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1、 精品資料
第7講 函數(shù)圖象
一、選擇題
1.函數(shù)y=|x|與y=在同一坐標系上的圖像為( )
解析 因為|x|≤,所以函數(shù)y=|x|的圖像在函數(shù)y=圖像的下方,排除C、D,當x→+∞時,→|x|,排除B,故選A.
答案 A
2.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 此題考查函數(shù)的圖象、兩個函數(shù)圖象的交點及函數(shù)的對稱性問題.兩個函數(shù)
2、都是中心對稱圖形.
如上圖,兩個函數(shù)圖象都關(guān)于點(1,0)成中心對稱,兩個圖象在[-2,4]上共8個公共點,每兩個對應(yīng)交點橫坐標之和為2,故所有交點的橫坐標之和為8.
答案 D
3.已知函數(shù)f(x)=x-tan x,若實數(shù)x0是函數(shù)y=f(x)的零點,且00,則f(t)>
3、0,故選B.
答案 B
4.如圖,正方形ABCD的頂點A,B,頂點C、D位于第一象限,直線l:x=t(0≤t≤)將正方形ABCD分成兩部分,記位于直線l左側(cè)陰影部分的面積為f(t),則函數(shù)S=f(t)的圖象大致是 ( ).
解析 當直線l從原點平移到點B時,面積增加得越來越快;當直線l從點B平移到點C時,面積增加得越來越慢.故選C.
答案 C
5.給出四個函數(shù),分別滿足①f(x+y)=f(x)+f(y),
②g(x+y)=g(x)g(y),③h(xy)=h(x)+h(y),
④m(xy)=m(x)m(y).又給出四個函數(shù)的圖象,那么正確的匹配方案可以是(
4、 )
A.①甲,②乙,③丙,④丁 B.①乙,②丙,③甲,④丁
C.①丙,②甲,③乙,④丁 D.①丁,②甲,③乙,④丙
解析 圖象甲是一個指數(shù)函數(shù)的圖象,它應(yīng)滿足②;圖象乙是一個對數(shù)函數(shù)的圖象,它應(yīng)滿足③;圖象丁是y=x的圖象,滿足①.
答案 D
6.如右圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點E是側(cè)棱SC上一動點,過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x(0
5、示),連接FI,
由SC與該截面垂直知,SC⊥EF,SC⊥EI,∴EF=EI=SEtan 60=x,SI=2SE=2x,IH=FG=BI=1-2x,F(xiàn)I=GH=AH=2 x,∴五邊形EFGHI的面積S=FGGH+FI =2x-3x2,
∴V(x)=VC-EFGHI+2VI-BHC=(2x-3x2)CE+21(1-2x)(1-2x)=x3-x2+,其圖象不可能是一條線段,故排除C,D.
(2)當≤x<1時, 過E點的截面為三角形,如圖2,設(shè)此三角形為△EFG,則EG=EF=ECtan 60=(1-x),CG=CF=2CE=2(1-x),三棱錐E-FGC底面FGC上的高h=ECsin 4
6、5=(1-x),
∴V(x)=CGCFh=(1-x)3,
∴V′(x)=-(1-x)2,
又顯然V′(x)=-(1-x)2在區(qū)間上單調(diào)遞增,V′(x)<0,
∴函數(shù)V(x)=(1-x)3在區(qū)間上單調(diào)遞減,且遞減的速率越來越慢,故排除B,應(yīng)選A.
答案 A
二、填空題
7.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于________.
解析 函數(shù)y==和y=2sin πx的圖象有公共的對稱中心(1,0),畫出二者圖象如圖所示,易知y=與y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象共有8個交點,不妨設(shè)其橫坐標為x1,x2,x3,x4,x5,x6,
7、x7,x8,且x1
8、解析 在同一坐標系中,作出y=-x+6和y=-2x2+4x+6的圖象如圖所示,可觀察出當x=0時函數(shù)f(x)取得最大值6.
答案 6
10.已知函數(shù)f(x)=()x的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,令h(x)=g(1-|x|),則關(guān)于h(x)有下列命題:
①h(x)的圖象關(guān)于原點對稱;
②h(x)為偶函數(shù);
③h(x)的最小值為0;
④h(x)在(0,1)上為減函數(shù).
其中正確命題的序號為_________.(將你認為正確的命題的序號都填上)
解析 g(x)= x,
∴h(x)= (1-|x|),
∴h(x)=
得函數(shù)h(x)的大致圖象如
9、圖,故正確命題序號為②③.
答案 ②③
三、解答題
11.討論方程|1-x|=kx的實數(shù)根的個數(shù).
解 設(shè)y=|1-x|,y=kx,則方程的實根的個數(shù)就是函數(shù)y=|1-x|的圖象與y=kx的圖象交點的個數(shù).
由右邊圖象可知:當-1≤k<0時,方程沒有實數(shù)根;
當k=0或k<-1或k≥1時,方程只有一個實數(shù)根;
當0
10、x,y)是C2上的任意一點,
則P(x,y)關(guān)于點A(2,1)對稱的點為P′(4-x,2-y),
代入f(x)=x+,
可得2-y=4-x+,即y=x-2+,
∴g(x)=x-2+.
(2)由消去y
得x2-(m+6)x+4m+9=0,Δ=(m+6)2-4(4m+9),
∵直線y=m與C2只有一個交點,
∴Δ=0,解得m=0或m=4.
當m=0時,經(jīng)檢驗合理,交點為(3,0);
當m=4時,經(jīng)檢驗合理,交點為(5,4).
13.當x∈(1,2)時,不等式(x-1)2
11、(1,2) 時,不等式
(x-1)21時,如圖,要使在(1,2)上,f1(x)=(x-1)2的圖象在f2(x)=logax的下方,
只需f1(2)≤f2(2),
即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,
∴1<a≤2.
∴a的取值范圍是(1,2]
14.已知函數(shù)f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.
(1)求實數(shù)m的值;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象并判斷其零點個數(shù);
(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)>0的解集;
(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三個不相等的實根}.
解 (1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.
(2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=
∴函數(shù)f(x)的圖象如圖:
由圖象知f(x)有兩個零點.
(3)從圖象上觀察可知:f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2,4].
(4)從圖象上觀察可知:
不等式f(x)>0的解集為:{x|04}.
(5)由圖象可知若y=f(x)與y=m的圖象有三個不同的交點,則0