1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性（第一課時(shí)） 本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》人教A版必修1第一章第三節(jié)函數(shù)的基本性質(zhì)的第1課時(shí)《函數(shù)的單調(diào)性》. 函數(shù)的單調(diào)性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象局部變化趨勢(shì),是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì).學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，在此基礎(chǔ)上學(xué)生對(duì)增減性有一個(gè)初步的感性認(rèn)識(shí)，但是缺少嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述，所以本節(jié)課是學(xué)生數(shù)學(xué)思想的一次重要提高。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)概念的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，對(duì)進(jìn)一步探索、研究函數(shù)的其他性質(zhì)有著示范性的作用，對(duì)解決各種數(shù)學(xué)問題有著廣泛作用。此外在比較數(shù)的大小、導(dǎo)數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)綜合問題中也有廣泛的應(yīng)用，它是整個(gè)高中數(shù)學(xué)中起著承上啟下作用的核心知識(shí)之一. 1.教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念；判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。 2.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的符號(hào)語言的認(rèn)知；應(yīng)用定義證明單調(diào)性的代數(shù)推理論證。 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 （閱讀教材，人教版節(jié)首內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生看圖）結(jié)合上下樓的問題，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考。 觀察圖中的函數(shù)圖象，隨著函數(shù)自變量的增大（減?。隳艿玫绞裁葱畔?？ 二、歸納探索，形成概念 我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí)，了解了函數(shù)的定義域及值域，本節(jié)內(nèi)容其實(shí)就是針對(duì)自變量與函數(shù)值之間的變化關(guān)系進(jìn)行的專題研究之一──函數(shù)單調(diào)性的研究。 1.借助圖象，直觀感知 首先，我們來研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性。 師：在沒有學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義之前，函數(shù)的單調(diào)性可以理解為， 師：根據(jù)圖象，請(qǐng)同學(xué)們寫出你對(duì)這兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性的描述。 生：（獨(dú)立完成，小組內(nèi)互相檢查，然后閱讀教材，對(duì)比參照）。 2.抽象思維，形成概念 函數(shù)的性質(zhì)離不開函數(shù)的定義域，在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)，我們也必須充分考慮到這一點(diǎn)， 在函數(shù)的定義區(qū)間上描述隨著自變量值的變化，函數(shù)值的變化情況。 師：思考，如何利用函數(shù)解析式來描述函數(shù)隨著自變量值的變化，函數(shù)值的變化情況？（注意函數(shù)的定義區(qū)間） 生：在上，隨著自變量值的增大，函數(shù)值逐漸減??；在上，隨著自變量值的增大，函數(shù)值逐漸增大。 師：如果給出函數(shù)，你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述出函數(shù)單調(diào)性的定義嗎? 生：（師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋? ①如果對(duì)于定義域上某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； ②如果對(duì)于定義域上某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。 練習(xí)： 定義：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就是說函數(shù)在這個(gè)區(qū)間具有嚴(yán)格的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 探究. 畫出反比例函數(shù)的圖象。 1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？ 2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論。 三、典型例題 例1.下圖是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 解 y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在區(qū)間[－5，－2)，[1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[－2,1)，[3,5]上是增函數(shù)． 例2.物理學(xué)中的玻意耳定律（為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積減小時(shí)，壓強(qiáng)將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。 師：在解決完成這個(gè)例題后，根據(jù)解題步驟歸納總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般性算法步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號(hào)、定論。 3、 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1．下列函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上不是增函數(shù)的是( ) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 【解析】 函數(shù)y＝3－x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)． 【答案】 C 2．函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是( ) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 【答案】 B 3．若x1，x2∈(－∞， 0)，且x1<x2，函數(shù)f(x)＝－，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是( ) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)<f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．以上都有可能 【解析】 ∵函數(shù)f(x)＝－在(－∞，0)上是增函數(shù)，又∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)． 【答案】 B 4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋2是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】 易知函數(shù)f(x)＝ax＋2是一次函數(shù)，又因?yàn)樗菧p函數(shù)，所以a<0. 【答案】 (－∞，0) 5．證明函數(shù)f(x)＝x＋在(－1,0)上是減函數(shù)． 在有限的課堂時(shí)間，使學(xué)生掌握利用數(shù)形結(jié)合的思想方法準(zhǔn)確理解函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念，加深對(duì)基本概念的認(rèn)識(shí)。首先，展示一個(gè)學(xué)生都熟悉無比的情境，在這個(gè)情境中讓學(xué)生直觀地理解上升（遞增）或下降（遞減）的現(xiàn)象，然后針對(duì)課本所給的三個(gè)圖象，結(jié)合情境中的直觀現(xiàn)象，讓學(xué)生描述這三個(gè)函數(shù)圖象的特征。學(xué)生在描述函數(shù)圖象特征（上升或下降）的時(shí)候較為順利，但總覺得有錯(cuò)誤，可又說不清理由。此時(shí)，教師指出：在敘述函數(shù)圖像特征時(shí)要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，即觀察的順序應(yīng)沿x軸正方向，自變量從左向右變化時(shí)，函數(shù)值（圖像）的變化趨勢(shì)，這樣即可得到正確答案。學(xué)生在理解錯(cuò)誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函數(shù)的單調(diào)性這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。在直觀上承認(rèn)這一性質(zhì)以后，由學(xué)生按學(xué)習(xí)小組，仿照剛才的分析去研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性。繼而提出：圖象特征如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言？經(jīng)過學(xué)生探究思考，教師啟發(fā)，學(xué)生歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性的定義。結(jié)合圖像，學(xué)生通過自主合作探索，自己給出了函數(shù)單調(diào)性的定義。然后讓學(xué)生打開書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，并提示注意書本敘述的精確用語。本課學(xué)生印象深刻，理解深入，合作探究激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力與自信心。