精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 新課標(biāo) 數(shù) 學(xué)　　選修4－4 一平面直角坐標(biāo)系 課標(biāo)解讀 1.回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫(huà)點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用并領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法的應(yīng)用． 2．了解在伸縮變換作用下平面圖形的變化情況，掌握平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換． 3．能夠建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 1．平面直角坐標(biāo)系 (1)平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))、曲線(xiàn)與方程建立了聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合． (2)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對(duì)象的特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程，通過(guò)方程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系． (3)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論． 2．平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱(chēng)φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換． (1)在坐標(biāo)伸縮變換的作用下，可以實(shí)現(xiàn)平面圖形的伸縮，因此，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)的伸縮變換來(lái)表示． (2)在使用時(shí)，要注意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)性，即分清新舊：P′(x′，y′)是變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)，P(x，y)是變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)． 1．如何根據(jù)幾何圖形的幾何特征建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系？ 【提示】?、偃绻麍D形有對(duì)稱(chēng)中心，可以選對(duì)稱(chēng)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)；②如果圖形有對(duì)稱(chēng)軸，可以選對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸；③若題目有已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段，以線(xiàn)段所在的直線(xiàn)為x軸，以端點(diǎn)或中點(diǎn)為原點(diǎn)． 建系原則：使幾何圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上． 2．如何確定坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)？ 【提示】　如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線(xiàn)段PM、PN，垂足分別為M、N，則M的橫坐標(biāo)x與N的縱坐標(biāo)y對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．如何理解點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換？ 【提示】　在平面直角坐標(biāo)系中，變換φ將點(diǎn)P(x，y)變換到P′(x′，y′)．當(dāng)λ>1時(shí)，是橫向拉伸變換，當(dāng)0<λ<1時(shí)，是橫向壓縮變換；當(dāng)μ>1時(shí)，是縱向拉伸變換，當(dāng)0<μ<1時(shí)，是縱向壓縮變換. 運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題 　已知?ABCD，求證：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)． 【思路探究】　從要證的結(jié)論，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐標(biāo)系，設(shè)出A，B，C，D點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算，證明幾何結(jié)論． 【自主解答】　法一　(坐標(biāo)法) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(0,0)， 設(shè)B(a,0)，C(b，c)， 則AC的中點(diǎn)E(，)，由對(duì)稱(chēng)性知D(b－a，c)， 所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2， |AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2， |AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， |AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)． 法二　(向量法) 在?ABCD中，＝＋， 兩邊平方得2＝||2＝2＋2＋2，同理得2＝||2 ＝2＋2＋2， 以上兩式相加，得 ||2＋||2 ＝2(||2＋||2)＋2(＋) ＝2(||2＋||2)， 即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)． 1．本例實(shí)際上為平行四邊形的一個(gè)重要定理：平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于其四邊的平方和．法一是運(yùn)用代數(shù)方法即解析法實(shí)現(xiàn)幾何結(jié)論的證明的．這種“以算代證”的解題策略就是坐標(biāo)方法的表現(xiàn)形式之一．法二運(yùn)用了向量的數(shù)量積運(yùn)算，更顯言簡(jiǎn)意賅，給人以簡(jiǎn)捷明快之感． 2．建立平面直角坐標(biāo)系的方法步驟 (1)建系——建立平面直角坐標(biāo)系．建系原則是 利于運(yùn)用已知條件，使運(yùn)算簡(jiǎn)便，表達(dá)式簡(jiǎn)明． (2)設(shè)點(diǎn)——選取一組基本量，用字母表示出題目涉及的點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線(xiàn)的方程； (3)運(yùn)算——通過(guò)運(yùn)算，得到所需要的結(jié)果． 　已知△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且滿(mǎn)足|BD|＝|CD|. 求證：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)． 【證明】　法一　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AB所在直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 則A(0,0)，設(shè)B(a,0)，C(b，c)， 則D(，)， 所以|AD|2＋|BD|2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)． 法二　延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，CE， 則四邊形ABEC為平行四邊形，由平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的平方和等于四條邊的平方和得 |AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)， 即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)． 用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題 　2012年2月27日，由甲導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、乙導(dǎo)彈驅(qū)逐艦、丙綜合補(bǔ)給艦組成的護(hù)航編隊(duì)奔赴某海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)，對(duì)商船進(jìn)行護(hù)航．某日，甲艦在乙艦正東6千米處，丙艦在乙艦北偏西30，相距4千米．某時(shí)刻甲艦發(fā)現(xiàn)商船的某種求救信號(hào)．由于乙、丙兩艦比甲艦距商船遠(yuǎn)，因此4 s后乙、丙兩艦才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km/s.若甲艦趕赴救援，行進(jìn)的方位角應(yīng)是多少？ 【思路探究】　本題求解的關(guān)鍵在于確定商船相對(duì)于甲艦的相對(duì)位置，因此不妨用點(diǎn)A、B、C表示甲艦、乙艦、丙艦，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出商船與甲艦的坐標(biāo)，問(wèn)題可解． 【自主解答】　 設(shè)A，B，C，P分別表示甲艦、乙艦、丙艦和商船．如圖所示， 以直線(xiàn)AB為x軸，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)． ∵|PB|＝|PC|， ∴點(diǎn)P在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上． kBC＝－，線(xiàn)段BC的中點(diǎn)D(－4，)， ∴直線(xiàn)PD的方程為y－＝(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4， ∴點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的右支上， 雙曲線(xiàn)方程為－＝1(x≥2)．② 聯(lián)立①②，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,5)． ∴kPA＝＝. 因此甲艦行進(jìn)的方位角為北偏東30. 1．由于A、B、C的相對(duì)位置一定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是：如何建系，將幾何位置量化，根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程求解． 2．運(yùn)用坐標(biāo)法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：建系→設(shè)點(diǎn)→列關(guān)系式(或方程)→求解數(shù)學(xué)結(jié)果→回答實(shí)際問(wèn)題． 　已知某荒漠上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，它們相距2 km，現(xiàn)準(zhǔn)備在荒漠上開(kāi)墾一片以AB為一條對(duì)角線(xiàn)的平行四邊形區(qū)域建成農(nóng)藝園，按照規(guī)劃，圍墻總長(zhǎng)為8 km. (1)問(wèn)農(nóng)藝園的最大面積能達(dá)到多少？ (2)該荒漠上有一條水溝l恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與AB成30的角，現(xiàn)要對(duì)整條水溝進(jìn)行加固改造，但考慮到今后農(nóng)藝園的水溝要重新改造，所以對(duì)水溝可能被農(nóng)藝園圍進(jìn)的部分暫不加固，問(wèn)暫不加固的部分有多長(zhǎng)？ 【解】　(1)設(shè)平行四邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)為C、D，由圍墻總長(zhǎng)為8 km得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2， 由橢圓的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝4，焦距2c＝2的橢圓(去除落在直線(xiàn)AB上的兩點(diǎn))． 以AB所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 易知點(diǎn)D也在此橢圓上，要使平行四邊形ABCD面積最大，則C、D為此橢圓短軸的端點(diǎn)，此時(shí)，面積S＝2(km2)． (2)因?yàn)樾藿ㄞr(nóng)藝園的可能范圍在橢圓＋＝1(y≠0)內(nèi)，故暫不需要加固水溝的長(zhǎng)就是直線(xiàn)l：y＝(x＋1)被橢圓截得的弦長(zhǎng)，如圖． 因此，由?13x2＋8x－32＝0， 那么弦長(zhǎng)＝|x1－x2| ＝ ＝，故暫不加固的部分長(zhǎng) km. 已知伸縮變換求點(diǎn)的坐標(biāo)和曲線(xiàn)方程 　在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ： (1)求點(diǎn)A(，－2)經(jīng)過(guò)φ變換所得的點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)點(diǎn)B經(jīng)過(guò)φ變換后得到點(diǎn)B′(－3，)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)求直線(xiàn)l：y＝6x經(jīng)過(guò)φ變換后所得直線(xiàn)l′的方程； (4)求雙曲線(xiàn)C：x2－＝1經(jīng)過(guò)φ變換后所得曲線(xiàn)C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)． 【思路探究】　(1)由伸縮變換求得x′，y′，即用x，y表示x′，y′；(2)(3)(4)將求得的x，y代入原方程得x′，y′間的關(guān)系． 【自主解答】　(1)設(shè)點(diǎn)A′(x′，y′)． 由伸縮變換φ：得到 又已知點(diǎn)A(，－2)． 于是x′＝3＝1，y′＝(－2)＝－1. ∴變換后點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1，－1)． (2)設(shè)B(x，y)，由伸縮變換φ：得到 由于B′(－3，)， 于是x＝(－3)＝－1，y＝2＝1， ∴B(－1,1)為所求． (3)設(shè)直線(xiàn)l′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)， 由上述可知，將 代入y＝6x得2y′＝6(x′)， 所以y′＝x′，即y＝x為所求． (4)設(shè)曲線(xiàn)C′上任意一點(diǎn)P′(x′，y′)， 將代入x2－＝1， 得－＝1， 化簡(jiǎn)得－＝1， ∴曲線(xiàn)C′的方程為－＝1. ∴a2＝9，b2＝16，c2＝25， 因此曲線(xiàn)C′的焦點(diǎn)F1(5,0)，F(xiàn)2(－5,0)． 1．解答本題的關(guān)鍵：(1)是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；(2)是明確變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，利用方程思想求解． 2．伸縮變換前后的關(guān)系 已知平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換φ：，則點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線(xiàn)的方程的關(guān)系為 　聯(lián)系 類(lèi)型　 變換前 變換后 點(diǎn)P (x，y) (λx，μy) 曲線(xiàn)C f(x，y)＝0 f(x′，y′)＝0 　若將例題中第(4)題改為：如果曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)φ變換后得到的曲線(xiàn)的方程為x2＝18y，那么能否求出曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)M(x，y)，經(jīng)過(guò)φ變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′(x′，y′)． 由得　　(*) 又M′(x′，y′)在曲線(xiàn)x2＝18y上， ∴x′2＝18y′　　?、? 將(*)代入①式得 (3x)2＝18(y)． 即x2＝y(tǒng)為曲線(xiàn)C的方程． 可見(jiàn)仍是拋物線(xiàn)，其中p＝，拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)為F(0，)．準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－. 由條件求伸縮變換 　在同一平面直角坐標(biāo)系中，求一個(gè)伸縮變換，使得圓x2＋y2＝1變換為橢圓＋＝1. 【思路探究】　區(qū)分原方程和變換后的方程設(shè)伸縮變換公式―→代入變換后的曲線(xiàn)方程―→與原曲線(xiàn)方程比較系數(shù)． 【自主解答】　將變換后的橢圓的方程＋＝1改寫(xiě)為＋＝1， 設(shè)伸縮變換為代入上式． 得＋＝1，即()2x2＋()2y2＝1. 與x2＋y2＝1比較系數(shù)，得 ∴ 所以伸縮變換為 因此，先使圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍，得到橢圓＋y2＝1，再將該橢圓的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到橢圓＋＝1. 1．求滿(mǎn)足圖象變換的伸縮變換，實(shí)際上是讓我們求出變換公式，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)方程，然后比較系數(shù)可得． 2．解題時(shí)，區(qū)分變換的前后方向是關(guān)鍵，必要時(shí)需要將變換后的曲線(xiàn)的方程改寫(xiě)成加注上(或下)標(biāo)的未知數(shù)的方程形式． 　在同一平面坐標(biāo)系中，求一個(gè)伸縮變換使其將曲線(xiàn)y＝2sin變換為正弦曲線(xiàn)y＝sin x. 【解】　將變換后的曲線(xiàn)的方程y＝sin x改寫(xiě)為y′＝sin x′， 設(shè)伸縮變換為 代入y′＝sin x′， ∴μy＝sin λx，即y＝sin λx. 比較與原曲線(xiàn)方程的系數(shù)，知 ∴ 所以伸縮變換為 即先使曲線(xiàn)y＝2sin的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，將曲線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)y＝2sin x；再將其橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得正弦曲線(xiàn)y＝sin x. 　(教材第8頁(yè)習(xí)題1.1，第5題) 在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線(xiàn)C變?yōu)榍€(xiàn)x′2＋9y′2＝9，求曲線(xiàn)C的方程，并畫(huà)出圖象． 　(2013鄭州調(diào)研)在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線(xiàn)C變?yōu)榍€(xiàn)＋4y′2＝1，求曲線(xiàn)C的方程并畫(huà)出圖形． 【命題意圖】　本題主要考查曲線(xiàn)與方程，以及平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換． 【解】　設(shè)M(x，y)是曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，變換后的點(diǎn)為M′(x′，y′)． 由且M′(x′，y′)在曲線(xiàn)＋4y′2＝1上， 得＋＝1， ∴x2＋y2＝4. 因此曲線(xiàn)C的方程為x2＋y2＝4，表示以O(shè)(0,0)為圓心，以2為半徑的圓(如圖所示). 1．點(diǎn)P(－1,2)關(guān)于點(diǎn)A(1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(3,6)　　　　　　B．(3，－6) C．(2，－4) D．(－2,4) 【解析】　設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)， 則x－1＝2，且y＋2＝－4， ∴x＝3，且y＝－6. 【答案】　B 2．如何由正弦曲線(xiàn)y＝sin x經(jīng)伸縮變換得到y(tǒng)＝sinx的圖象(　　) A．將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)也壓縮為原來(lái)的 B．將橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍 C．將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)也伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍 D．將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的 【解析】　y＝sin xy＝sinxy＝sinx.故選D. 【答案】　D 3．將點(diǎn)P(－2,2)變換為點(diǎn)P′(－6,1)的伸縮變換公式為(　　) A. B. C. D. 【解析】　將與代入到公式φ：中，有 ∴ 【答案】　C 4．將圓x2＋y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 【解析】　由得 代入到x2＋y2＝1，得＋＝1. ∴變換后的曲線(xiàn)方程為＋＝1. 【答案】?。? (時(shí)間40分鐘，滿(mǎn)分60分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)x＋y－4＝0的距離等于它到點(diǎn)M(2,2)的距離，則點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．直線(xiàn)　　　　　　　B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn) 【解析】　∵M(jìn)(2,2)在直線(xiàn)x＋y－4＝0上， ∴點(diǎn)P的軌跡是過(guò)M與直線(xiàn)x＋y－4＝0垂直的直線(xiàn)． 【答案】　A 2．若△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 【解析】　|AB|＝＝， |BC|＝＝， |AC|＝＝， |BC|＝|AC|≠|(zhì)AB|，△ABC為等腰三角形． 【答案】　A 3．在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線(xiàn)y＝cos 2x按伸縮變換后為(　　) A．y＝cos x B．y＝3cosx C．y＝2cosx D．y＝cos 3x 【解析】　由得 代入y＝cos 2x， 得＝cos x′. ∴y′＝cos x′，即曲線(xiàn)y＝cos x. 【答案】　A 4．將直線(xiàn)x＋y＝1變換為直線(xiàn)2x＋3y＝6的一個(gè)伸縮變換為(　　) A. B. C. D. 【解析】　設(shè)伸縮變換為 由(x′，y′)在直線(xiàn)2x＋3y＝6上， ∴2x′＋3y′＝6，則2λx＋3μy＝6. 因此x＋y＝1，與x＋y＝1比較， ∴＝1且＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的變換為 【答案】　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．若點(diǎn)P(－2 012,2 013)經(jīng)過(guò)伸縮變換后的點(diǎn)在曲線(xiàn)x′y′＝k上，則k＝________. 【解析】　∵P(－2 012,2 013)經(jīng)過(guò)伸縮變換得 代入x′y′＝k， 得k＝x′y′＝－1. 【答案】?。? 6．△ABC中，若BC的長(zhǎng)度為4，中線(xiàn)AD的長(zhǎng)為3，則A點(diǎn)的軌跡是________． 【解析】　取B、C所在直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(－2,0)、C(2,0)、D(0,0)． 設(shè)A(x，y)，則|AD|＝.注意到A、B、C三點(diǎn)不能共線(xiàn)，化簡(jiǎn)即得軌跡方程：x2＋y2＝9(y≠0)． 【答案】　以BC的中點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓(除去直線(xiàn)BC與圓的兩個(gè)交點(diǎn)) 三、解答題(每小題10分，共30分) 7．在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過(guò)伸縮變換后的圖形． (1)x2－y2＝1； (2)＋＝1. 【解】　由伸縮變換 得① (1)將①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1， 因此，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，雙曲線(xiàn)x2－y2＝1變成雙曲線(xiàn)9x′2－4y′2＝1，如圖(1)所示． (2)將①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，橢圓＋＝1變成橢圓x2＋＝1，如圖(2)所示． 8．臺(tái)風(fēng)中心從A地以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A地正東40 km處．求城市B處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間． 【解】　 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則B(40,0)， 以點(diǎn)B為圓心，30為半徑的圓的方程為(x－40)2＋y2＝302， 臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到圓B內(nèi)時(shí)，城市B處于危險(xiǎn)區(qū)．臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的軌跡為直線(xiàn)y＝x，與圓B相交于點(diǎn)M，N， 點(diǎn)B到直線(xiàn)y＝x的距離d＝＝20. 求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1， 所以城市B處于危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為1 h. 9. 圖1－1－1 學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖1－1－1，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針?lè)较?的軌跡方程為＋＝1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€(xiàn))后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱(chēng)軸，M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的實(shí)線(xiàn)部分，降落點(diǎn)為D(8,0)，觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)，B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器． (1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線(xiàn)方程； (2)試問(wèn)：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A，B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？ 【解】　(1)設(shè)曲線(xiàn)方程為y＝ax2＋. 因?yàn)镈(8,0)在拋物線(xiàn)上，∴a＝－. ∴曲線(xiàn)方程為y＝－x2＋. (2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y)． 根據(jù)題意可知 得4y2－7y－36＝0， 解得y＝4或y＝－(不合題意)． ∴y＝4. 得x＝6或x＝－6(不合題意，舍去)． ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4)．|AC|＝2，|BC|＝4. 所以當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為2、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令． 教師備選 10．已知A(－1,0)，B(1,0)，圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，在圓C上是否分別存在一點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2取得最小值與最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的最值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解】　假設(shè)圓C上分別存在一點(diǎn)P使|PA|2＋|PB|2取得最小值和最大值，則由三角形的中線(xiàn)與邊長(zhǎng)的關(guān)系式得|PA|2＋|PB|2＝2(|PO|2＋|AO|2)＝2|PO|2＋2， 可見(jiàn)，當(dāng)|PO|分別取得最小值和最大值時(shí)，相應(yīng)地|PA|2＋|PB|2分別取得最小值與最大值． 設(shè)直線(xiàn)OC分別交圓C于P1，P2， 則|P1O|最小，|P2O|最大，如圖所示． 由已知條件得|OC|＝＝5，r＝2， 于是|P1O|＝|OC|－r＝5－2＝3， |P2O|＝|OC|＋r＝5＋2＝7， 所以|PA|2＋|PB|2的最小值為232＋2＝20， 最大值為272＋2＝100. 下面求P1，P2的坐標(biāo)： 直線(xiàn)OC的方程為y＝x， 由 消去y并整理得25x2－150x＋921＝0， ∴(5x－9)(5x－21)＝0， 解得x1＝，x2＝， ∴或 ∴P1(，)，P2(，)為所求． 最新精品資料