精編北師大版數(shù)學(xué)資料 定積分的概念 第三課時 一、教學(xué)目標(biāo)： 1.通過求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景 ；2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡單的定積分； 3.理解掌握定積分的幾何意義． 二、教學(xué)重難點(diǎn)： 重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡單的定積分、定積分的幾何意義． 難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義． 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 復(fù)習(xí)：1． 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問題的解決方法，解決步驟： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限（逼近） 2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)． （二）、新課探析 1．定積分的概念 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn) 將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式： 如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：， 其中積分號，－積分上限，－積分下限，－被積函數(shù)，－積分變量，－積分區(qū)間，－被積式。 說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）記為，而不是． （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限： （3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動路程；變力做功 2．定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。 說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負(fù)號。 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。 考察和式 不妨設(shè) 于是和式即為 陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積） 思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？ 3．定積分的性質(zhì) 根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)： 性質(zhì)1； 性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）； 性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）； 性質(zhì)4（定積分對積分區(qū)間的可加性） (1) ； (2) ； 說明：①推廣： ②推廣: ③性質(zhì)解釋： 性質(zhì)4 性質(zhì)1 （三）．典例分析 例1、計算定積分 1 2 y x O 分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。 即： 思考：若改為計算定積分呢？ 改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上，出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問題） 例2、計算定積分 分析：利用定積分性質(zhì)有， 利用定積分的定義分別求出，，就能得到的值。 （四）．課堂練習(xí) 計算下列定積分 1． 2． (五)．回顧總結(jié)：定積分的概念、用定義法求簡單的定積分、定積分的幾何意義． (六)．布置作業(yè)： 五、教學(xué)后記：