《人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第2章 推理與證明2.1.1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《人教版 高中數(shù)學(xué) 選修22習(xí)題 第2章 推理與證明2.1.1（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修精品資料 選修2-2 第二章 2.1 2.1.1 一、選擇題 1．平面內(nèi)的小圓形按照下圖中的規(guī)律排列，每個(gè)圖中的圓的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，則下列結(jié)論正確的是(　　) ①a5＝15； ②數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列； ③數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列； ④數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [答案]　D [解析]　由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4.因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正確

2、．同時(shí)④正確，而{an}顯然不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故②③錯(cuò)誤，故選D. 2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示， 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　從①②③可以看出，從第②個(gè)圖開始每個(gè)圖中的火柴棒都比前一個(gè)圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個(gè)“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n＋2. 3．平面幾何中，有邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值a，類比上述命題，棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為(　　) A.a　

3、　 B.a　 　 C.a　 　 D.a [答案]　B [解析]　將正三角形一邊上的高a類比到正四面體一個(gè)面上的高a，由正三角形“分割成以三條邊為底的三個(gè)三角形面積的和等于正三角形的面積”，方法類比為“將四面體分割成以各面為底的三棱錐體積之和等于四面體的體積”證明． 4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論： ①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ [答案]　B [

4、解析]　根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系知，②③是正確的結(jié)論． 5．(2016湖州高二檢測(cè))設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　將△ABC的三條邊長(zhǎng)a、b、c類比到四面體P－ABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)，從而可知選C. 證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V

5、＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝. 6．把正整數(shù)按圖所示的規(guī)律排序，則從2015到2017的箭頭方向依次為(　　) [答案]　C [解析]　∵1和5的位置相同， ∴圖中排序每四個(gè)一組循環(huán)， 而2013除以4的余數(shù)為1， ∴2013的位置和1的位置相同， ∴2014的位置和2的位置相同， 2015的位置和3的位置相同，2016的位置和4的位置相同，故選C. 二、填空題 7．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …… 由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N*,12－22＋32－4

6、2＋…＋(－1)n＋1n2＝________. [答案]　(－1)n＋1 [解析]　注意到第n個(gè)等式的左邊有n項(xiàng)，右邊的結(jié)果的絕對(duì)值恰好等于左邊的各項(xiàng)的所有底數(shù)的和，即右邊的結(jié)果的絕對(duì)值等于1＋2＋3＋…＋n＝＝，注意到右邊的結(jié)果的符號(hào)的規(guī)律是：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，符號(hào)為正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，符號(hào)為負(fù)，因此所填的結(jié)果是(－1)n＋1. 8．觀察下列等式： (1＋1)＝21； (2＋1)(2＋2)＝2213； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135； …… 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為______________________． [答案]　(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(

7、2n－1) [解析]　觀察規(guī)律，等號(hào)左側(cè)第n個(gè)等式共有n項(xiàng)相乘，從n＋1到n＋n，等式右端是2n與等差數(shù)列{2n－1}前n項(xiàng)的乘積，故第n個(gè)等式為(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)． 9．(2016德州高二檢測(cè))在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BDBC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為________. [答案]　S＝S△OBCS△DBC [解析]　將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD

8、與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S△OBCS△DBC. 證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點(diǎn)E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC. ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE. ∴S△ABC＝BCAE， S△BOC＝BCOE， S△BCD＝BCDE. 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OEDE，∴S＝S△BOCS△BCD. 三、解答題 10．已知等式si

9、n210＋cos240＋sin10cos40＝，sin26＋cos236＋sin6cos36＝.請(qǐng)寫出一個(gè)具有一般性的等式，使你寫出的等式包含已知的等式，并證明結(jié)論的正確性. [解析]　等式為sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30＋α)＋sinαcos(30＋α) ＝sin2α＋＋sinα(cos30cosα－sin30sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin

10、2α)＝. 一、選擇題 1．觀察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋<(　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　本題考查了歸納的思想方法． 觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12、22、32、…、(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1＋＋＋…＋<， 所以當(dāng)n＝2015時(shí)不等式為： 1＋＋＋…＋<. 2．類比三角形中的性質(zhì)： (1)兩邊之和大于第三邊 (2)中位線長(zhǎng)等于底邊長(zhǎng)的一半 (3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn) 可得四面體

11、的對(duì)應(yīng)性質(zhì)： (1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積 (2)過(guò)四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對(duì)的面面積的 (3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn) 其中類比推理方法正確的有(　　) A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不對(duì) [答案]　C [解析]　以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確． 二、填空題 3．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則圓的面積S圓＝πr2，過(guò)點(diǎn)P的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.在橢圓＋＝1(a>

12、b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長(zhǎng)半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式得橢圓面積S橢圓＝________.類比過(guò)圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過(guò)橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________. [答案]　πab　x＋y＝1 [解析]　當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝πrr，猜想橢圓面積S橢＝πab，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0x＋y0y＝r2變形得x＋y＝1，則過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為x＋y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線

13、處理． 4．(2016山東文，12)觀察下列等式： (sin)－2＋(sin)－2＝12； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＝23； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝34； (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝45； …… 照此規(guī)律， (sin)－2＋(sin)－2＋(sin)－2＋…＋(sin)－2＝________. [答案]　n(n＋1) [解析]　根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果為n(n＋1)． 三、解答題 5．我們知道： 12＝1， 22＝(1＋1)2＝12＋21＋1，

14、 32＝(2＋1)2＝22＋22＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋23＋1， …… n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1， 左右兩邊分別相加，得 n2＝2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n＝. 類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過(guò)程． [解析]　我們記S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n， S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…，Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)． 已知 13＝1， 23＝(1＋1)3＝13＋312＋31＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋322＋32＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3

15、32＋33＋1， …… n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1. 將左右兩邊分別相加，得 S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n. 由此知S2(n)＝＝ ＝. 6．(2016隆化縣高二檢測(cè))在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由. [解析]　如圖(1)所示，由射影定理AD2＝BDDC，AB2＝BDBC，AC2＝BCDC， ∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ∴＝＝＋. ∴＝＋. 類比AB⊥AC，AD⊥BC猜想： 四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直， AE⊥平面BCD.則＝＋＋. 如圖(2)，連接BE延長(zhǎng)交CD于F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋ ∴＝＋＋，故猜想正確．