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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導(dǎo)講座 第三十講 從創(chuàng)新構(gòu)造入手 有些數(shù)學問題直接求解比較困難，可通過創(chuàng)造性構(gòu)造轉(zhuǎn)化問題而使問題獲解． 所謂構(gòu)造法，就是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題的條件和結(jié)論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚恚畼?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學模式，揭示問題的本質(zhì)，從而溝通解題思路的方法．構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對問題結(jié)構(gòu)特點的深刻認識基礎(chǔ)上的． 構(gòu)造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結(jié)論為“方向”，構(gòu)造一種新的數(shù)學形式，初中階段常用的構(gòu)造解題的基本方法有： 1．構(gòu)造方程； 2．構(gòu)造函數(shù)； 3．構(gòu)造圖形； 4．對于存在性問題，構(gòu)造實例； 5．對于錯誤的命題，構(gòu)造反例； 6．構(gòu)造等價命題等． 【例題求解】 【例1】 設(shè)、、、都為實數(shù)，，滿足，求證：． 思路點撥 可以從展開已知等式、按比例性質(zhì)變形已知等式等角度嘗試．仔細觀察已知等式特點，、可看作方程的兩根，則，通過構(gòu)造方程揭示題設(shè)條件與結(jié)論的內(nèi)在規(guī)律，解題思路新穎而深刻． 注：一般說來，構(gòu)造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型；利用具體問題的特殊性，給所解決的問題設(shè)計一個框架，強調(diào)數(shù)學應(yīng)用的數(shù)學建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數(shù)、圖形、“抽屜”等． 【例2】 求代數(shù)式的最小值． 思路點撥 用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值． ，于是問題轉(zhuǎn)化為：在 軸上求一點C(1，0)，使它到兩點A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)最小，利用對稱性可求出C點坐標．這樣，通過構(gòu)造圖形而使問題獲解． 【例3】 已知、為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0，求和的值． 思路點撥 利用求根公式，解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難．由于二次函數(shù)與二次方程有深刻的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，令，從討論拋物線與軸交點在與0之間所滿足的約束條件入手． 【例4】 如圖，在矩形ABCD中，AD=，AB=，問：能否在Ab邊上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成三個彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點有幾個?若不能找到，請說明理由． 思路點撥 假設(shè)在AB邊上存在點E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又設(shè)AE=，則，即，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程是否有實根，在一定條件下有幾個實根的研究，通過構(gòu)造方程解決問題． 【例5】 試證：世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識． 思路點撥 構(gòu)造圖形解題，我們把“人”看作“點”，把2個人之間的關(guān)系看作染成顏色的線段．比如2個人彼此認識就把連接2個人的對應(yīng)點的線段染成紅色；2個人彼此不認識，就把相應(yīng)的線段染成藍色，這樣，有3個人彼此認識就是存在一個3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個3邊都是藍色的三角形，這樣本題就化作： 已知有6個點，任何3點不共線，每2點之間用線段連結(jié)起來，并染上紅色或藍色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形． 注：“數(shù)缺形時少直觀，形缺少時難入微”數(shù)形互助是一種重要的思想方法，主要體現(xiàn)在： (1)幾何問題代數(shù)化； (2)利用圖形圖表解代數(shù)問題； (3)構(gòu)造函數(shù)，借用函數(shù)圖象探討方程的解． 利用代數(shù)法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關(guān)的幾何量，根據(jù)幾何圖形性質(zhì)列出代數(shù)式或方程(組)，再進行計算或證明． 特別地，證明幾何存在性的問題可構(gòu)造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數(shù)模型求證；應(yīng)用為韋達定理，討論幾何圖形位置的可能性． 有些問題可通過改變形式或換個說法，構(gòu)造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握． 對于存在性問題，可根據(jù)問題要求構(gòu)造出一個滿足條件的結(jié)論對象，即所謂的存在性問題的“構(gòu)造性證明”． 學歷訓(xùn)練 1．若關(guān)于的方程的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ． 2．已知、、、是四個不同的有理數(shù)，且，，那么的值是 ． 3．代數(shù)式的最小值為 ． 4．A、B、C、D、E、F六個足球隊單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個隊已經(jīng)分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊比賽的球隊是 ． 5．若實數(shù)、滿足，且，則的取值范圍是 ． 6．設(shè)實數(shù)分別、分別滿足，，并且，求的值． 7．已知實數(shù)、、滿足，求證：． 8．寫出10個不同的自然數(shù)，使得它們中的每個是這10個數(shù)和的一個約數(shù)，并說明寫出的10個自然數(shù)符合題設(shè)條件的理由． 9．求所有的實數(shù)，使得 ． 10．若是不全為零且絕對值都小于106的整數(shù)．求證：． 11．已知關(guān)于的方程有四個不同的實根，求的取值范圍． 12．設(shè)0，求證． 13．從自然數(shù)l，2，3，…354中任取178個數(shù)，試證：其中必有兩個數(shù)，它們的差為177． 14．已知、、、、是滿足，的實數(shù)，試確定的最大值． 15．如圖，已知一等腰梯形，其底為和，高為． (1)在梯形的對稱軸上求作點P，使從點P看兩腰的視角為直角； (2)求點P到兩底邊的距離； (3)在什么條件下可作出P點? 參考答案