2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算（第一課時） 本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)．進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪． 教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題．前一個問題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值．后一個問題讓學(xué)生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學(xué)生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學(xué)習(xí)作了鋪墊． 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值． 1.教學(xué)重點：n次方根概念及性質(zhì)、根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化與有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)． 2.教學(xué)難點：根式概念、n次方根的性質(zhì)、分數(shù)指數(shù)冪概念的理解及有理指數(shù)冪的運算． （1） 復(fù)習(xí)引入 什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？ 歸納：在初中的時候我們已經(jīng)知道：若，則叫做a的平方根.同理，若，則叫做a的立方根. 根據(jù)平方根、立方根的定義，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如4的平方根為，負數(shù)沒有平方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如―8的立方根為―2；零的平方根、立方根均為零. （二）形成概念 零的n次方根為零，記為 舉例：16的次方根為， 等等，而的4次方根不存在. 小結(jié)：一個數(shù)到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數(shù)到底是正數(shù)還是負數(shù)，還要分清n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況. 根據(jù)n次方根的意義，可得： 肯定成立，表示an的n次方根，等式一定成立嗎？如果不一定成立，那么等于什么？ 讓學(xué)生注意討論，n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學(xué)生分組討論. 通過探究得到：n為奇數(shù)， n為偶數(shù), 如 小結(jié)：當(dāng)n為偶數(shù)時，化簡得到結(jié)果先取絕對值，再在絕對值算具體的值，這樣就避免出現(xiàn)錯誤. 例1：求下列各式的值 【分析】：當(dāng)n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫，然后再去絕對值. 2.觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：＞0 ① ② ③ ④ 小結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式，（分數(shù)指數(shù)冪形式）. 根式的被開方數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式是否也可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.如： 即：義為： 正數(shù)的定負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)冪的意義相同. 即： 規(guī)定：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義. 說明：規(guī)定好分數(shù)指數(shù)冪后，根式與分數(shù)指數(shù)冪是可以互換的，分數(shù)指數(shù)冪只是根式的一種新的寫法，而不是 由于整數(shù)指數(shù)冪，分數(shù)指數(shù)冪都有意義，因此，有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即： 若＞0，P是一個無理數(shù)，則P該如何理解？為了解決這個問題，引導(dǎo)學(xué)生先閱讀課本P57——P58. 即：的不足近似值，從由小于的方向逼近，的過剩近似值從大于的方向逼近. 所以，當(dāng)不足近似值從小于的方向逼近時，的近似值從小于的方向逼近. 當(dāng)?shù)倪^剩似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近，(如課本圖所示) 所以，是一個確定的實數(shù). 一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪 是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.無理指數(shù)冪的意義，是用有理指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值無限地逼近以確定大小. 思考： 的含義是什么？ 由以上分析，可知道，有理數(shù)指數(shù)冪，無理數(shù)指數(shù)冪有意義，且它們運算性質(zhì)相同，實數(shù)指數(shù)冪有意義，也有相同的運算性質(zhì)，即： 例2（P56，例2）求值 ；；；. 例3（P56，例3）用分數(shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（＞0） ；；. 分析：先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由運算性質(zhì)來運算. 解：； ； . 例4.計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）： ⑴ ；⑵ . 解：⑴原式=[2(-6)(-3)]； ⑵原式= 說明：該例是運用分數(shù)指數(shù)冪的定義和運算性質(zhì)進行計算的題，第⑴小題是仿照單項式乘除法進行的，首先將系數(shù)相乘除，然后將同底數(shù)的冪相乘除；第⑵小題是先按積的乘方計算，再按冪的乘方計算，在計算過程中要特別注意符號. 同學(xué)們在下面做題中，剛開始時，要嚴格按照象例題一樣的解題步驟進行，待熟練以后再簡化計算步驟. 例5. 計算下列各式： （1） ；（2）(a>0). 說明：本例是利用分數(shù)指數(shù)冪來進行根式計算，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算性質(zhì)進行計算；對于計算結(jié)果，若沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示，若有特殊要求，可根據(jù)要求給出結(jié)果，但結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù) （三）達標檢測 1．下列運算結(jié)果中，正確的是( ) A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6 【解析】 a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1；(－a2)3＝－a6，故選A. 【答案】 A 2．下列各式中成立的一項是( ) A.7＝n7m B.＝ C.＝(x＋y) D.＝ 【解析】 A中應(yīng)為7＝n7m－7；B中等式左側(cè)為正數(shù)，右側(cè)為負數(shù)；C中x＝y(tǒng)＝1時不成立；D正確． 【答案】 D 3.(a>0)的值是( ) A． 1 B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn) 【解析】 原式＝a3a－a－＝a3－－＝a. 【答案】 D 4．計算：0.25－4－420－－＝________. 【答案】 －4