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1、 全國考研專業(yè)課高分資料 大連理工大學 《數學分析》 筆記 筆 記：目標院校目標專業(yè)本科生筆記或者輔導班筆記 講 義：目標院校目標專業(yè)本科教學課件 期末題：目標院校目標專業(yè)本科期末測試題2-3套 模擬題：目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課模擬測試題2套 復習題：目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課導師復習題 真 題：目標院校目標專業(yè)歷年考試真題，本項為贈送項，未公布的不送！ 目錄 第二模塊 筆記 3 第

2、一部分 實數集與函數 3 第二部分 數列極限 8 第三部分 函數極限 10 第四部分 函數連續(xù)性 15 第五部分 導數與微分 32 第六部分微分中值定理及其應用 38 第八部分 不定積分 53 第九部分 定積分 56 第十部分定積分的應用 62 第十一部分 反常積分 70 第十二部分 數項級數 74 第十三部分 函數列與函數項級數 92 第十四部分 冪級數 103 第十五部分 傅里葉級數 118 第十六部分 多元函數的極限與連續(xù) 133 第十七部分 多元函數微分學 138 第十八部分 隱函數定理及其應用 150 第十九部分 含參量積分 154 第二十部分 曲

3、線積分 165 第二十一部分 重積分 168 第二十二部分 曲面積分 177 第二模塊 筆記 第一部分 實數集與函數 1 實 數 數學分析研究的對象是定義在實數集上的函數，因此先敘述一下實數的有關概念 一． 實數及其性質： 回顧中學中關于有理數和無理數的定義. 有理數： 若規(guī)定： 則有限十進小數都能表示成無限循環(huán)小數。 例如： 記為 ；0 記為 ； 記為 實數大小的比較 定義1 給定兩個非負實數 其中 為非負整數，。若由 1） 則稱 與 相等，記為 2） 若存在非負整數 ，使得 ，而，則稱 大于 （或 小于 ），分別記為 （或

4、）。 規(guī)定任何非負實數大于任何負實數；對于負實數，若按定義1有 ，則稱 實數的有理數近似表示 定義2 設為非負實數，稱有理數 為實數的位不足近似值，而有理數 稱為的位過剩近似值。 對于負實數 的位不足近似值規(guī)定為：； 的位過剩近似值規(guī)定為： 比如 ，則 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 稱為 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 稱為 的過剩近似值。 命題 設 為兩個實數，則 實數的一些主要性質 1 四則運算封閉性: 2 三歧性( 即有序性 ): 3 實數大小由傳遞性，即 4 Achime

5、des性: 5 稠密性: 有理數和無理數的稠密性. 6 實數集的幾何表示 ─── 數軸: 例 二. 絕對值與不等式 絕對值定義： 從數軸上看的絕對值就是到原點的距離： 絕對值的一些主要性質 性質4（三角不等式）的證明： 三. 幾個重要不等式: ⑴ ⑵ 對 記 (算術平均值) (幾何平均值) (調和平均值) 有均值不等式: 等號當且僅當 時成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中學已用數學歸納法證明過) 對 由二項展開式 有: 上式右端任何一項. 2 數集。確界

6、2 二 數集 . 確界原理: 一 區(qū)間與鄰域: 鄰域 二 有界數集 . 確界原理: 1. 有界數集: 定義(上、下有界, 有界) 閉區(qū)間、為有限數）、鄰域等都是有界數集，集合 也是有界數集. 無界數集: 對任意，存在 ，則稱S為無界集。 等都是無界數集, 例 證明集合 是無界數集. 證明：對任意, 存在 由無界集定義，E為無界集。 確界 先給出確界的直觀定義：若數集S有上界，則顯然它有無窮多個上界，其中最小的一個上界我們稱 它為數集S的上確界；同樣，有下界數集的最大下界，稱為該數集的下確界。 精確定義 定義2 設S是R中的一個數集，

7、若數 滿足一下兩條： （1） 對一切 有 ，即 是數集S 的上界； （2） 對任何 存在 使得（即是S的最小上界） 則稱數為數集S的上確界。記作 定義3 設S是R中的一個數集，若數 滿足一下兩條： （3） 對一切 有 ，即 是數集S 的下界； （4） 對任何 存在 使得（即是S的最大下界） 則稱數為數集S的下確界。記作 3 函數概念 函數是整個高等數學中最基本的研究對象, 可以說數學分析就是研究函數的. 因此我們對函數的概念以及常見的一些函數應有一個清楚的認識. 一 函數的定義 1. 函數的幾點說明. 函數的兩要素: 定義域和對應法則 約定: 定義域是自變

8、量所能取的使算式有意義的一切實數值. 函數的表示法: 解析法, 列表法, 圖像法. 分段函數 狄里克雷函數 黎曼函數 三 函數的四則運算（見課本） 四. 函數的復合: 六 初等函數: 基本初等函數: 1 常函數 2 冪函數 冪函數 4 具有某些特性的函數 1.有界函數 若函數在定義域上既有上界又有下界，則稱為上的有界函數。這個定義顯然等價于，對一切，恒有 請同學們利用有界函數的定義給出無界函數的定義。 例 是無界函數。 證明 對任意的 ，存在 ，取，則 2. 單調函數 奇函數與偶函數

9、 （1）定義域關于原點對稱 周期函數 1) 通常我們所說的周期總是指函數的最小周期 2) 有的周期函數不一定有最小周期 ，例如常函數是周期函數， 狄里克雷函數，它們顯然沒有最小周期 第二部分 數列極限 1 數列極限概念 對于數列 ，設 A 是一個常數，若任給 ，都存在相應的自 然數 時， ，則稱 A為數列的極限。 下面我們通過圖示，對數列定義作幾點說明： （1）的任意性 （2）的相應性 三、用極限定義證明 的例題 2. 數列極限的等價定義: 對 對任正整數 2 收斂數列的性質 1. 極限唯一性：（ 證 ） 2. 收斂數列有界

10、性 —— 收斂的必要條件：（ 證 ） 3. 收斂數列保號性： 定理2.4 設 或. 則對(或(或 例1 設 證明：若 則（ 證 ） 定理2.5 設若， （注意“ = ” ；并注意和 的情況 ）. 推論 若 則對 4. 定理（ 迫斂性 ） ( 證 ) 5. 絕對值收斂性: ( 注意反之不確 ). ( 證 ) 推論 設數列{}和{}收斂, 則 6.四則運算性質: 7. 子列收斂性: 子列概念. 定理 ( 數列收斂充要條件 ) {}收斂 {}的任何子列收斂于同一極限. 定理 ( 數列收斂充要條件 ) {}收斂 子列{}和{}收斂于同一極限. 定理 ( 數

11、列收斂充要條件 ) {}收斂 子列{}、{}和{都收斂. ( 簡證 ) 一、利用數列極限性質求極限: 兩個基本極限： 1. 利用四則運算性質求極限： 數列的單調遞增是顯然的, 有界很容易用歸納法證明, 而且 利用單調有界定理, 設 其極限為 , 則有 , A=2 定理 2.10 數列{收斂， （ 或數列{收斂， } 第三部分 函 數 極 限 1 函數極限概念 一 趨于時函數的極限 設函數定義在上，類似于數列情形，我們研究當自變量趨于時，對應的函數值能否無限地接近于某個定數。例如，對于函數 從圖象上可見，當無限增大時，函數值無限地接近于0； 而對于

12、函數，則當趨于時函數值無限地接近于。我們稱這兩個函數當時有極限。 一般地，當趨于時函數極限的精確定義如下： 定義1 設定義在上的函數，為定數。若對任給的，存在正數，使得當時, 有，則稱函數當趨于時以為極限，記作 或 。 說明:(1)、在定義1中正數的作用與數列極限定義中的相類似，表明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實數，而不僅僅是正整數。因此，當趨于時函數以為極限意味著：的任意小鄰域內必含有在的某鄰域內的全部函數值。 (2)、定義1的幾何意義如下圖所示， 　　 對任給的，在坐標平面上平行于軸的兩條直線 與，圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域；定義

13、中的“當時有”表示：在直線的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域之內。如果正數給的小一點，即當帶形區(qū)域更窄一點，那么直線一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數，使得曲線在直線的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內。 定義1的否定敘述: 定義1’ 設定義在上的函數，為定數。若存在某個，對任意充分大的正數，總存在某個,使得:，則稱函數當趨于時不以為極限. (3)、現設為定義在或上的函數，當或時，若函數值能無限地接近某定數，則稱當或時以為極限，分別記作: 或 ; 或 這兩種函數極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“”分別改為“”或 “”即可。 問題: (4)

14、、顯然,若為定義在上的函數，則 （1）(返回) 二 趨于時函數的極限 設為定義在某個空心鄰域內的函數?，F在討論當趨于時，對應的函數值能否趨 于某個定數。這類函數極限的精確定義如下： 定義2（函數極限的定義）設函數在某個空心鄰域內有定義，為定數。若對任給 的，存在正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為 極限，記作或 。 下面我們舉例說明如何應用定義來驗證這種類型的函數極限。請讀者特別注意以下各例中的值是 怎樣確定的。 通過以上各個例子，讀者對函數極限的定義應能體會到下面幾點： 1.定義2中的正數，相當于數列極限定義中的，它依賴于， 但也不是由所唯一確定，一般來說，愈小，也

15、相應地要小一些，而且把取得更小些也無妨。如在例3 中可取或等等。 2.定義中只要求函數在某一空心鄰域內有定義，而一般不考慮在點處的函數值是否有定義， 或者取什么值。這是因為，對于函數極限我們所研究的是當趨于過程中函數值的變化趨勢。如在 定理3.9設函數在點的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是：對任何以 為極限的遞減數列，有。 這個定理的證明可仿照定理3.8進行，但在運用反證法證明充分性時，對的取法要作適當的修改， 以保證所找到的數列能遞減地趨于。證明的細節(jié)留給讀者作為練習。 相應于數列極限的單調有界定理，關于上述四類單側極限也有相應的定理?，F以這種類型為例敘述如下： 定理3.

16、10設是定義在上的單調有界函數，則右極限存在。 證 不妨設在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。 下證 。 事實上，任給，按下確界定義，存在，使得。取 ，則由 的遞增性，對一切=，有 另一方面，由，更有。從而對一切有 這就證得 。 最后，我們敘述并證明關于函數極限的柯西準則。 定理3.11（柯西準則）設在 內有定義。存在的充要條件是：任給，存在 正數，使得對任何，，有 ． 證 必要性 設，則對任給的，存在正數，使得對任何有 。于是對任何 ，有。 充分性 設數列 且 。按假設，對任給的，存在正數，使得 對任何，有。由于（），對上述的，存在， 使得當

17、時有 ，, 從而有 . 于是,按數列的柯西收斂準則,數列的極限存在,記為,即. 設另一數列且, 則如上所證, 存在, 記為. 現證. 為此,考慮數列:,,,,．．．,,,．．．易見且 故仍如上所證, 也收斂. 于是，作為的兩個子列，與必有相同的極限。所以由歸結原則推得 按照函數極限的柯西準則，我們能寫出極限 不存在的充要條件：存在 ，對任何 （無論多么?。偪烧业?，，使得 ． 如在例１中我們可取，對任何設正整數 ，令 ，，則有 ， ，而 于是，按柯西準則極限 不存在． 解 當時有 。 故所求極限等于 。 第四部分 函數連續(xù)性 1 連續(xù)性的概念

18、 一 函數在一點的連續(xù)的定義 設函數在的某個空心鄰域內有定義，是一個確定的數，若對，當時，都有 ，則稱 在 時，以 為極限。 這里可以有三種情況： 1） 無定義，比如上部分講過的特殊極限 2），比如 ， 2）的情形 1）的情形 3） 3）的情形 對1）、2）兩種情況，曲線在 處都出現了間斷; 第3）種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷 ，我們稱這種情況即：時， 在 處連續(xù)。為此給出函數在點 連續(xù)的定義 定義1 設函數在的某鄰域內有定義，若： 則稱函數 在 點連續(xù)。 2、函數在一

19、點的左、右連續(xù)的定義 相應于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下： 定義2 設函數 在 的某左（右）鄰域內有定義，若：（ ） 則稱 在 點左（右）連續(xù)。 由極限與單側極限的關系不難得出： 3、函數在點連續(xù)與函數在該點左、右連續(xù)的關系： 定理4.1 函數在點連續(xù)的充分必要條件為： 在 點既左連續(xù)又右連續(xù)。（事實上： ） 定理4.1的等價的否定敘述： 函數在點不連續(xù)的充分必要條件為： 在 點或不左連續(xù)或不右連續(xù)。 前面我們學習函數在一點上連續(xù)的有關定義，下面我們來學習 二 函數的間斷點（不連續(xù)點）及其分類 1、函數不連續(xù)點的定義 定義3 設函數在某內有定義

20、，若在點無定義，或在點有定義但不連續(xù)，則稱點為函數的間斷點或不連續(xù)點。 由連續(xù)的定義知，函數 在 點不連續(xù)必出現如下3種情形: 1） ，而在點無定義，或有定義但 2） 左、右極限都存在，但不相等, 稱： 為跳躍度或躍度。 3） 左、右極限至少一個不存在 據此，函數的間斷點可作如下分類： 2、間斷點及其分類 1）、可去間斷點 對于情況1），即若：（存在），而在點無定義，或有定義但，則稱： 為可去間斷點（或可去不連續(xù)點）； 三 區(qū)間上的連續(xù)函數 定義 若函數在區(qū)間I上每一點都連續(xù)，則稱為I上的連續(xù)函數,對于區(qū)間端點上的連續(xù)性 則按左、右連續(xù)來確定。 定義 如果 在區(qū)間 上僅

21、有有限個第一類不連續(xù)點，則稱函數在區(qū)間 上按段連續(xù)。 例如 是按段連續(xù)函數。 小結：1）函數在一點連續(xù)的三個等價定義； 2）函數的左右連續(xù)性； 3）不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點； 4）區(qū)間上連續(xù)函數的定義。 2 連續(xù)函數的性質 內容：1 連續(xù)函數的局部性質 2 區(qū)間上的連續(xù)函數的基本性質 3 反函數的連續(xù)性 4 一致連續(xù)性 重點：連續(xù)函數的局部性質性質；區(qū)間上的連續(xù)函數的基本性質 難點：連續(xù)函數的保號性；一致連續(xù)性. 一 連續(xù)函數的局部性質 根據函數的在點連續(xù)性，即可推斷出函數在點的某鄰域內的性態(tài)。 定理4.2（局部連續(xù)性

22、）若函數在點連續(xù)，則在點的某鄰域內有界。 定理4.3 （局部保號性） 若函數 在 點連續(xù)，且 ，則對任意 存在 某鄰域 時， 定理4.4（四則運算性質）若函數則在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，則 （）在 點連續(xù)。 例 因連續(xù)，可推出多項式函數 和有理函數為多項式）在定義域的每一點連續(xù)。 同樣,由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點連續(xù)。 定理4.5（復合函數的連續(xù)性）若函數在點連續(xù)，在點連續(xù)，，則復合函數在 點連續(xù)。 證明 由于在 連續(xù)，對任給的，存在 ，使 時有 （1） 又由及在連續(xù)，故對上述，存在，使得當時，有. 聯(lián)系（1）得: 對任給的，存在 ，當 時有. 這

23、就證明了 在點 連續(xù). 注：根據連續(xù)性的定義，上述定理的結論可表示為 (2) 二 閉區(qū)間上連續(xù)函數的基本性質 前面我們研究了函數的局部性質，下面通過局部性質研究函數在閉區(qū)間上的整體性質。 定義1 設f為定義在數集D上的函數，若存在，使得對一切有 ， 則稱f在D上有最大（最小值）值，并稱為f在D上的最大（最小值）值. 例如 在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值（即 使f在D上有界）。如在上既無最大值又無最小值，又如 (4)在閉區(qū)間上也無最大、最小值。 定理4.6 (最大最小值定理) 若函數 在閉區(qū)間 上連續(xù)，則 在閉區(qū)間 上有最 大

24、值與最小值。 該定理及以后的定理4.7 和定理4.9將在第七部分2給出證明. 推論：（有界性）若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界。 定理4.7(介值性定理) 若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于之間的任何實數（ 或 ）,則在開區(qū)間內至少存在一點，使得: 　 推論（根的存在定理）若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號，則至少存在一點使得 .即 在內至少有一個實根. 應用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數的下述性質：若在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且不是常量函數,則值 域 也是一個區(qū)間；特別若為區(qū)間 [a,b], 在 [a,b]上的最大值為,最小值為，則 ；又若 為

25、[a,b]上的增（減）連續(xù)函數且不為常數，則 例3 證明：若為正整數，則存在唯一正數，使得. 證明 先證存在性。由于當 時有 ，故存在正數 ，使得 .因在上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點使得. 再證唯一性。設正數 使得 由于第二個括號內的數為正所以只能 ，即 . 例4 設 在 [a,b] 連續(xù)，滿足 （5） 證明：存在，使得 （6） 證 條件（5）意味著：對任何有，特別有以及 . 若或，則取，從而（6）式成立?，F設與。。 令 ，則 ，. 由根的存在性定理，存在，使得 即 . 三 反函數的連續(xù)性 定理4.8（反函數的連續(xù)性）若函數在閉區(qū)間嚴格遞增

26、（遞減）且連續(xù)，則其反函數 在相應的定義域 （）上遞增（遞減）且連續(xù)。 證明 （只證明f(x)嚴格遞增情況）由閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值性，反函數存在，而且其定義域為 。 設 ，且 則 ，對任給的可在的兩側各取異于的兩點（），使它們與的距離小于（參見上圖）. 設，由函數的嚴格遞增性， 必分別落在的兩側，即當 時，令 ，則當 時，對應的 的值必落在之間，從而 . 應用單側極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點也是連續(xù)的。 四 一致連續(xù)性 前面介紹的函數在某區(qū)間內的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點都連續(xù)。這只反映函數在區(qū)間內每一點附近的局部性質，就是說連續(xù)定義中的 不僅與 有關，而且與有

27、關。下面介紹的一致連續(xù)性，則是函數在區(qū)間上的整體性質，其定義中的只與有關，而與無關。 定義2（一致連續(xù)性）設函數 在區(qū)間I上有定義，若 只要 ，，都有 ，則稱 在區(qū)間I上一致連續(xù)。 這里要特別注意逐點連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說 在區(qū)間I一致連續(xù)意味著：不論兩點在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使 . 顯然I必然在I上每一點連續(xù)，反之，結論不一定成立（參見例9）。 定理4.9 （一致連續(xù)性）若函數在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上一致連續(xù)。 3 初等函數連續(xù)性 從前面兩節(jié)知道基本初等函數中：常函數，三角函數，反三角函數，以及有理指數冪函數，都是定義 域上的連續(xù)函數.本節(jié)將討論指數函數

28、、對數函數與實指數冪函數在其定義域內的連續(xù)性，以及初等函數在 其定義域內的連續(xù)性。 一 指數函數的連續(xù)性 在第一部分中，我們已定義了實指數的乘冪，并證明了指數函數 在上是嚴格單調 的.下面先把關于有理指數冪的一個重要性質推廣到一般指數冪,然后證明指數函數的連續(xù)性。 定理4.10 設 為任意實數,則有 . 證明 不妨設，則由第一部分3（6）式所定義，即 . 任給，設為兩個有理數，且，使得 . 由 的嚴格增遞性，得 . 又有 ，故得 . 由任意性推出 . 為證相反的不等式, 設 為有理數，且 ，使得 . 再取有理數 使 , 則有 故得到 . 由任意性推出,所

29、以有. (后一等式的證明留給讀者.) 定理4.11 指數函數在R上是連續(xù)的. 證明 先設.有第三部分2例4知 這表明在連續(xù).現任取.由定理4.10得 . 令則當時有,從而有 . 這證明了在任一點處連續(xù). 當時,令,則有,而可看作函數與的復合，所以此時亦在 上連續(xù)。利用指數函數的連續(xù)性，以及第三部分5例4中已證明的 可知的值域為（）( 時也是如此).于是 的反函數—對數函數 在其定義域 () 內也連續(xù). . 二 初等函數的連續(xù)性 由于冪函數（為實數）可表為，它是函數與的復合，故有指數函數與對數函 數的連續(xù)性以及復合函數的連續(xù)性，推得冪函數在其定義域（）上

30、連續(xù)。 前面已經指出，常函數，三角函數，反三角函數都是定義域上的連續(xù)函數.因此我們有下述定理： 定理 4.12 一切基本初等函數都是定義域上的連續(xù)性函數. 由于任何初等函數都是由基本初等函數經過有限次四則運算與復合運算所得到,所以有： 定理4.13 任何初等函數都是定義域上的連續(xù)性函數. 第五部分 導數與微分 1 導數概念 速度和切線的例子雖然各有其特殊內容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數量關系上看它 們有共同的本質，兩者都表示函數因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數的變化率 （3） 定義1、設函數在點的某鄰域內有定義，若極限 存在，則稱函數在點

31、可導，并稱該極限為函數在點處的導數， 等. 若上述極限不存在，則稱在點不可導。 注：令，，則（3）式可改寫為 （4） 所以，導數是函數增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個增量比稱為函數關于自變量的平均變化率（又稱差商），而導數 則為 在χ0處關于的變化率，它能夠近似描繪函數 在點附近的變化性態(tài)。 注：此公式對△χ= 0仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結論： 定理1 若函數 在 處可導，則函數 在 處連續(xù)。但是可導僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比如：函數 在 處連續(xù)，但不可導。 （二）函數在一點的單側導數 類似于函數在一點有左、右極限, 對于定義在某

32、個閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數，如果要討論改函數在端點處的變化率時，就要對導數概念加以補充，引出單側導數的概念。 定義2 設函數 在點的某右鄰域 上有定義，若右極限 (0＜＜ 或 ( 存在，則稱該極限值為 在點 0 的右導數，記作，類似地，可定義左導數 右導數和左導數統(tǒng)稱為單側導數。 如同左、右極限與極限之間的關系，導數與單側導數的關系是： 定理5.2 若函數在點的某鄰域內有定義，則存在的充分必要條件是：都存在，且 = 。 說明：分段函數在分界點處討論導數便是依據這一結論，通過左、右導數來判斷該點是否存在導數及若存在應等于什么。 由定理2， 連續(xù)

33、函數不存在導數舉例 函數 ，　處是焦點，不可導。 在 處振蕩，左右導數都不存在。 （三）導函數 若函數在區(qū)間I上每一點都可導（對區(qū)間端點，僅考慮相應的單側導數），則稱為I上的可導函數。此時對每一個χ∈I，都有的一個導數（或單側導數）與之對應，這樣就定義了一個在I上的函數，稱為在I上的導函數，也簡稱為導數，記作等. 即 . 說明：1區(qū)間上的可導概念與連續(xù)一樣，也是逐點定義的局部概念。 2在物理學中導數yˊ也常用牛頓記號y` 表示，而記號 是萊布尼茨 首先引用的。目前我們把 看作為一個整體，也可把它理解為 施加于y的求導運算，待到學過“微分”之后，

34、將說明這個記號實際上是一個“商”，相應于上述各種表示導數的形式， 三、導數的幾何意義 我們已經知道 由導數的定義，，所以曲線 在點的切線方程是 （7） 這就是說：函數在點x0 的導數 是曲線 在點 （x0，y0）處的切線斜率，若α 表示這條切線與x 軸正向的夾角，則 =tanα 從而＞0 意味著切線與x 軸正向的夾角為銳角；= 0表示切線與x 軸平行。 四、小結（可以師生共同總結，或教師引導學生小結，然后教師再條理一下） 本節(jié)課重點在于“導數”的定義，而函數 在一點 的導數 = 是一個構造性的定義，是利用繼用極限為工具，研究函數連續(xù)性以后，又一次用極限

35、為工具研究函數性質的典型范例，為此 1．深刻理解導數，左（右）導數的概念（三個階段） 取差 對整個運動作分割（第一次否定） 求平均 以“勻代不勻”； 再回到時刻（第二次否定） 2．明確導數與單側導數，可導與連續(xù)的關系，導數與導函數的相互聯(lián)系與區(qū)別。 3．能夠從定義出發(fā)求某些函數的導數。 4．能利用導數概念解決一些涉及函數變化率的實際應用問題。 導數概念的建立是高等數學常用的方法，下面我們總結一下這個過程，這對我們認識、掌握高等數學的思維方法，提高數學素質是很有幫助的。為了考察運動物體在某時刻的瞬時速度，我們不能只停留在這個時刻，因為那樣我們除了知道物體的位置外，就什

36、么也得不到。我們必須用運動的觀點看待這個問題，使 t 動起來，讓 t 變到 ，產生對位置的第一次否定，得到差和。這就把一點的運動狀態(tài)和周圍的運動狀態(tài)聯(lián)系了起來，就能在運動中把握運動；取差其實就是對整個運動作了分割，一分割就使勻”和“不勻”這對矛盾的兩個方面發(fā)生了轉化：整體上的“不勻”，轉化為局部的“勻”，然后“以勻代替不勻”求出平均速度。為得到瞬時速度，就必須使 再回到，即令，對狀態(tài)第一次否定的否定。當 回到 時，和都消失了，結果變成，仿佛什么也的不到，其實不然，因為的消失依賴于的消失，雖然兩個相互制約的差都消失了，但他們的“比”卻保持著，這個比就是瞬時速度，或對導數，它反映了兩個量之間的“質

37、”的聯(lián)系。正是這第二次否定，我們又回到了整體上的“不勻”。求瞬時速度或函數的導數經歷了一個否定之否定的過程，但第二次否定我們不是又回到出發(fā)點，而是解決了初等數學解決不了的課題。 4 高階導數 高階導數的概念： 加速度 高階導數 定義: 注意區(qū)分符號 和 以函數 為例介紹高階導數計算方法. 高階導數的記法: 函數在 處的 階導數記為 相應的階導數記為 二. 幾個特殊函數的高階導數: 1. 多項式: 多項式的高階導數. 例1 求 和 . 2. 正弦和余弦函數: 計算 、、、的公式. 3． 和的高階導數： 4． 的高階導數： 5． 的高階導數：

38、 6． 分段函數在分段點的高階導數： 以函數 為例，求 . 三. 高階導數的運算性質: 設函數 和 均 階可導. 則 1． 2． 3． 乘積高階導數的Leibniz公式： 第六部分微分中值定理及其應用 1拉格朗日定理和函數的單調性 一．極值概念： 1． 回憶極值的概念和可微極值點的必要條件: 定理 ( Fermat ) 設函數在點的某鄰域內有定義，且在點可導，若點為的極值點， 則必有 1、羅爾中值定理：若函數滿足如下條件： （i）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)； （ii）在開區(qū)間（a，b）內可導； （iii）， 則在（a，b）內至少存

39、在一點ξ，使得 （ξ）=0 （分析）由條件（i）知在[a，b]上 有最大值和最小值，再由條件（ii）及（iii），應用費馬定理便可得到結論。 證明：因為在［a,b］上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現分兩種情況討論： (i)若M = m , 則 在［a,b］上必為常數，從而結論顯然成立。 (ii)若m ＜ M，則因 (a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內某點ξ處取得，從 而ξ是的極值點，由條件(ii) 在點ξ處可導，故由費馬定理推知 =0. 注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少 存在一

40、條水平切線。 注2：習慣上把結論中的ξ稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條 件，定理的結論將不一定成立，見下圖： 中值定理：?（a）=?(b)時的特殊情況，應用羅爾定理證明此定理要構造輔助函數 ，使得 滿足羅爾定理的條件 （i）-(iii) 且 ， 從而推得 證明：作輔助函數 顯然，F（a）=F(b)（=0），且F在[a，b]上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點 ξ(a，b)，使得 即 注1羅爾定理是拉格朗日中值定理時的特例 注2幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在 該點處的切線平行于曲線兩端點的

41、連線AB，我們在證明中引入的輔助函數，正是曲線 與 直線AB 之差，事實上，這個輔助函數的引入相當于坐標系統(tǒng)原點在平面內的旋轉，使在新坐標系下，線段AB平 行于新х軸（F（a）=F（b））。 注3此定理的證明提供了一個用構造函數法證明數學命題的精彩典范；同時通過巧妙地數學變換，將 一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數學分析的重要而常用的數學思維的體現。 注4拉格朗日中值定理的結論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據不同問題的特 點，在不同場合靈活采用： 注5拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關，并不彼此獨立，因為：在（a,b）可導

42、可以推出?在 （a，b）連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊”部分去掉，改成“函數在（a，b）可導且 在a右連續(xù)在b左連續(xù)”這樣，兩個條件互相獨立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣敘述。 中值定理的簡單應用: ( 講1時 ) 3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論 推論1 函數在區(qū)間I上可導且為I上的常值函數. 證明： 任取兩點 （設），在區(qū)間 [] 上應用拉格朗日中值定理，存在 ξ（）I，使得 推論2 函數和在區(qū)間I上可導且 推論3（導數極限定理）設函數在點的某鄰域U（）內連續(xù)，在U（）內可導，且極限 存在，則在點可導，且 證明：分別按左右導數來證明

43、上式成立 （1） 任取，在[]上滿足拉格朗日中值定理條件，則存在 ξ，使得 由于＜ξ＜，因此當時隨之有ξ→，對上式兩邊取極限，使得 （2）同理可得 因為=存在，所以==，從而即 注1由推論3可知：在區(qū)間I上的導函數在I上的每一點，要么是連續(xù)點，要么是第二類 間斷點，不可能出現第一類間斷點。 注2導數極限定理適合于用來求分段函數的導數。 推論4 ( 導函數的介值性 ) 若函數在閉區(qū)間上可導, 且 ( 證 ) 定理( Darboux ) 設函數在區(qū)間上可導且. 若為介于 與之間的任一實數, 則 這就證得在區(qū)間I上任何兩點之值相等。 可微函數單調性判別法

44、： 1．單調性判法： 定理 1設函數在區(qū)間內可導. 則在內↗(或↘) 在內( 或). 證明：必要性 充分性 在I 上遞增。 定理2 設函數在區(qū)間內可導. 則在內嚴格↗( 或嚴格↘) ?。?對有( 或; ⅱ） 在內任子區(qū)間上 例 證明不等式 證明： 設 時 2柯西中值定理和不等式極限 一 柯西中值定理 定理(6.5) 設 、滿足 (i) 在區(qū)間 上連續(xù)， (ii) 在 內可導 (iii) 不同時為零; (iv) 則至少存在一點 使得 柯西中值定理的幾何意義 曲線 由參數方程 給出，除端點外處處有不垂直于 軸的切

45、線， 則 上存在一點 P處的切線平行于割線 .。 注意曲線 AB在點 處的切線的斜率為 ， 而弦 的斜率為 . 受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下： 由于， 類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數 容易驗證 滿足羅爾定理的條件且 根據羅爾定理，至少有一點 使得 ，即 由此得 注2：在柯西中值定理中，取 ，則公式（3）可寫成 這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令 ，則 . 這恰恰是羅爾定理. 注3:設 在區(qū)間 I上連續(xù)，則 在區(qū)間 I上為常數 ， . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數的某些

46、特性 1、利用其幾何意義 要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必與兩點間某點的切線平行。 可以用這種幾何解釋進行思考解題： 3、作為函數的變形 要點：若在[a，b]上連續(xù)，（a，b）內可微，則在[a，b]上 （介于與之間） 此可視為函數的一種變形，它給出了函數與導數的一種關系，我們可以用它來研究函數的性質。 例3 設在上可導，，并設有實數A＞0，使得≤在上 成立，試證 證明 ：在[0，]上連續(xù)，故存在] 使得 ==M 于是M=≤A≤≤。 故 M=0，在[0，] 上恒為0。用數學歸納法，可證在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0

47、, 所以=0, 。 利用柯西中值定理研究函數的某些特性 1. 證明中值點的存在性: 例 1 設函數在區(qū)間 上連續(xù), 在 內可導, 則 , 使得 . 證 在Cauchy中值定理中取 . . 2.證明恒等式: 四 、小結 本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數的某些特性；難點是用輔助函數解決問題的方法。 1 拉格朗日中值定理的內容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它 的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通 函數及其導數的橋梁，是數學分析的重要定理之一。 2 構造輔助函數法是應用微

48、分中值定理的基本方法。實際上，輔助函數法是轉化問題的一種重要手 段，通過巧妙地數學變換，將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數 學分析的重要而常用的數學思維的體現。關于如何恰當地構造和選用輔助函數問題，請同學們結合第三 部分的題目仔細體會總結。 二 不定式的極限 一. 型: 定理 6.6 (Hospital法則 ) 若函數 和滿足： (i) (ii) 在點 的某空心鄰域內而這可導，且； (iii) 可為實數，也可為 ） 則 ( 證 ) 注意: 若將定理中的x 換成 ，只要相應地求證條件(ii)中的 鄰域，也可以得到同樣的結論。

49、 二.型不定式 極限: 定理 6.7 (Hospital法則 ) 若函數 和滿足： (i) (ii) 在點的某右鄰域內二這可導，且； (iii) 可為實數，也可為 ） 則 注意1 不存在，并不能說明 不存在（為什么？） 注意2 不能對任何比式極限都按洛必達法則來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿 足洛必達法則條件 例 求極限 . ( Hospital法則失效的例 ) 三. 其他待定型: .前四個是冪指型的. 3 泰勒公式 一. 問題和任務: 泰勒定理的引入和基本思想 容易驗證多項式函數 一般函數上面的結果能否成立或近似成立呢？若一個

50、函數能用多項式近似，對函數的計算、性質的 研究就會大大簡化。 用多項式逼近函數的可能性; 對已知的函數, 希望找一個多項式逼近到要求的精度. 三 Taylor( 1685—1731 )多項式: 分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式 定義 Taylor 多項式 及Maclaurin多項式 四 Taylor公式和誤差估計: 稱 為余項. 稱給出 的定量或定性描述的式 為函數 的Taylor公式. 1. 誤差的定量刻畫( 整體性質 ) —— Taylor中值定理: 定理 6.9 設函數 滿足條件: ⅰ) 在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導數; ⅱ) 在開區(qū)間內有階導數. 則

51、對 使 . 證 稱這種形式的余項為Lagrange型余項. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具 Lagrange 型余項的Taylor公式. Lagrange 型余項還可寫為 . 時, 稱上述Taylor公式為 Maclaurin 公式, 此時余項常寫為 . 關于Taylor公式中Lagrange型余項的進一步討論可參閱: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982). 2. 誤差的定性描述(

52、 局部性質 ) —— Peano型余項: 定理2 若函數在點的某鄰域內具有階導數, 且存在, 則 證 設 , . 應用Hospital法則 次, 并注意到 存在, 就有 . 稱 為Taylor公式的Peano型余項, 相應的Maclaurin公式的Peano型余項為 . 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式 ( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開: 例 驗證下列函數的Maclaurin公式 4 函數的極值與最大(小)值 一 可微極值點判別法: 極值問題:

53、極值點, 極大值還是極小值, 極值是多少. 1.可微極值點的必要條件: Fermat定理. 函數的駐點和(連續(xù)但)不可導點統(tǒng)稱為穩(wěn)定點, 穩(wěn)定點的求法. 2.極值點的充分條件: 對每個穩(wěn)定點, 用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點. 定理 4 (充分條件Ⅰ) 設函數在點 連續(xù), 在鄰域 和 內可導. 則 ?。?在 內 在 內 時, 為 的一個極小值點; ⅱ） 在內 在內時, 為 的一個極大值點; ⅲ） 若在上述兩個區(qū)間內同號, 則 不是極值點. 定理 5 (充分條件Ⅱ) 設點 為函數 的駐點且存在，則 ?。?當時, 為的一個極大值點; ⅱ） 當時, 為的一個極

54、小值點. 證法一 當 時, 在點的某空心鄰域內與 異號,…… 證法二 用Taylor公式展開到二階, 帶Peano型余項. 二 最大值最小值 先看三個函數的圖象 (c61) 由上面圖像看出，函數的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點處，不可導點處， 也可能發(fā)生在區(qū)間的端點。 因此, 函數的最大最小值點應從：穩(wěn)定點, 不可導點, 端點 中去尋找， 這三種點中，函數取最大者為函 數的最大點，取最小者為函數的最小值點，因此求解最大最小點的步驟應為: 第一步 求出穩(wěn)定點, 不可導點和端點 第二步 算出這些點處的函數值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值

55、 5函數的凸性與拐點 一． 凸性的定義及判定： 1． 凸性的定義：由直觀引入. 強調曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別. 定義1 設函數在區(qū)間I上連續(xù). 若對I 和恒有 則稱曲線 在區(qū)間I的凸函數, 反之, 如果總有 則稱曲線 在區(qū)間I的凹函數. 若在上式中, 當 時, 有嚴格不等號成立, 則稱曲線在區(qū)間上是嚴格凸 (或嚴格凹)的. 凸性的幾何意義: 倘有切線，考慮 與切線的位置關系; 與弦的位置關系; 曲線的彎曲方向. 引理 為區(qū)間I上的凸函數的充要條件是:對I上任意三點: , 總有 證明: 必要性 充分性 定理6.13 設函數在區(qū)間I上可

56、導, 則下面條件等價: (i) 為I上凸函數 (ii)為I上的增函數 (iii)對I上的任意兩點有 證明 2． 利用二階導數判斷曲線的凸向: 定理 6.14 設函數在區(qū)間內存在二階導數, 則在 內 ⑴在 內嚴格上凸; ⑵在 內嚴格下凸. 證法一 ( 用Taylor公式 ) 對設, 把在點展開成具Lagrange 型余項的Taylor公式, 有 . 其中 和 在 與 之間. 注意到 , 就有 , 于是, 若有上式中, 即 嚴格上凸. 若有上式中, 即 嚴格下凸. 證法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若則有↗↗. 不妨設 ,

57、并設 , 分別在區(qū)間和上應用Lagrange中值定理, 有 . 有 又由 ， <, ， 即 ， 嚴格下凸. 可類證 的情況. 3． 凸區(qū)間的分離: 的正、負值區(qū)間分別對應函數的下凸和上凸區(qū)間. 二. 曲線的拐點: 拐點的定義. 6 函數圖象的討論 我們要認識一個函數，搞清它的性質，往往要從研究它的圖象入手，借助對函數圖象的觀察、分析， 發(fā)現其隱含的規(guī)律性東西。比如我們在第二部分研究特殊極限 時，首先用中學時講過的 從中學求點描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應是 1確定函數定義域 ，以安排合適大小的坐標系； 2確定函數的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量 ；

58、 3給出反映函數特性的某些關鍵點，比如與軸的交點； 4函數的單調區(qū)間和極值，凸凹性、拐點。 例 1 作函數 圖象 1 函數定義域 2 該函數不是奇偶函數，也不是周期函數 3 與軸的交點 與 4 單調區(qū)間和極值 y=1/4*(x-3)^2/(x-1); y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2 時，導數不存在，導數的符號由決定： 時, 函數嚴格遞增, 時, 遞減， 為極大點， 為極小點。 x －1 3 y 極大 極小 凸凹性

59、 d2ydx2=simplify(diff(y1)) d2ydx2 = 2/(x-1)^3 x<1 上凸, x>1下凸 x<-1 x =-1 13 增 極大 減 減 極小 增 漸近線 垂直漸近線:顯然 x=1為垂直漸近線 斜漸近線: = k 再計算 s=1/4*x;s1=symsub(y,s); simplify(s1) ans = -1/4*(5*x-9)/(x-1) 有斜漸近線 我們把找到的特殊點, 漸近線先畫出來 第八部分 不定積分 1不定積分概念

60、與基本積分公式 一 原函數與不定積分 前面我們學習了導數與微分，由已知函數利用基本求導公式和求導法則可以求出它的導數，那自然會 想到：求導運算能否和數的四則運算那樣，知道了導數反過來就能求出，比如知道了物體的運 動速度，求路程，知道了加速度求速度？ 定義（原函數）如果在區(qū)間 I 上 ，則稱 為 在區(qū)間I上的原函數。 例如例1中的是 的原函數；是 的原函數，等等 因為常數導數為零，所以如果的原函數存在，則對任意常數C，都是的原函數。 這就是說，原函數存在的話，它有無限多個。而且容易證明，的任意兩個原函數之間相差一個常數。 換句話說>的原函數的全體為 ，C為任意常數。 定義（不定積分）>在區(qū)間I上原函數的全體稱為 在I上的不定積分。記作 。 其中為積分號， 為積分函數， 為積分變量。 不定積分的幾何意義 一個函數的原函數盡管有無限多個, 但它們的幾何圖形是一模一樣的, 最多是在坐標系中的高低位 置不一樣, 相差一個上下平移關系。 二 基本積分公式 怎樣求不定積分呢？我們先按照不定積分的定義給出一些常見函數的不定積分：