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1、 《經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)12》期末復(fù)習(xí)文本 2010-06-11 考核方式：本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合，成績由形成性 考核作業(yè)成績和期末考試成績兩部分組成，其中形成性考核作業(yè)成績占考核成績的30%，期末考試成績占考核成績的70%．課程考核成績滿分100分，60分以上為合格，可以獲得課程學(xué)分． 試題類型：試

2、題類型分為單項選擇題、填空題和解答題．三種題型分?jǐn)?shù)的百分比為：單選擇題15%，填空題15％，解答題70％． 內(nèi)容比例：微積分占58%，線性代數(shù)占42% 考核形式：期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分． 考試時間：90分鐘． 復(fù)習(xí)建議： 1.復(fù)習(xí)依據(jù)： （1）重點是本復(fù)習(xí)文本中的綜合練習(xí)題（與期末復(fù)習(xí)小藍(lán)本中的綜合練習(xí)題基本一樣，只是刪去了部分非考試重點內(nèi)容，把這部分內(nèi)容掌握了，考試就沒有問題） （2）作業(yè)1-4（隱函數(shù)求導(dǎo)、微分方程考試不做重點，可略去，作業(yè)講評欄目中有作業(yè)冊供復(fù)習(xí)用） （3）往屆考試題（在考試指南欄目中） 注意：以上三方面的內(nèi)容重復(fù)的較多，所以復(fù)習(xí)量

3、并不大。 2.雖然試卷中給出了導(dǎo)數(shù)、積分公式，但要在復(fù)習(xí)時通過文本中的練習(xí)題有意識的記記，要把公式中的x念成u，并注意冪函數(shù)有兩個特例（）當(dāng)公式記，考試時才能盡快找到公式并熟練應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)的計算重點要掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；積分的計算重點是湊微分和分部積分法（要記住常見湊微分類型、分部積分公式）。 3.代數(shù)中的兩道計算題要給予足夠的重視，關(guān)鍵是要熟練掌握矩陣的初等行變換（求逆矩陣，解矩陣方程，方程組的一般解，必須要動手做題才能掌握！） 微分學(xué)部分考核要求與綜合練習(xí)題 第1章 函數(shù) 　　1．理解函數(shù)概念。 （1）掌握求函數(shù)定義域的方法，會求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值

4、。函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的變化范圍。學(xué)生要掌握常見函數(shù)的自變量的變化范圍，如分式的分母不為0，對數(shù)的真數(shù)大于0，偶次根式下表達式大于0，等等。 （2）理解函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系f的含義：f表示當(dāng)自變量取值為x時，因變量y的取值為f (x)。 （3）會判斷兩函數(shù)是否相同。 （4）了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法。 2．掌握函數(shù)奇偶性的判別，知道它的幾何特點。 判斷函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，可以用定義去判斷，即 (1)若，則為偶函數(shù)；(2)若，則為奇函數(shù)。 也可以根據(jù)一些已知的函數(shù)的奇偶性，再利用“奇函數(shù)±奇函數(shù)、奇函數(shù)×偶函數(shù)仍為奇函數(shù)；

5、偶函數(shù)±偶函數(shù)、偶函數(shù)×偶函數(shù)、奇函數(shù)×奇函數(shù)仍為偶函數(shù)”的性質(zhì)來判斷。 3．了解復(fù)合函數(shù)概念，會對復(fù)合函數(shù)進行分解。 4．知道初等函數(shù)的概念，牢記常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)（正弦、余弦、正切和余切）的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)。 基本初等函數(shù)的解析表達式、定義域、主要性質(zhì)在微積分中常要用到，一定要熟練掌握。 5．了解需求、供給、成本、平均成本、收入和利潤函數(shù)的概念。 第2章 極限、導(dǎo)數(shù)與微分 1．知道一些與極限有關(guān)的概念 （1）知道函數(shù)在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限都存在且相等； （2）了解無窮小量的概念，

6、知道無窮小量的性質(zhì)； （3）了解函數(shù)在某點連續(xù)的概念，了解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)”的結(jié)論；會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性，會求函數(shù)的間斷點。 2．知道一些與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念 （1）會求曲線的切線方程 （2）知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，連續(xù)的函數(shù)不一定可導(dǎo)) 3．熟練掌握求導(dǎo)數(shù)或微分的方法。 （1）利用導(dǎo)數(shù)（或微分）的基本公式（2）利用導(dǎo)數(shù)（或微分）的四則運算（3）利用復(fù)合函數(shù)微分法 4．會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。 第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，掌握極值點的判別方法，會求函數(shù)的極值。 通常的方法是利用一階導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，也可以利用已知的基本初等

7、函數(shù)的單調(diào)性判斷。 2．了解一些基本概念。 （1）了解函數(shù)極值的概念，知道函數(shù)極值存在的必要條件，知道函數(shù)的極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系； （2）了解邊際概念和需求價格彈性概念； 3．熟練掌握求經(jīng)濟分析中的應(yīng)用問題（如平均成本最低、收入最大和利潤最大等），會求幾何問題中的最值問題。掌握求邊際函數(shù)的方法，會計算需求彈性。 微分學(xué)部分綜合練習(xí) 一、單項選擇題 1．函數(shù)的定義域是（ D ）． A． B． C． D． 且 2．下列各函數(shù)對中，（ D ）中的兩個函數(shù)相等． A．，

8、 B．，+ 1 C．， D．， 3．設(shè)，則（ C ）． A． B． C． D． 4．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ C ）． A． B． C． D． 5．已知，當(dāng)（　A ）時，為無窮小量. 　　A. 　 B. 　　C. 　　　 D. 6．當(dāng)時，下列變量為無窮小量的是（ D ） A． B． C．

9、 D． 7．函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( C )． A．-2 B．-1 C．1 D．2 8．曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ A ）． A． B． C． D． 9．曲線在點(0, 0)處的切線方程為（ A ）． 　　A. y = x　 B. y = 2x 　　C. y = x　　　 D. y = -x 10．設(shè)，則（ B ）．

10、 A． B． C． D． 11．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ B ）． A．sinx B．e x C．x 2 D．3 - x 12．設(shè)需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ B ）． A． B． C． D． 二、填空題 1．函數(shù)的定義域是 ． 2．函數(shù)的定義域是 ．(-5, 2 ) 3．若函數(shù)，則 ． 4．設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于　　　　

11、　對稱．Y軸 5．　　　　　　.1 6．已知，當(dāng) 時，為無窮小量． 7. 曲線在點處的切線斜率是 ． 注意：一定要會求曲線的切線斜率和切線方程，記住點斜式直線方程 8．函數(shù)的駐點是　　 　 　.x=1 9. 需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為 ． 三、計算題（通過以下各題的計算要熟練掌握導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則！這是考試的10分類型題） 1．已知，求 ．解： 2．已知，求 ． 解 3．已知，求． 解 4．已知，求 ． 解： 5．已知，求； 解：因為

12、 所以 6．設(shè)，求 解：因為 所以 7．設(shè)，求． 解：因為 所以 8．設(shè)，求． 解：因為 所以 四、應(yīng)用題（以下的應(yīng)用題必須熟練掌握！這是考試的20分類型題） 1．設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）, 求：（1）當(dāng)時的總成本、平均成本和邊際成本； （2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，平均成本最??？ 解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： ， 所以，

13、 ， （2）令 ，得（舍去） 因為是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當(dāng)20時，平均成本最小. 2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）．試求： （1）成本函數(shù)，收入函數(shù)； （2）產(chǎn)量為多少噸時利潤最大？ 解 （1）成本函數(shù)= 60+2000． 因為 ，即， 所以 收入函數(shù)==()=． （2）利潤函數(shù)=- =-(60+2000) = 40--2000 且

14、 =(40--2000=40- 0.2 令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時利潤最大． 3．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），試求： （1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？ （2）最大利潤是多少？ 解 （1）由已知 利潤函數(shù) 則，令，解出唯一駐點. 因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時可使利潤達到最大， （2）最大利潤為 （元）

15、 4．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？ 解 因為 令，即=0，得=140，= -140（舍去）. =140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. 所以=140是平均成本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)為140件. 此時的平均成本為 （元/件） 5．已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（萬元）．問：要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 解 因為 == ，

16、 == 令=0，即，得，=-50（舍去）， =50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點． 所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品． 積分學(xué)部分考核要求與綜合練習(xí)題 第1章 不定積分 1．理解原函數(shù)與不定積分概念。 （1）若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于，即，則稱函數(shù)是的原函數(shù)。 （2）原函數(shù)的全體（其中是任意常數(shù)）稱為的不定積分，記為=。 （3）知道不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）之間的關(guān)系 不定積分與導(dǎo)數(shù)（微分）之間互為逆運算，即先積分，再求導(dǎo)，等于它本身；先求導(dǎo)，再積分，等于函數(shù)加上一個任意常數(shù)，即 =,=

17、, ， 2．熟練掌握不定積分的計算方法。 （1）第一換元積分法（湊微分法） （2）分部積分法 第2章 定積分 1．了解定積分的概念，知道奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分結(jié)果． 要區(qū)別不定積分與定積分之間的關(guān)系。定積分的結(jié)果是一個數(shù)，而不定積分的結(jié)果是一個表達式。 　 若是奇函數(shù)，則有 2．熟練掌握定積分的計算方法。 3．會求簡單的無窮限積分。 第3章 積分應(yīng)用 熟練掌握用不定積分求總成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)或其增量的方法。 積分學(xué)部分綜合練習(xí) 一、單選題 1．下列等式不成立的是（ ）．正確答案：D A．

18、 B． C． D． 2．若，則=（ ）. 正確答案：D A. 　 B. 　C. 　　 D. 注意：主要考察原函數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 3．下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（ ）．正確答案：C A． B． C． D． 4. 若，則f (x) =（ ）．正確答案：C A． B．- C．

19、 D．- 5. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是( )．正確答案：B A． B． C． D． 6．下列定積分中積分值為0的是（ ）．正確答案：A A． B． C． D． 7．下列定積分計算正確的是（ ）．正確答案：D A． B． C． D． 8．下列無窮積分中收斂的是（ ）． 正確答案：C A． B．

20、 C． D． 9．無窮限積分 =（ ）．正確答案：C A．0 B． C． D. 二、填空題 1． ． 應(yīng)該填寫： 注意：主要考察不定積分與求導(dǎo)數(shù)（求微分）互為逆運算，一定要注意是先積分后求導(dǎo)（微分）還是先求導(dǎo)（微分）后積分。 2．函數(shù)的原函數(shù)是 ．應(yīng)該填寫：-cos2x + c 3．若存在且連續(xù)，則 ． 應(yīng)該填寫： 注意：本題是

21、先微分再積分最后在求導(dǎo)。 4．若，則　　　　　　. 應(yīng)該填寫： 5．若，則= . 應(yīng)該填寫： 注意： 6．　　　　　　. 應(yīng)該填寫：0 注意：定積分的結(jié)果是“數(shù)值”，而常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 7．積分 ． 應(yīng)該填寫：0 注意：奇函數(shù)在對稱區(qū)間的定積分為0 8．無窮積分是 ． 應(yīng)該填寫：收斂的 三、計算題（以下的計算題要熟練掌握！這是考試的10分類型題） 1． 解： == 2．計算 解： 3．計算

22、 解： 4．計算 解： 5．計算 解： = = 6．計算 解： = 7． 解：=== 8． 解：=- == 9． 解： = =＝=1 注意：熟練解答以上各題要注意以下兩點 （1）常見湊微分類型一定要記住 （2）分部積分：，?？嫉挠腥N類型要清楚。 四、應(yīng)用題（以下的應(yīng)用題必須熟練掌握！這是考試的20分類型題） 1． 投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百

23、臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低. 解： 當(dāng)產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為 == 100（萬元） 又 = = 令 ， 解得. x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值。 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小. 2．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 解： 因為邊際利潤 =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令= 0，得x = 500；x

24、 = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時，利潤最大. 當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時，利潤改變量為 =500 - 525 = - 25 （元） 即利潤將減少25元. 3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ 解： (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令(x)=0, 得 x = 10（百臺）；又x = 10是L(x)的

25、唯一駐點，該問題確實存在最大值， 故x = 10是L(x)的最大值點，即當(dāng)產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. 又 △ 即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元. 4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本. 解：因為總成本函數(shù)為 = 當(dāng)= 0時，C(0) = 18，得 c =18； 即 C()= 又平均成本函數(shù)為 令 ， 解得= 3 (百臺) ， 該題確實存在使平均成本最低的產(chǎn)量. 所以當(dāng)q =

26、 3時，平均成本最低. 最底平均成本為 (萬元/百臺) 5．設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求：(1) 利潤最大時的產(chǎn)量； (2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x 令，得x = 7 ； 由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. (2) 當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為= - 1（萬元） 即利潤將減少1

27、萬元. 線性代數(shù)部分考核要求與綜合練習(xí)題 第2章 矩陣 1．了解或理解一些基本概念 （1）了解矩陣和矩陣相等的概念； （2）了解單位矩陣、數(shù)量矩陣和對稱矩陣的定義和性質(zhì)； （3）理解矩陣可逆與逆矩陣概念，知道矩陣可逆的條件； （4）理解矩陣初等行變換的概念。 2．熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等運算，掌握這幾種運算的有關(guān)性質(zhì)； 3．熟練掌握用矩陣的初等行變換求矩陣的秩、逆矩陣，解矩陣方程。 第3章 線性方程組 1．了解線性方程組的有關(guān)概念：n元線性方程組、線性方程組的矩陣表示、系數(shù)矩陣、增廣矩陣、一般解。 2．理解并熟練掌握線性方程組的有解判定定理

28、；熟練掌握用消元法求線性方程組的一般解。 3.熟練掌握線性方程組解得情況判定定理 線性代數(shù)部分綜合練習(xí)題 一、單項選擇題 1．設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（ ）可以進行. 正確答案：A A．AB B．ABT C．A+B D．BAT 2．設(shè)為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ ） 正確答案：B A. 　 　 B. C. D. 注意：轉(zhuǎn)置矩陣、逆矩陣的性質(zhì)要記住 3．以下結(jié)論或等式正確的是（ ）． 正確答案：C

29、A．若均為零矩陣，則有 B．若，且，則 C．對角矩陣是對稱矩陣 D．若，則 4．設(shè)是可逆矩陣，且，則（　 ）. 正確答案：C 　　A. 　　 　B. 　　 C. 　　D. 注意：因為A(I+B)=I,所以I+B 5．設(shè)，，是單位矩陣，則＝（ ）． 正確答案：D A． B． C． D． 6．設(shè)，則r(A) =（ ）．正確答案：C A．4 B．3 C．2 D．1 7．設(shè)線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為

30、，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ ）正確答案：A A．1 B．2 C．3 D．4 8．線性方程組 解的情況是（ ?。_答案：A A. 無解　　 　B. 只有0解　 C. 有唯一解　 　 D. 有無窮多解 9．設(shè)線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（ ）． 正確答案：D A． B． C． D． 10. 設(shè)線性方程組有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組（ ）． A．無解 B．有非零解 C．

31、只有零解 D．解不能確定 正確答案：C 二、填空題 1．若矩陣A = ，B = ，則ATB= ．應(yīng)該填寫： 2．設(shè)均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是 . 應(yīng)該填寫：是可交換矩陣 3．設(shè)，當(dāng)　　 　　 時，是對稱矩陣. 應(yīng)該填寫：0 4．設(shè)均為階矩陣，且可逆，則矩陣的解X= ． 應(yīng)該填寫： 5．若線性方程組有非零解，則 ．應(yīng)該填寫：-1 6．設(shè)齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于 ．應(yīng)該填寫：n – r 7．齊次線性方

32、程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 . 應(yīng)該填寫： (其中是自由未知量) 三、計算題（以下的各題要熟練掌握！這是考試的15分類型題） 1．設(shè)矩陣A =，求逆矩陣． 解： 因為 (A I )= 所以 A-1= 注意：本題也可改成如下的形式考： 例如 ：解矩陣方程AX=B,其中 ，，答案： 又如：已知，，求 2．設(shè)矩陣A =，求逆矩陣． 解： 因為 ， 且 所以 3．設(shè)矩陣 A =，B =，計算(BA)-1． 解： 因為BA== (BA

33、 I )= 所以 (BA)-1= 4．設(shè)矩陣，求解矩陣方程． 解：因為， 即 所以X === 5．求線性方程組的一般解． 解： 因為 所以一般解為 （其中，是自由未知量） 6．求線性方程組的一般解． 所以一般解為 （其中是自由未知量） 7．設(shè)齊次線性方程組，問l取何值時方程組有非零解，并求一般解. 解： 因為系數(shù)矩陣A = 所以當(dāng)l = 5時，方程組有非零解. 且一般解為 （其中是自由未知量） 8．當(dāng)取何值時

34、，線性方程組 有解？并求一般解. 解： 因為增廣矩陣 所以當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解 且一般解為 是自由未知量〕 這類題也有如下的考法：當(dāng)為何值時，線性方程組 有解，并求一般解。 9．為何值時，方程組 有唯一解，無窮多解，無解？ 當(dāng)且時，方程組無解； 當(dāng)，時方程組有唯一解； 當(dāng)且時，方程組有無窮多解。 本復(fù)習(xí)文本的計算題務(wù)必要動手做做才能掌握，對同學(xué)們而言，這是成敗的關(guān)鍵！努力復(fù)習(xí)吧，勝利在向你招手！ the goal of comprehensive transportation hub in Yibin city. City track traffic of planning and construction, conducive to city track traffic and regional city inter track traffic, and highway passenger hub and railway hub of integration convergence, while using21