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1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 第2章 導(dǎo)數(shù)與微分 2.1 極限概念 研究函數(shù)是利用極限的方法來進(jìn)行；極限是一個(gè)變量在變化過程中的變化趨勢(shì). 例1 圓的周長的求法.早在公元263年，古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形……等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數(shù)的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長. 例2 討論當(dāng)時(shí)，的變化趨勢(shì). 例3 討論一個(gè)定長的棒，每天截去一半，隨著天數(shù)的增加，棒長的變化趨勢(shì)。 “一尺之棰，日截其半，萬世不竭”——莊子?天下 定義2.3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域（點(diǎn)可以除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)無限趨于（但）時(shí)，無限趨近于某個(gè)常數(shù)，則稱趨

2、于時(shí)，以為極限，記為 或 若自變量趨于時(shí)，函數(shù)沒有一個(gè)固定的變化趨勢(shì)，則稱函數(shù)在處沒有極限. 在理解極限定義時(shí)要注意兩個(gè)細(xì)節(jié)： 1.時(shí)，（） 2.（包括這兩種情況） 例1 討論時(shí), =？ 解：求極限時(shí)，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數(shù)的極限.由幾何圖形可以看出，當(dāng)時(shí)，，即=4 例2討論函數(shù),當(dāng)時(shí)的極限 解：此函數(shù)在處沒有定義，可以借助圖形求極限.由 圖形得到 2.1.3 左極限和右極限 考慮函數(shù)，依照極限的定義，不能考慮的極限. 因?yàn)樵谔師o定義. 又如函數(shù)，如果討論是的極限，則函數(shù)分別在和時(shí)不是同一個(gè)表達(dá)式，必須分別考慮.由此引出左

3、右極限的概念. 定義2.4 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域（點(diǎn)可以除外）內(nèi)有定義， 如果當(dāng)且x無限于（即x從的左側(cè)趨于，記為）時(shí)，函數(shù)無限地趨近于常數(shù)L，則稱當(dāng)x趨于時(shí)，以L為左極限，記作　= L； 如果當(dāng)且x無限趨于（即x從的右側(cè)趨于，記為）時(shí)，函數(shù)無限地趨近于常數(shù)R，則稱當(dāng)x趨于時(shí)，以R為右極限，記作= R . 極限存在的充分必要條件： 極限存在的充分必要條件是：函數(shù)在處的左，右極限都存在且相等.即 例3 , 求 解：注意到此函數(shù)當(dāng)x=0的兩側(cè)表達(dá)式是不同，在0點(diǎn)處分別求左、右極限. ， 可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見,由極限的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處有極限存在需在該點(diǎn)處

4、的左右端同趨于某個(gè)常數(shù)，因此此函數(shù)在0點(diǎn)處極限不存在. 2.1.4 無窮小量 稱當(dāng)時(shí)，為無窮小量，簡稱無窮小. 補(bǔ)充內(nèi)容： 無窮小量是一個(gè)特殊的變量，它與有極限變量的關(guān)系是： 變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個(gè)無窮小量的和，即 無窮小量的有以下性質(zhì)： 性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小量的和是無窮小量； 性質(zhì)2 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量； 性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量. 無窮大量：在某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值無限增大且可以大于任意給定的正實(shí)數(shù)的變量稱為無窮大量. 例如 因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數(shù)關(guān)系”： 定理

5、：當(dāng)（或）時(shí)，若是無窮?。ǘ?，則是無窮大；反之，若是無窮大，則是無窮小. 例4，當(dāng)時(shí)， 解： 由圖形可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是無窮小量. 2.2 極限的運(yùn)算 2.2.1 極限的四則運(yùn)算法則 在某個(gè)變化過程中，變量分別以為極限，則 ， 例1 求 解： 例2 求 解： 例3 求 解： 例4 求 解： 2.2.2 兩個(gè)重要極限 1. 幾何說明： 如圖，設(shè)為單位圓的圓心角，則對(duì)應(yīng)的小三角形的面積為，對(duì)應(yīng)的扇形的面積為，對(duì)應(yīng)的大三角形的面積為當(dāng)時(shí)，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的. 例1 解：= 2. 例2 求極限 解: 例3

6、求極限 解 2.3 函數(shù)的連續(xù)性 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若滿足，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn). 函數(shù)間斷、間斷點(diǎn)的概念 如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱在點(diǎn)處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點(diǎn)，稱為的間斷點(diǎn) 例如 函數(shù)，， 在定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 例1 ,問在處是否連續(xù)？ 注意：此函數(shù)是分段函數(shù)，是函數(shù)的分段點(diǎn). 解: ， 不存在，在處是間斷的. 例2 ,問在處是否連續(xù)？ 解: （無窮小量有界變量=無窮小量）在處是連續(xù)的. 結(jié)論:（1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的； （2）連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算在其有定義處連續(xù)； （3）初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是

7、連續(xù)的. 例3 解: 注意： 是初等函數(shù)，在處有定義，利用 結(jié)論有極限值等于函數(shù)值. 2.4 導(dǎo)數(shù)與微分的概念 本節(jié)的主要內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)與微分的概念. 三個(gè)引例 邊際成本問題 瞬時(shí)速率問題 曲線切線問題 引例1： 邊際成本問題 C—總成本，—總產(chǎn)量 已知 （當(dāng)自變量產(chǎn)生改變量，相應(yīng)的函數(shù)也產(chǎn)生改變量） ），（成本平均變化率），（邊際成本） 引例2: 瞬時(shí)速率問題 路程是時(shí)間的函數(shù)，當(dāng)從時(shí)，從 （平均速率） （在時(shí)刻的瞬時(shí)速率） 引例3：曲線切線問題 考慮曲線在處的切線斜率. 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，曲線上和兩點(diǎn)間割線的斜率為 （當(dāng)時(shí)），稱為切線的斜率

8、. 關(guān)于函數(shù) ，，考慮極限 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得改變量時(shí)，函數(shù)取得相應(yīng)的改變量. 若當(dāng)時(shí)，兩個(gè)改變量之比的極限 存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為 在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為或或或 即 = 若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處不可導(dǎo). 在理解導(dǎo)數(shù)定義時(shí)要注意：導(dǎo)數(shù)也是逐點(diǎn)討論的. 導(dǎo)數(shù)定義的意義 數(shù)量意義 變化率 經(jīng)濟(jì)意義 邊際成本 幾何意義 切線的斜率 例1 ，求 思路：先求，再求. 解：因?yàn)? 所以， 例2 ，求 解: 因?yàn)? 所以 導(dǎo)數(shù)公式 求導(dǎo)步驟 1、求； 2、求. 注意：是的導(dǎo)函數(shù)，

9、函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值 微分的概念 設(shè)，導(dǎo)數(shù)，兩邊同乘，得到函數(shù)的微分. 微分 導(dǎo)數(shù)公式 微分公式 由導(dǎo)數(shù)公式可以得到微分公式 2.5 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 導(dǎo)數(shù)的加法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且 （為常數(shù)） 加法公式證明 證：設(shè)，則 ， 由已知條件，均可導(dǎo). 導(dǎo)數(shù)的乘法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且 導(dǎo)數(shù)除法法則 設(shè)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處可導(dǎo)亦可導(dǎo)，且 （） 例1 設(shè)函數(shù)，求 析：現(xiàn)在分別知道冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，利用上述法則可求它們組合后函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

10、 解： （利用加法法則） =（利用導(dǎo)數(shù)公式） 例2 設(shè)，求. 解： （提示 ） 例3 設(shè)，求. 解：（提示） 例4 ， 解：因?yàn)椋ㄓ蓪?duì)數(shù)的性質(zhì)：） 所以 （其中常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0） 例5 設(shè)，求. 解：利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則，（利用導(dǎo)數(shù)公式） 例6 ，求. 解：<方法1>由導(dǎo)數(shù)基本公式 <方法2> 利用導(dǎo)數(shù)的乘法法則 說明無論用哪種方法其結(jié)果是唯一的. 例7 ，求. 解：<方法1> 將函數(shù)看成，利用乘法法則求導(dǎo). <方法2> 利用導(dǎo)數(shù)的除法法則求導(dǎo) 其中.兩個(gè)結(jié)果是完全一樣的. 例8 求 解： （利用三角公式）同理可求. 2.5

11、.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 問題：，求 ，則 解：第一個(gè)問題，求導(dǎo)數(shù)沒有直接公式可用. 方法1：將函數(shù)展開 利用加法法則有 方法2：將函數(shù)寫成兩個(gè)因式乘積的形式 ，利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù). 第二個(gè)問題，展開？共101項(xiàng)，求導(dǎo)很麻煩. 寫成因式乘積的形式，求導(dǎo)也將很麻煩. 在這節(jié)課我們將介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則. 討論，引進(jìn)中間變量 2.5.2 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 定理 設(shè)y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在點(diǎn)u=j(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(j(x))在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且 或 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟 分清函數(shù)的復(fù)合層次，找出所有的中間變

12、量； 依照法則，由外向內(nèi)一層層的直至對(duì)自變量求導(dǎo). 多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 對(duì)于多層復(fù)合的函數(shù)，即 若，則 或 注意：多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)仍是經(jīng)過一切中間變量直至對(duì)自變量求導(dǎo). 問題: 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 解：先將從方程中解出來，得到和 分別求導(dǎo)和 將和分別代入，得 （1） 由（1）解得: （2） 在（2）中隱含 隱函數(shù)求導(dǎo)方法步驟 方程兩邊求導(dǎo)，； 整理方程，求出. 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 （1），求 解：方法一: 由 .這是用導(dǎo)數(shù)的乘法法則. 方法二: 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè) （其結(jié)果是完全一樣的) （2），求 解：利

13、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè) . （3），求. 解：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，設(shè) , 例2設(shè)，求 解：先求一般點(diǎn)上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再將代入求得結(jié)果. 設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則， , 例3設(shè)函數(shù)，求. 解：（首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行分解，找出所有中間變量） , 例4 求函數(shù)，求. 解： 例5 設(shè)函數(shù)，求. 解: [] 例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，此時(shí)是中間變量. ,解出（與前面的結(jié)果相同）. 例7求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 解：方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)，此時(shí)是中間變量. ,解得 注意：在隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)果中常常含有. 例8 求雙曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率. 分析：此題是求隱函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 解：因?yàn)?所以,且在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率 2.6 高階導(dǎo)數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù) 例1： 一般地，，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)記為 例1 求函數(shù)的二、三階導(dǎo)數(shù). 解： ，， 例2 求的二階導(dǎo)數(shù) 至導(dǎo)數(shù). 解： ，， …