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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理(平行班，含解析) 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1.用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)，，中至少有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為（ ） A.，，都是奇數(shù) B.，，都是偶數(shù) C.，，中至少有兩個偶數(shù) D.，，中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】D 【解析】 結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個偶數(shù)”的反面為恰有兩個偶數(shù)或恰有三個偶數(shù)或恰沒有偶數(shù),因此選D. 2.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則，逐一檢驗即可. 【詳解】由求導(dǎo)公式知sinx=cosx 故A錯誤，3x=3xln3，故C錯誤，1x=-1x2，故D錯誤，B選項正確，故選B. 【點睛】本題主要考查了常見函數(shù)的求導(dǎo)公式，屬于容易題. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+?+n+3=n+3n+42n∈N*時，第一步驗證n=1時，左邊應(yīng)取的項是（ ） A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)所給式子可知左邊為1+2+…+(1+3)，可知正確選項. 【詳解】當(dāng)n=1時，左邊應(yīng)為1+2+…+(1+3)，即1+2+3+4，故選D. 【點睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法及歸納推理的能力，屬于容易題. 4.向如下圖所示的容器中勻速注水時，容器中水面高度h隨時間變化的大致圖像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 因為容器中間凸，所以勻速注水時，開始和結(jié)束時水位高度變化快中間時水位高度變化慢，可知選C. 【詳解】結(jié)合容器的形狀，可知一開始注水時，水高度變化較快當(dāng)水位接近中部時變慢并持續(xù)一段時間，接近上部時，水位高度變快，故選C. 【點睛】本題主要考查了對函數(shù)概念的理解及函數(shù)圖象的認(rèn)識，結(jié)合生活實踐，屬于中檔題. 5.若雙曲線x2a2?y2b2=1的一條漸近線方程為x3+y=0．則此雙曲線的離心率為（ ） A. 103 B. 31010 C. 10 D. 22 【答案】A 【解析】 試題分析：由條件知，ba=3，所以e=1+(ba)2=1+19=103，所以選C. 考點：雙曲線的幾何性質(zhì). 6.若平面α與β的法向量分別是a=2,4,?3，b=?1,2,2，則平面α與β的位置關(guān)系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 無法確定 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)所給向量可知其數(shù)量積為零，故知兩向量垂直. 【詳解】因為a?b=（2,4,?3)?(?1,2,2)=0，所以a⊥b，所以兩平面垂直. 【點睛】本題主要考查了平面的法向量，向量的數(shù)量積，利用法向量判斷平面的位置關(guān)系，屬于中檔題. 7.已知△ABC的頂點B，C在橢圓x216+y29=1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在邊BC上，則△ABC的周長是（ ） A. 8 B. 12 C. 83 D. 16 【答案】D 【解析】 △ABC的頂點B，C在橢圓x216+y29=1上， 頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC上， 由橢圓的定義可得：△ABC的周長是4a=44=16． 故答案為：C。 8.下列選敘述錯誤的是（ ） A. 命題“若x≠1，則x2?3x+2≠0”的逆否命題是“若x2?3x+2=0，則x=1” B. 若“p或q”為真命題，則p，q均為真命題 C. “若am22”是“x2?3x+2>0”的充分不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)四種命題的關(guān)系及且或命題的真假逐一判斷各選項即可. 【詳解】由逆否命題概念知A選項正確，根據(jù)或命題真假可知p,q至少一個命題為真，故p，q均為真命題錯誤，C選項中，原命題的否命題為“若am2≥bm2,則a>b ”，當(dāng)m=0時，am2≥bm2成立，推不出a>b，命題不成立，是假命題，D選項中x>2能推出x2-3x+2>0成立，x2-3x+2>0推不出x>2，所以“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要條件，所以選B. 【點睛】本題主要考查了四種命題的關(guān)系，含且或命題的真假，及充分必要條件，屬于中檔題. 9.如圖，空間四面體D?ABC的每條邊都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則FE?DC等于（ ） A. 14 B. ?14 C. 34 D. ?34 【答案】A 【解析】 試題分析：∵空間四面體D一ABC的每條邊都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點 ∴FE=12DB,|DB|=|DC|=1,∠BDC=π3 ∴FEDC=12DBDC=1211cosπ3=14 考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 10.設(shè)F為拋物線C：y2=8x的焦點，過F作傾斜角為30的直線交C于A、B兩點，則AB=（ ） A. 323 B. 16 C. 32 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】 寫出直線方程，聯(lián)立拋物線方程消元，可根據(jù)弦長公式求出弦長. 【詳解】由題意知F（2,0），AB所在直線方程為y=tan30(x?2)=33(x?2) ，聯(lián)立y2=8x消元得y2?83y?16=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=83,y1?y2=?16，所以|AB|=1+3643+416=32，故選C. 【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，屬于中檔題. 11.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實”。經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ） A. 丁 B. 丙 C. 乙 D. 甲 【答案】C 【解析】 甲 乙 丙 丁 甲 √ √ √ 乙 √ 丙 √ √ 丁 √ √ √ 由四個所說，得上面的表，由于是兩對兩錯，如果乙說的是對的，則甲也對丁也對，不符。所以乙說假話，小偷不是丙。同時丙說的也是假話。即甲、丙說的是真話，小偷是乙，選B. 12.如圖，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC邊上的高分別為BD、AE，則以A、B為焦點，且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為（ ） A. 3 B. 1 C. 23 D. 2 【答案】A 【解析】 若是橢圓，則|DA|+|DB|=2a，|AC|=2c ，|DA|=3|DB|，|AB|=2|DB| ，而橢圓的離心率e1=ca=|AB||DA|+|DB|=2|DB|3|DB|+|DB|=3?1 ，若是雙曲線，則|DA|?|DB|=2a，e2=ca=|AB||DA|?|DB|=2|DB|3|DB|?|DB|=3+1，所以1e1+1e2=13?1+13+1=3+12+3?12=3，故選A. 二、填空題（每小題5分，共20分） 13.已知向量a=?1,x,3，b=2,?4,y，且a∥b，那么x+y等于_________ 【答案】-4 【解析】 【分析】 根據(jù)向量平行，可求出x,y,即可求解. 【詳解】∵?????a//b ∴???????a=λb ,即?1=2λx=?4λ3=λy ，解得x=2y=?6 ，∴?????x+y=?4. 【點睛】本題主要考查了向量平行及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題. 14.平面內(nèi)動點P到點F0,2的距離和到直線：y=?2的距離相等，則動點P的軌跡方程為是____________________________________ 【答案】x2=8y 【解析】 【分析】 根據(jù)拋物線定義知，動點軌跡為拋物線，焦點F,準(zhǔn)線為y=?2，p=4，即可寫出拋物線方程. 【詳解】由題意知，該點軌跡是以F（0,2）為焦點，y=?2為準(zhǔn)線的拋物線，其中p=4，所以方程為x2=8y. 【點睛】本題主要考查了拋物線的定義，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題. 15.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐在編號為1，2，3，4的4個位子上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…，這樣交替進(jìn)行下去，那么第xx次互換座位后，小兔的座位對應(yīng)的編號為______________ 【答案】2 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，交換的規(guī)律是先前后再左右，由圖可以看出，此交換的周期是4,由此規(guī)律即可求解. 【詳解】由圖，經(jīng)過4次交換后，每個小動物又回到了原來的位置，故此變換的規(guī)律是周期為4，因為2018=4504+2，所以經(jīng)過xx次互換座位后，小兔對應(yīng)的是編號2的位置. 【點睛】本題主要考查了歸納推理，屬于中檔題.解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾個變換方式歸納出周期為4的規(guī)律，歸納推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想對事物作出判斷. 16.已知橢圓C：x24+y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是該橢圓上的一個動點，則PF1?PF2的范圍為______________ 【答案】?2,1 【解析】 【詳解】由題意，得x24+y2=1的左、右焦點分別為F1(-3,0),F2(3,0)，設(shè)P(2cosθ,sinθ)，則PF1=(-3-2cosθ,-sinθ)?PF2=(3-2cosθ,-sinθ)，PF1?PF2=(-3-2cosθ)(3-2cosθ)+sin2θ=sin2θ+4cos2θ-3=3cos2θ-2；又因為0≤cos2θ≤1，所以-2≤3cos2θ-2≤1，即PF1?PF2 范圍為[-2,1]. 【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算. 三、解答題（共6小題，共70分） 17.設(shè)命題p：方程x2a+6+y2a?7=1表示中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上的雙曲線； 命題q：存在x∈R，使得x2?4x+a<0 （1）寫出命題q的否定q； （2）若“p且q”為真，求實數(shù)的取值范圍。 【答案】（1）q：對任意的x∈R，x2?4x+a≥0;（2）4,7 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)命題否定特征即可寫出（2）由題意知p真q假，分別得出相應(yīng)條件求交集即可. 【詳解】（1）q：對任意的x∈R，x2-4x+a≥0 （2）因為“p且q”為真 所以p真，q真 又p真時，a+6a-7<0 得-60，用綜合法證明：a3+b3≥a2b+ab2； （2）用分析法證明：6+7>22+5. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】 【分析】 （1）根據(jù)題目可采用作差法求證（2）用分析法，采用平方的方法可證明 【詳解】（1）∵????????a3+b3?(a2b+ab2)=a2(a?b)+b2(b?a) =(a?b)(a2?b2)=(a?b)2(a+b) 而(a?b)2≥0???，a+b>0 ∴?????????a3+b3?(a2b+ab2)≥0 ∴????a3+b3≥a2b+ab2 （2）要證6+7>22+5，只需證(6+7)2>(22+5)2， 即證42>210，只需證(42)2>(210)2，即42>40，而42>40顯然成立，故原不等式得證. 【點睛】本題主要考查了證明方法中的綜合法及分析法，屬于中檔題.用分析法證明問題時，注意證明的格式，是從結(jié)論出發(fā)尋求結(jié)論成立的條件. 19.如圖，EA⊥面ABC，BD⊥面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點， （1）求直線EM與CD所成角的大?。? （2）求直線EM與平面BCD所成角的余弦值。 【答案】（1）90（2）63 【解析】 【分析】 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角計算即可（2）利用直線上的向量與平面的法向量的夾角即可得出. 【詳解】如圖，以點C為坐標(biāo)原點，以CA、CB所在的直線分別為x軸、y軸，過點C與平面ABC垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C0,0,0， A2,0,0， B0,2,0， E2,0,1，D0,2,2，M1,1,0 （1）EM=-1,1,-1， CD=0,2,2 所以cosθ=cos=0 所以直線EM與CD所成角的大小為90； （2）EM=-1,1,-1，平面BCD的法向量可取n=1,0,0 所以sinθ=cos=13=33,∴???cosθ=1?sin2θ=63 【點睛】本題主要考查了空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角公式，屬于中檔題題.求線面角時，取斜線上任意一向量，求其與平面的法向量的夾角的余弦的絕對值，即為線面角的正弦值. 20.（1）已知曲線y=x3，求曲線在x=1處的切線方程； （2）已知直線y=kx?1與曲線y=lnx相切，求k的值。 【答案】（1）3x?y?2=0 （2）1 【解析】 【分析】 （1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率即可（2）設(shè)切點為x0,y0，根據(jù)兩函數(shù)在該點導(dǎo)數(shù)相等及該點為公共點列方程組即可求解. 【詳解】（1）切點為1,1 又y=3x2 所以k切=3 所以切線方程為：3x-y-2=0 （2）設(shè)切點為x0,y0，又y=1x 所以y0=kx0+1k=1x0y0=lnx0?x0=1y0=0k=1 【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線方程的求法，屬于中檔題. 21.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，PA=4，F(xiàn)是棱PA上一點，且AF=1，E為PD的一個靠近D點的三等分點。 （1）求證：CE∥面BDF （2）求平面BDF與平面PAD所成的銳二面角的余弦值。 【答案】（1）見解析；（2）1510 【解析】 【分析】 （1）以AD，AP所在的直線分別為y軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系，求平面BDF的法向量，可證明與CE垂直，從而得證（2）求出兩個平面的法向量，求其夾角余弦值即可得出二面角的余弦值. 【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，以AD，AP所在的直線分別為y軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。 則A0,0,0，D0,4,0，P0,0,4，F(xiàn)0,0,1，B23,-2,0，C23,2,0 （1）CE=CD+13DP=-23,23,43 設(shè)面BFD的法向量為n=x,y,z，又BD=-23,6,0，DF=0,-4,1 所以-23x+6y=0-4y+z=0 取y=1 得n=3,1,4 所以CE?n=-6+23+163=0 即CE⊥n 又CE?面BDF 所以CE∥面BDF （2）由（1）面BFD的法向量為n=3,1,4 又面PAD的法向量可取n1=1,0,0 所以cosθ=cos=33+1+16?1=1510 【點睛】本題主要考查了利用空間向量證明直線與平面平行，利用空間向量求兩個平面的二面角，屬于中檔題.利用向量法求二面角時，注意法向量的夾角余弦與二面角余弦的關(guān)系，可能相等，也可能互為相反數(shù). 22.已知橢圓C以F1?1,0，F(xiàn)21,0為焦點，且離心率e=22 （1）求橢圓C的方程； （2）過M0,2點斜率為k的直線l1與橢圓C有兩個不同交點P、Q，求k的范圍； （3）設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在直線l1，滿足（2）中的條件且使得向量OP+OQ與AB垂直？如果存在，寫出l1的方程；如果不存在，請說明理由。 【答案】(1)x22+y2=1；(2)-∞,-22∪22,+∞；(3)答案見解析. 【解析】 【分析】 （1）由題意可得c,根據(jù)離心率可求出,即可寫出方程（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組消元，通過判別式大于0求得k的取值范圍（3）利用向量的坐標(biāo)，可計算OP+OQ與AB的數(shù)量積為0時，k不滿足Δ>0,故不存在. 【詳解】（1）設(shè)橢圓C的長半軸長、短半軸長、半焦距長分別為、b、 由題設(shè)知：c=1 由e=ca=1a=12，得a=2， 則b=1 ∴橢圓C的方程為x22+y2=1 （2）過M0,2點斜率為k的直線l1：y-2=kx 即l1：y=kx+2 與橢圓C方程聯(lián)立消y得2k2+1x2+42x+2=0…“*” 由l1與橢圓C有兩個不同交點知 其Δ=32k2-82k2+1>0得k<-22或k>22 ∴k的范圍是-∞,-22∪22,+∞ （3）設(shè)Px1,y1、Qx2,y2，則x1、x2是“*”的二根 則，則 則 由題設(shè)知、，∴ 若，須 得 ∴不存在滿足題設(shè)條件的. 【點睛】本題主要考查了橢圓的方程、離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.設(shè)直線方程時，要考慮斜率存不存在兩種情況，最后還要考慮計算出的k是否符合條件.