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【備戰(zhàn)】北京版高考數(shù)學(xué)分項匯編 專題14 推理與證明、新定義含解析理

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1、專題14 推理與證明、新定義 1. 【2006高考北京理第8題】下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型,在某高峰時段,單位時間進(jìn)出路口的機動車輛數(shù)如圖所示,圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(shù)(假設(shè):單位時間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等),則20,30;35,30;55,50 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】C 2. 【2009高考北京理第8題】點在直線上,若存在過的直線交拋物線于兩點,且,則稱點為“點”,那么下列結(jié)論中正確的是 ( ) A.直線上的所有點都是“點”

2、 B.直線上僅有有限個點是“點” C.直線上的所有點都不是“點” D.直線上有無窮多個點(點不是所有的點)是“點” 【答案】A 考點:創(chuàng)新題型. 3. 【2014高考北京理第8題】學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評為三個等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有( ) A.2人 B.3人

3、 C.4人 D.5人 【答案】B 考點:合情推理,中等題. 4. 【2005高考北京理第14題】已知n次式項式. 如果在一種算法中,計算的值需要k-1次乘法,計算P3(x0)的值共需要9次運算(6次乘法,3次加法),那么計算P10(x0)的值共需要 次運算. 下面給出一種減少運算次數(shù)的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1).利用該算法,計算P3(x0)的值共需要6次運算,計算P10(x0)的值共需要 次運算. 【答案】 考點

4、:信息題。 5. 【2007高考北京理第20題】(本小題共13分)已知集合,其中,由中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合:,.其中是有序數(shù)對,集合和中的元素個數(shù)分別為和.若對于任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì). (I)檢驗集合與是否具有性質(zhì)并對其中具有性質(zhì)的集合,寫出相應(yīng)的集合和; (II)對任何具有性質(zhì)的集合,證明:; (III)判斷和的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 6. 【2008高考北京理第20題】(本小題共13分) 對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列 . 對于每項均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列各項從大到小排列,然后去掉所有為零的項

5、,得到數(shù)列; 又定義. 設(shè)是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令. (Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列; (Ⅱ)對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明; (Ⅲ)證明:對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù),當(dāng)時,. 7. 【2010高考北京理第20題】(13分)已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}(n≥2).對于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義A與B的差為A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|);A與B之間的距離為d(A,B)= (1)證明:A,B,C

6、∈Sn,有A-B∈Sn,且d(A-C,B-C)=d(A,B); (2)證明:A,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù); (3)設(shè)PSn,P中有m(m≥2)個元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為 (P),證明:. 8. 【2011高考北京理第20題】若數(shù)列:,,…,滿足(,2,…,),則稱為E數(shù)列。記.(1)寫出一個滿足,且的E數(shù)列;(2)若,,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是;(3)對任意給定的整數(shù),是否存在首項為0的E數(shù)列,使得?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由。 9. 【2012高考北京

7、理第20題】(本小題共13分) 設(shè)是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表,滿足:每個數(shù)的絕對值不大于,且所有數(shù)的和為零. 記為所有這樣的數(shù)表組成的集合. 對于,記為的第行各數(shù)之和(),為的第列各數(shù)之和();記為,,…,,,,…,中的最小值. (1)對如下數(shù)表,求的值; (2)設(shè)數(shù)表形如 求的最大值; (3)給定正整數(shù),對于所有的,求的最大值. 10. 【2014高考北京理第20題】(本小

8、題滿分13分) 對于數(shù)對序列,記,,其中表示和兩個數(shù)中最大的數(shù). (1)對于數(shù)對序列,求的值; (2)記為,,,四個數(shù)中最小的數(shù),對于由兩個數(shù)對組成的數(shù)對序列和,試分別對和兩種情況比較和的大??; (3)在由五個數(shù)對組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個數(shù)對序列使最小,并寫出的值.(只需寫出結(jié)論). 考點:新定義題型. 11. 【2015高考北京,理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是( ) A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛

9、相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多 C.甲車以80千米/小時的速度行駛1小時,消耗10升汽油 D.某城市機動車最高限速80千米/小時. 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油 【答案】D 考點:本題考點定位為函數(shù)應(yīng)用問題,考查學(xué)生對新定義“燃油效率”的理解和對函數(shù)圖象的理解. 12. 【2015高考北京,理20】已知數(shù)列滿足:,,且. 記集合. (Ⅰ)若,寫出集合的所有元素; (Ⅱ)若集合存在一個元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù); (Ⅲ)求集合的元素個數(shù)的最大值. 【答案】(1),(2)證明見解析,(3)8 考點定位:1.分段函數(shù)形數(shù)列通項公式求值;2.歸納法證明;3.數(shù)列元素分析.

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