p f dv 一 /一 Cl = T(} H /?n dt p 29 # ⑷2 —+ Rdf丿 <P) 注意 云與云的夾角& = tg~[— 5 + an = dv 一旳從 r D1| 丁與丁的區(qū)別 at at ※將萬向不同的坐標(biāo)軸中投影 # # T # 例1?2以速度v平拋一小球，不計空氣阻力，求（時刻小球的 切向加速度量值％、法向加速度量值an和軌道的曲率半徑“ 解：由圖可知 V v 2 aT = gsin0 = g- an=gcos0 = g —g% V —佗+ g V2討+*代+g勺2嚴(yán) p -——= _ 30 an 色 周運動 31 # 周運動的線量描述 位矢 r = r(s). 元位移dr = dsT0 速度 ds _ 一 V — — dt 0 加速度 U — ClT Cln = — Tq H H,q dt p 2 勻速率圓周運動: = 0 色二常數(shù) # 2)圓周運動的角量描述 (1)基本知識 角位置Q—&0 角位移 A0 = E_01 角速度 △& dO co = lim =—— △2 At dt 角加速度 "1曲 A—0比 do _ d23 dt dt2 33 (2)勻角加速圓周運動 即0二常數(shù) 請與勻速率圓周運動區(qū)別。 當(dāng)我們用平面極坐標(biāo)描述圓周運動時，只有一個變量 故其可與勻變速直線運動類比。 35 (2)勻角加速圓周運動 即0二常數(shù) # (2)勻角加速圓周運動 即0二常數(shù) 勻變速直線運動 v-v0 + at 1 2 x-xo+vot + -at 2 2 卩—片二 勻角加速圓周運動 G) = % + (3 t 1 9 0 — 0^ + 刃h— f31 曲-①；=20(02-仇) # (2)勻角加速圓周運動 即0二常數(shù) # 3）線量與角量的關(guān)系 同一種運動的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。 dt dt y2 ds — Rd0 az=— = R — = R/3 a R/ dt dt R 角速度矢量的方向： 由右手螺旋法規(guī)確定。 角速度矢量與線速度 的關(guān)系。 —p # 解 (1)由題知 = 2m = 2〃x 。=0，故由式(1.26)可得： /? = —~~ = 50乃=_” = _3.]4 rad/s t 50 從開始制動到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)分別為： 0 -Oq = co0t + i /3t2 =5071 x 50 — x (50)2 = 1250^- rad 例1.3 —飛輪以轉(zhuǎn)速〃 = 1500轉(zhuǎn)每分(rev/min)轉(zhuǎn)動，受制 動后而均勻地減速，經(jīng)f=50s后靜止.(1)求角加速度〃和從 制動開始到靜止飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)N； (2)求制動開始后/=25s時 飛輪的角速度少；(3)設(shè)飛輪的半徑R = 求F=25s時飛 輪邊緣上任一點的速度和加速度. 螟^=50萬 rad/s ,當(dāng)t=50 S時 60 幷=1250兀=625 rev ⑵如寸飛輪的角速度為： 6?=血0+/7t = 50兀一25兀=25疋 rad/s ⑶尸25 s時飛輪邊緣上任一點的速度為 v = R^y =1x25兀=7&5 m/s 相應(yīng)的切向加速度和向心加速度為： aT = R/3 = —7T = —3.14 m/s2 an — Ro>2 =1x（25兀）2 = 6.16xl03 m/s2例1?5 *「質(zhì)點沿半徑為1 m的圓周運動，它通過的弧長s按 s=t+2t2的規(guī)律變化.問它在2s末的速率、切向加速度、 法向加速度各是多少？ 解由速率定義，有 v = —= 1 + 4? dt 將匸2代入，得2 s末的速率為 v = 1 + 4x2 = 9加s 其法向加速度為 V2 2 — = 81 m/s2 R 37 # 由切向加速度的定義，得％ $=4m/z 39 例1?6 F飛輪半徑為2 m,其角量運動方程為〃=2+3（—4血）, 求距軸心1 m處的點在2 s末的速率和切向加速度. * jn 解：因為 = —= 3-12?2 dt do) = -24t dt 將f=2代入，得2 s末的角速度為 0 = 3—12x(2)，=-45 rad I s 2 s末的角加速度為 /? = —24x2 = —48 rad!s2 在距軸心1 m處的速率為 v=Rco=—45 m/s 切向加速度為 aT =R/3 = -48 mis2 38 1-3相對運動 運動是絕對的，運動的描述具有相對性。 以車站為參照系 以汽車為參照系 39 運動參照糸，餡止參照糸 1 > “靜止參照系”、“運動參照系”都是相對的。 相對于觀察者為靜止的參照系，稱為靜止參照系。 相對于觀察者為運動的參照系，稱為運動參照系。 對于一個處于運動參照系中的物體，相對于靜止參照系的運動 稱為絕對運動； 運動參照系相對于靜止參照系的運動稱為牽連運動； 物體相對于運動參照系的運動稱為相對運動。 41 二一參照糸彼此之間有相對運動（非相對論效應(yīng)丿 設(shè)S/系相對S系以速度V。運動，P為S/系中的一個質(zhì)點, P對于O點的位矢為絕對位矢r 0/對于O點的位矢為牽連位矢廠0 P對于O/點的位矢為相對位矢； 在牛頓的時、空觀中 即絕對位矢二牽連位矢+相對位矢 r = r0 + rf 41 將r = r0 + rf 兩邊對七求導(dǎo)，即得 絕對速度V絕，牽連速度V牽，相對速度V相，且有 絕= % +『 將上式再對t求導(dǎo)，即可得絕對加速度，牽連加速度，相加對 速度之間的關(guān)系 N絕=a0-ha 兩點說明： ① 上述各式均只在VVVC時成立； ② 上述結(jié)論只適用于兩參考系間不存在轉(zhuǎn)動的情況。 三*同d殽照糸內(nèi)，質(zhì)點糸各質(zhì)點之間的相對運動 若一質(zhì)點系同在某一基本參 考系內(nèi)運動，如果我們討論的 是質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點間的相對運 動，則有時運用下面的方法要 方便些。 設(shè)A、 B為質(zhì)點系內(nèi)的兩個質(zhì) 點，它們同在OXYZ系內(nèi)運動, 少、。為對0點的位矢，則 兩質(zhì)點間的相對位矢，即b對a的位矢為 fBA = rB—rA B對A的相對速度 yBA = —口4 后一種描述相對運動的方法可以統(tǒng)一到前一種方法中。例 如，將A質(zhì)點看成&系，則少為牽連位矢，仏為相對位矢， 則。為絕對位矢，于是有 B對A的相對加速度 ^BA _ 43 例1.9如圖1.18(a)所示，河寬為厶河水以恒定速度疏動，岸邊有兒 夕碼頭，兒 璉線與岸邊垂直，碼頭祖有船相對于水以恒定速率卩。開動, 證明：船在兒夕兩碼頭間往返一次所需時間為 2L V vo (船換向時間忽略不計). 11 (1)) 45 圖 1. 18 解 設(shè)船相對于岸邊的速度(絕對速度)為-由題知，卩的方向必須指 向A, 〃連線，此時河水流速u為牽連速度，船對水的速度％為相對速 度，于是有 v = w + v0 據(jù)此作出矢量圖，如圖1.18(b),由圖知 # 可證當(dāng)船由B返回A時，船對岸的速度的模亦由上式給出?因為在AB兩 碼頭往返一次的路程為2厶 故所需時間為 2L 討論: ⑴若比=0,即河水靜止，則/ =—,這是顯然的. Vc (2)若v0 ,即河水流速%等于船對水的速率心，則『一0即船由 碼頭A(或3)出發(fā)后就永遠不能再回到原出發(fā)點了. (3)若n>v0，則(為一虛數(shù)，這是沒有物理意義的，即船不能在A, 3間 往返. 綜合上述討論可知，船在A, 3間往返的必要條件是 46 V。>% 例1.10如圖1.19(a)所示，一汽車在雨中沿直線行駛，其速率為兒， 下落雨滴的速度方向與鉛直方向成&角，偏向于汽車前進方向，速率 為勺，車后有一長方形物體4(尺寸如圖所示)，問車速兒多大時，此 物體剛好不會被雨水淋濕. 解因為 所以 雨車=唏車二卩2 _片二“2 + (—片) 47 # 而由圖1.19(b)可算得 H — v2 cos 0 (B) 據(jù)此可作出矢量圖，如圖1.19(b)?即此時卩雨車與鉛直方向的夾角 為a,而由圖1.19(a)有 L tan a- — h ///〃/〃/////〃/〃////////////〃/? (a) 圖 1.19 v, = v2 sin 0 + // tan a — v2 sin^ + v2 cos 0 — h 位矢f 位移Jr 速度v 加速度a ★矢量性: Ui 四個量都是矢量，有大小和方向, 加減運算遵循平行四邊形法則。 49 # *"瞬時性: f v a —某一時刻的瞬時量, 不同時刻不同。 # # 相對性: zlr —過程量 不同參照系中，同一質(zhì)點運動描述不同; 不同坐標(biāo)系中，具體表達形式不同。 #