2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（第二課時(shí)） 本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)．進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪． 教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：GDP的增長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題．前一個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值．后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊． 本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值． 1.教學(xué)重點(diǎn)：n次方根概念及性質(zhì)、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化與有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)． 2.教學(xué)難點(diǎn)：根式概念、n次方根的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解及有理指數(shù)冪的運(yùn)算． 1． 知識(shí)梳理 1. n為奇數(shù)， n為偶數(shù), 2. 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：。 負(fù)分指數(shù)冪的意義： 2、 題型探究 類型一 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化 命題角度1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化根式 例1 用根式的形式表示下列各式(x>0)． (1)(2) 考點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 解 (1)＝. (2)＝. 反思與感悟 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與計(jì)算中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便．而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，要切實(shí)掌握． 命題角度2 根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 例2 把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其中a>0，b>0. (1)；(2)；(3)；(4). 考點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 反思與感悟 指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)后，當(dāng)a≤0時(shí)，有時(shí)有意義，有時(shí)無(wú)意義．如＝＝－1，但就不是實(shí)數(shù)了．為了保證在取任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有意義，所以規(guī)定a>0.當(dāng)被開方數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí)，冪指數(shù)不能隨意約分． 類型二 運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值 例3 計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))． 考點(diǎn) 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 題點(diǎn) 有理數(shù)指數(shù)冪的四則混合運(yùn)算 解 (1) ＝()2＋ －＝0.09＋－＝0.09. 類型三 運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式解方程 例4 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值． 考點(diǎn) 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 題點(diǎn) 附加條件的冪的求值 反思與感悟 指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)乃至實(shí)數(shù)，給運(yùn)算帶來(lái)了方便，我們可以借助指數(shù)運(yùn)算法則輕松對(duì)指數(shù)進(jìn)行變形，以達(dá)到我們代入、消元等目的． 3、 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1．化簡(jiǎn)的值為( ) A．2 B．4 C．6 D．8 考點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 答案 B 2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示(a>b)為( ) A． B． C． D． 考點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 答案 C 3．以下說(shuō)法中正確的是(以下n>1且n∈N＋)( ) A．正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù) B．負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù) C．任何數(shù)的n次方根都是正數(shù) D．a(chǎn)的n次方根用表示 答案 A 4．()4等于( ) A．a(chǎn)16 B．a(chǎn)8 C．a(chǎn)4 D．a(chǎn)2 5．計(jì)算的結(jié)果是( ) A．32 B．16 C．64 D．128 考點(diǎn) 利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值 題點(diǎn) 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的乘除運(yùn)算 答案 B 4、 小結(jié) 1．指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是：有括號(hào)先算括號(hào)里面的；無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算，負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 2．指數(shù)冪的運(yùn)算原則是：一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過(guò)程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解．