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考點測試6 函數的單調性
一、基礎小題
1．若函數f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的減函數，則實數a的取值范圍為( )
A．，＋∞ B．－∞，
C．，＋∞ D．－∞，
答案 D
解析 當2a－1<0，即a<時，該函數是R上的減函數．故選D．
2．下列函數中，在(0，＋∞)上單調遞減的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln (x＋1)
答案 A
解析 f(x)＝(x－1)2在(0，＋∞)上不單調，f(x)＝ex與f(x)＝ln (x＋1)在(0，＋∞)上單調遞增，故選A．
3．下列四個函數中，在定義域內不是單調函數的是( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝
C．y＝lg x D．y＝x3
答案 B
解析 y＝－2x＋1在定義域內為單調遞減函數；y＝lg x在定義域內為單調遞增函數；y＝x3在定義域內為單調遞增函數；y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上皆為單調遞減函數，但在定義域內不是單調函數．故選B．
4．已知函數y＝f(x)在R上單調遞增，且f(m2＋1)>f(－m＋1)，則實數m的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1，0) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案 D
解析 由題得m2＋1>－m＋1，故m2＋m>0，解得m<－1或m>0．故選D．
5．函數y＝log(2x2－3x＋1)的遞減區(qū)間為( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
答案 A
解析 由2x2－3x＋1>0，
得函數的定義域為∪(1，＋∞)．
令t＝2x2－3x＋1，則y＝logt．
∵t＝2x2－3x＋1＝22－，
∴t＝2x2－3x＋1的單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)．
又y＝logt在(0，＋∞)上是減函數，
∴函數y＝log(2x2－3x＋1)的單調遞減區(qū)間為(1，＋∞)．故選A．
6．定義在R上的函數f(x)對任意兩個不相等的實數a，b，總有>0成立，則必有( )
A．函數f(x)先增加后減少
B．函數f(x)先減少后增加
C．f(x)在R上是增函數
D．f(x)在R上是減函數
答案 C
解析 因為>0，所以，當a>b時，f(a)>f(b)，當a
f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．無法確定
答案 D
解析 因為f(x)＝在(－2，－1)和(1，2)上都是增函數，f(－1．5)>f(1．5)；f(x)＝2x在R上是增函數，f(－1．5)0時，g(x)在[1，2]上是減函數，則a的取值范圍是00，則a的取值范圍是________．
答案
解析 由f(x)＝＝a＋，且y＝f(x)在(－2，＋∞)是增函數，得1－2a<0，即a>．
二、高考小題
13．(2017全國卷Ⅱ)函數f(x)＝ln (x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案 D
解析 由x2－2x－8>0可得x>4或x<－2，
所以x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，
令u＝x2－2x－8，
則其在x∈(－∞，－2)上單調遞減，
在x∈(4，＋∞)上單調遞增．
又因為y＝ln u在u∈(0，＋∞)上單調遞增，
所以y＝ln (x2－2x－8)在x∈(4，＋∞)上單調遞增．故選D．
14．(2017北京高考)已知函數f(x)＝3x－x，則f(x)( )
A．是奇函數，且在R上是增函數
B．是偶函數，且在R上是增函數
C．是奇函數，且在R上是減函數
D．是偶函數，且在R上是減函數
答案 A
解析 ∵函數f(x)的定義域為R，
f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，
∴函數f(x)是奇函數．
∵函數y＝x在R上是減函數，
∴函數y＝－x在R上是增函數．
又∵y＝3x在R上是增函數，
∴函數f(x)＝3x－x在R上是增函數．故選A．
15．(2016北京高考)下列函數中，在區(qū)間(－1，1)上為減函數的是( )
A．y＝ B．y＝cosx
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
答案 D
解析 選項A中，y＝＝的圖象是將y＝－的圖象向右平移1個單位得到的，故y＝在(－1，1)上為增函數，不符合題意；選項B中，y＝cosx在(－1，0)上為增函數，在(0，1)上為減函數，不符合題意；選項C中，y＝ln (x＋1)的圖象是將y＝ln x的圖象向左平移1個單位得到的，故y＝ln (x＋1)在(－1，1)上為增函數，不符合題意；選項D符合題意．
16．(2015湖南高考改編)設函數f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，則f(x)是( )
A．在(－1，1)上是增函數
B．在(－1，1)上是減函數
C．在(－1，0)上是減函數，在(0，1)上是增函數
D．在(－1，0)上是增函數，在(0，1)上是減函數
答案 A
解析 由f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，
得f(x)＝ln ＝ln ．
∵t＝－1在(－1，1)上單調遞增，y＝ln t在(0，＋∞)上單調遞增，∴y＝f(x)在(－1，1)上單調遞增．
17．(2015湖北高考)已知符號函數sgnx＝
f(x)是R上的增函數，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則( )
A．sgn[g(x)]＝sgnx
B．sgn[g(x)]＝－sgnx
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
答案 B
解析 ∵f(x)是R上的增函數，a>1，
∴當x>0時，xax，有f(x)>f(ax)，則g(x)>0．
∴sgn[g(x)]＝
∴sgn[g(x)]＝－sgnx．故選B．
18．(2016天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數，且在區(qū)間(－∞，0)上單調遞增．若實數a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________．
答案
解析 由題意知函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．因為f(2|a－1|)>f(－)，且f(－)＝f()，所以f(2|a－1|)>f()，所以2|a－1|<2，解之得0且a≠1)，若f(0)<0，則此函數的單調遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1，1) D．(－3，－1]
答案 C
解析 令g(x)＝－x2－2x＋3，由題意知g(x)>0，可得－30，即∴00．試判斷函數f(x)在[－1，1]上的單調性，并證明．
解 函數f(x)在[－1，1]上是增函數．
證明：任取x1，x2∈[－1，1]且x10，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)f(x2)成立，
即(x1－x2)>0，只要a<－2x1x2即可，
由x1，x2∈(0，1]，故－2x1x2∈(－2，0)，
所以a≤－2，故a的取值范圍是(－∞，－2]．
3．(2019陜西西安長安區(qū)大聯考)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數f(x)滿足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x>1時，f(x)>0．
(1)求f(1)的值；
(2)證明：f(x)為單調增函數；
(3)若f＝－1，求f(x)在，125上的最值．
解 (1)因為函數f(x)滿足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x2＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0．
(2)證明：設x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
則>1，∴f>0，
∴f(x1)－f(x2)＝fx2－f(x2)
＝f(x2)＋f－f(x2)＝f>0，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
(3)因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數．
若f＝－1，則f＋f＝f＝－2，
即f5＝f(1)＝f＋f(5)＝0，
即f(5)＝1，則f(5)＋f(5)＝f(25)＝2，
f(5)＋f(25)＝f(125)＝3，
即f(x)在，125上的最小值為－2，最大值為3．
4．(2018山西康杰中學月考)已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，試證f(x)在(－∞，－2)內單調遞增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)內單調遞減，求a的取值范圍．
解 (1)證明：設x10，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1．
綜上所述，00在(1，＋∞)內恒成立．
當a>1時，x＝a時，(x－a)2＝0不符合題意．
∴a≤1．
綜上所述0
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