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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析) (I) 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合，則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】求解不等式可得：， 則集合. 本題選擇A選項(xiàng). 2. 已知函數(shù)，則( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,選D. 3. 已知，則( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條件得 所以 ,選B. 4. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意得 所以 ,選A. 5. 已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為中，，且滿足，則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意可得：，則：， △ABC為銳角三角形，則， 由余弦定理有：， 整理可得：，邊長(zhǎng)為正數(shù)，則. 本題選擇C選項(xiàng). 6. 函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( ) A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè) 【答案】B 【解析】當(dāng)時(shí),由函數(shù)圖像可知有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),有一個(gè)零點(diǎn),所以共有3個(gè)零點(diǎn),選B. 7. 若變量，且滿足線性約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，觀察可得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值. 本題選擇C選項(xiàng). 8. 已知函數(shù)的周期為若將其圖像沿軸向右平移個(gè)單位（），所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函數(shù)的解析式即：， 結(jié)合最小正周期公式有： 將其圖像沿軸向右平移個(gè)單位所得函數(shù)解析式為， 該函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)：， 故，取可得：. 本題選擇D選項(xiàng). 9. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”時(shí)，從到，等式的左邊需要增乘的代數(shù)式是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】等式的左邊為 等式的左邊為 所以需要增乘的代數(shù)式是 ,選D. 10. 定義運(yùn)算 ，若函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 所以,選A. 點(diǎn)睛：研究二次函數(shù)單調(diào)性的思路(1)二次函數(shù)的單調(diào)性在其圖象對(duì)稱軸的兩側(cè)不同，因此研究二次函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要依據(jù)其圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在區(qū)間A上單調(diào)遞減(單調(diào)遞增)，則A?（A?）即區(qū)間A一定在函數(shù)對(duì)稱軸的左側(cè)(右側(cè))． 11. 已知命題： “若，則”的命題是“若，則”； 函數(shù)，則“是偶函數(shù)”是“的充分不必要條件” 則下述命題①；② ；③ ；④ ，其中的真命題是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】為真命題；因?yàn)楹瘮?shù)時(shí)“是偶函數(shù)”是“的必要不充分條件 ，所以為假命題，因此為真命題，選C. 點(diǎn)睛：若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可. 12. 在所在平面上有三點(diǎn)，滿足,則的面積與的面積之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：由 ，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得的位置，的面積為的面積減去三個(gè)小三角形面積， ，∴面積比為,故選B． 考點(diǎn)：1、向量的運(yùn)算法則；2、向量共線的充要條件；3、相似三角形的面積關(guān)系． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件和相似三角形的面積關(guān)系，涉及數(shù)形結(jié)合思想和一般與特殊思想，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題型．首先將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得到，利用向量共線的充要條件得到為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，同理可得的位置；利用三角形的面積公式求出三角形的面積比． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 平面向量與的夾角為，則等于__________. 【答案】 【解析】由題意可得：，則：， 據(jù)此有：. 14. 若，則的由小到大的順序關(guān)系是__________. 【答案】 【解析】 , , 所以 15. 將正整數(shù)排成如圖所示，其中第行，第列的那個(gè)數(shù)記為，則數(shù)表中的應(yīng)記為__________. 【答案】 【解析】因?yàn)榍皀行共有 所以數(shù)表中的應(yīng)記為 16. 設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】 【解析】 作函數(shù) 圖可知， ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 點(diǎn)睛： 對(duì)于方程整數(shù)解的問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 函數(shù),部分圖像如圖所示， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若為第三象限的角，，試求的值. 【答案】(Ⅰ),，；(Ⅱ). 【解析】試題分析： (Ⅰ)由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得,，； (Ⅱ) 由（Ⅰ）知，，據(jù)此可得，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系有 試題解析： （Ⅰ）由題中圖可知,周期， ， 由圖知，, ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，即， 又為第三象限的角， 18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為， （Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，求數(shù)列的前項(xiàng)和 【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再整理成等比數(shù)列形式，最后根據(jù)等比數(shù)列定義給予證明（2）先根據(jù)等差數(shù)列定義求通項(xiàng)公式，得，再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，最后利用錯(cuò)位相減法求 試題解析：（Ⅰ）由， ① 得， ② ①-②，得， ， 由①得 是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 點(diǎn)在直線上，， 是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列， 當(dāng)時(shí)，， 又滿足上式， ， ， ③ ， ④ ③-④，得 ， 點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 19. 已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，且依次成等差數(shù)列. （Ⅰ）若,試判斷的形狀； （Ⅱ）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ) 【解析】試題分析：（1）先由正弦定理將角的關(guān)系得邊的關(guān)系，再根據(jù)，利用余弦定理得，解得，從而確定三角形形狀（2）先根據(jù)二倍角公式以及配角公式將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)鈍角條件確定自變量范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)形狀確定取值范圍 試題解析：（Ⅰ）由正弦定理及，得 三內(nèi)角成等差數(shù)列，， 由余弦定理，得， ， 又為正三角形， （Ⅱ）由（Ⅰ）知，中 由題意，知， 所求代數(shù)式的取值范圍是 20. 我市某礦山企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品需另投入萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且 （Ⅰ）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于產(chǎn)品年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）問：年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？ 注：年利潤(rùn)=年銷售收入-年總成本. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)的此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大. （2）對(duì)x進(jìn)行分類討論，分當(dāng)和當(dāng)兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，即可求出結(jié)果． 試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，。2分 當(dāng)時(shí)，， （2）①當(dāng)時(shí)，由 。 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，W取得最大值，即9分 ②當(dāng)，， 當(dāng)且僅當(dāng) 綜合①②知：當(dāng)時(shí)，取得最大值為38．6萬元。 故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得年利潤(rùn)最大（13分） 考點(diǎn)：1．函數(shù)的應(yīng)用；2．導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用． 21. 已知函數(shù) （Ⅰ）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）若在函數(shù)定義域內(nèi)，總有成立，試求實(shí)數(shù)的最大值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得實(shí)數(shù)的值；（2）求導(dǎo)數(shù)并分解因式，根據(jù)a與1的大小分類討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定函數(shù)的單調(diào)性；（3）先化簡(jiǎn)不等式，并根據(jù)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題：最大值不大于零，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值 從而有的最大值，最后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，即得實(shí)數(shù)的最大值. 試題解析：（Ⅰ）易得，且 由題意，得，解得， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減， ②當(dāng)時(shí)，由，得； 由，得或 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ③當(dāng)時(shí)，同理，得 函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. （Ⅲ）由題意，知恒成立， 恒成立， 恒成立， 令，則只需 ， 由，得， 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 令，則只需 由，得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減， 由，得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減， ， 即 故所求實(shí)數(shù)的最大值為 22. 已知函數(shù) （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若對(duì)任意，都存在，使得成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義可得不等式解集（2）先轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域包含問題：值域?yàn)橹涤蜃蛹?，因此不小于最小?再根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得,最后解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)，得， ， ， 所求不等式的解集為， （Ⅱ）由題意，知， ， ， ， 或或 故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是