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高考數(shù)學(xué)文大一輪復(fù)習(xí)檢測(cè):專題三 高考解答題鑒賞——數(shù)列 課時(shí)作業(yè)35 Word版含答案

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高考數(shù)學(xué)文大一輪復(fù)習(xí)檢測(cè):專題三 高考解答題鑒賞——數(shù)列 課時(shí)作業(yè)35 Word版含答案_第1頁(yè)
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1、課時(shí)作業(yè)35 高考解答題鑒賞——數(shù)列 1.(2016新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)求{bn}的前n項(xiàng)和. 解:(Ⅰ)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列.通項(xiàng)公式為an=3n-1. (Ⅱ)由(Ⅰ)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn==-. 2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an是Sn和1的

2、等差中項(xiàng),等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b4=S3. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍. 解:(1)∵an是Sn和1的等差中項(xiàng), ∴Sn=2an-1, 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2a1-1,∴a1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,∴an=2an-1,即=2. ∴數(shù)列{an}是以a1=1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n-1,Sn=2n-1, 設(shè){bn}的公差為d,b1=a1=1,b4=1+3d=7, ∴d=2,∴bn=1+(n-1)2

3、=2n-1. (2)cn== =, ∴Tn= ==, ∵n∈N*,∴Tn=<, 又Tn-Tn-1=- =>0, ∴數(shù)列{Tn}是一個(gè)遞增數(shù)列, ∴Tn≥T1=. 綜上所述,≤Tn<. 3.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (3)證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有++…+<. 解:(1)令n=1代入得a1=2(負(fù)值舍去). (2)由S-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*得[Sn-(n2+n)](Sn+3)=0. 又已知各

4、項(xiàng)均為正數(shù),故Sn=n2+n. 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 當(dāng)n=1時(shí),a1=2也滿足上式,所以an=2n,n∈N*. (3)證明:k∈N*,4k2+2k-(3k2+3k)=k2-k=k(k-1)≥0,∴4k2+2k≥3k2+3k, ∴= =≤=. ∴++…+ ≤ =<. ∴不等式成立. 4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=. (1)當(dāng)n∈N*時(shí),求f(n)的表達(dá)式; (2)設(shè)an=nf(n),n∈N*,求證:a1+a2+a3+…+an<2; (3)設(shè)bn=(9-n),n∈N*,Sn為{b

5、n}的前n項(xiàng)和,當(dāng)Sn最大時(shí),求n的值. 解:(1)令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)f(1)=f(n), ∴{f(n)}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,∴f(n)=n. (2)證明:設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和, ∵an=nf(n)=nn, ∴Tn=+22+33+…+nn, Tn=2+23+34+…+(n-1)n+nn+1, 兩式相減得Tn=+2+3+…+n-nn+1, ∴Tn=2-n-1-nn<2. 即a1+a2+a3+…+an<2. (3)∵f(n)=n, ∴bn=(9-n)=(9-n)=, ∴當(dāng)n≤8時(shí),bn>0; 當(dāng)n=9時(shí),bn=0; 當(dāng)n>9時(shí),bn

6、<0. ∴當(dāng)n=8或9時(shí),Sn取得最大值. 1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an+n+1(n∈N*). (1)若{an}是等差數(shù)列,求其首項(xiàng)a1和公差d; (2)證明{an}不可能是等比數(shù)列; (3)若a1=-1,是否存在實(shí)數(shù)k和b使得數(shù)列{an+kn+b}是等比數(shù)列?若存在,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)由題意知,a2=2a1+2,a3=2a2+3=4a1+7. 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以2a2=a1+a3,所以a1=-3,a2=-4,所以公差d=-1. (2)證明:假設(shè){an}是等比數(shù)列,則a=a1a3,即(2a1+2)2=a1(4

7、a1+7), 解得a1=-4,從而a2=-6,a3=-9. 又a4=2a3+4=-14,所以a2,a3,a4不成等比數(shù)列,這與假設(shè)矛盾. 故{an}不可能是等比數(shù)列. (3)假設(shè)存在滿足條件的k,b,則對(duì)任意n∈N*有== 恒為常數(shù),則 ,解得 所以數(shù)列{an+n+2}是首項(xiàng)為a1+1+2=-1+1+2=2,公比為2的等比數(shù)列, 從而an+n+2=2n,故an=2n-n-2. 2.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,如果為常數(shù),則稱數(shù)列{an}為“幸福數(shù)列”. (1)等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1,公差不為零,若{bn}為“幸福數(shù)列”,求{bn}的通項(xiàng)公式; (2)數(shù)列{cn}的

8、各項(xiàng)都是正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,若c+c+c+…+c=S對(duì)任意的n∈N*都成立,試推斷數(shù)列{cn}是否為“幸福數(shù)列”?并說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0),前n項(xiàng)和為Tn,則=k,因?yàn)閎1=1. 則n+n(n-1)d=k[2n+2n(2n-1)d],即2+(n-1)d=4k+2k(2n-1)d. 整理得,(4k-1)dn+(2k-1)(2-d)=0. 因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n上式恒成立,則 ,解得. 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn=2n-1. (2)由已知,當(dāng)n=1時(shí),c=S=c. 因?yàn)閏1>0,所以c1=1. 當(dāng)n≥2時(shí),c+c+c+…+c=S,c+c+c+…+c=S. 兩式相減,得c=S-S=(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=cn(Sn+Sn-1). 因?yàn)閏n>0,所以c=Sn+Sn-1=2Sn-cn. 顯然c1=1適合上式, 所以當(dāng)n≥2時(shí),c=2Sn-1-cn-1. 于是c-c=2(Sn-Sn-1)-cn+cn-1=2cn-cn+cn-1=cn+cn-1. 因?yàn)閏n+cn-1>0,則cn-cn-1=1,所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以cn=n,Sn=. 所以==不為常數(shù),故數(shù)列{cn}不是“幸福數(shù)列”.

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