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1、離散型隨機(jī)變量的均值教學(xué)設(shè)計(jì)
設(shè)計(jì)人:孫國林
一、教學(xué)預(yù)設(shè)
1.教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)
(1)通過實(shí)例幫助學(xué)生體會取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值含義;
(2)通過比較使學(xué)生認(rèn)識隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值的區(qū)別與了解,并明確隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近隨機(jī)變量的均值;
(3)在對具體實(shí)例的分析中,體會離散型隨機(jī)變量分布列是全面的刻畫了它的取值規(guī)律,而隨機(jī)變量的均值則是從一個(gè)側(cè)面刻畫隨機(jī)變量取值的特點(diǎn);
2.標(biāo)準(zhǔn)解析
(1)內(nèi)容解析:本課是一節(jié)概念新授課,數(shù)學(xué)期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一,是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù).學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識做鋪墊.同時(shí),
2、它在市場預(yù)測、經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,對今后學(xué)習(xí)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.
根據(jù)以上分析,本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為:離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念.
(2)學(xué)情診斷:本節(jié)是在《必修》中學(xué)習(xí)了樣本的平均數(shù)和方差的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的均值.離散型隨機(jī)變量可以看成是刻畫某一總體的量,它的均值也就是總體的均值,一般它們是未知的,但都是確定的的常數(shù);樣本的平均值是隨機(jī)變量.對于簡單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均數(shù)越來越接近于總體的平均值.本節(jié)重點(diǎn)是用均值解決實(shí)際問題,在解決實(shí)際問題的過程中使學(xué)生理解均值的含義.問題1從平均的角度引入隨機(jī)變量均值的概念,直觀上通過分析1kg
3、混合糖果的組成,學(xué)生容易得到合理的價(jià)格,即價(jià)格是三種糖果價(jià)格的加權(quán)平均,至此問題已解決.問題2考慮1kg的糖果如何從混合糖果中取出,通過對問題的探討,就把混合糖的合理價(jià)格理解為隨機(jī)變量的值的加權(quán)平均,這個(gè)權(quán)就是相應(yīng)的概率,把這個(gè)想法抽象出來,就可以得到隨機(jī)變量均值的概念.問題3有助于理解隨機(jī)變量均值的含義,它可以看成是這個(gè)隨機(jī)變量的均值,即隨著觀察這個(gè)隨機(jī)變量次數(shù)的增加,所得觀測數(shù)據(jù)的平均值越來越接近于這個(gè)隨機(jī)變量的均值.
根據(jù)以上分析,本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為:根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望.
(3)教學(xué)對策:利用思考欄目中的問題直接提出問題,引導(dǎo)學(xué)生理解混合糖果合理價(jià)格表達(dá)式中
4、權(quán)的含義,由此引入取有限的離散型隨機(jī)變量的均值的定義.這里的平均水平的含義是:反復(fù)對這個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行獨(dú)立觀測,隨著觀測次數(shù)的增加,得到的各個(gè)觀測值的平均值越來越接近于這個(gè)隨機(jī)變量的均值.
(4)教學(xué)流程:
創(chuàng)設(shè)情境
分析探究
形成概念
簡單應(yīng)用
歸納小結(jié)
二、教學(xué)實(shí)錄
1.問題情境,引入新課
某商場為滿足市場需求要將單價(jià)分別為18,24,36 的3種糖果按3:2:1的比例混合銷售,其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等,如何對混合糖果定價(jià)才合理?
【問題探究】
設(shè)問1:所定價(jià)格為元嗎?
【評析】理解權(quán)重
設(shè)問2:假如我從這種混合糖果中隨機(jī)選取一顆,記為這顆糖果的
5、單價(jià)()你能寫出的分布列嗎?
【評析】啟發(fā)學(xué)生思考加權(quán)平均和權(quán)數(shù)的含義.
設(shè)問3:如果你買了1kg這種混合糖果,你要付多少錢?而你買的糖果的實(shí)際價(jià)值剛好是23元嗎?
【評析】理解樣本平均值與隨機(jī)變量均值的差異.
【概念建構(gòu)】
(1)均值或數(shù)學(xué)期望: 一般地,若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
…
…
…
…
則稱…… 為ξ的均值或數(shù)學(xué)期望,簡稱期望.
(2)均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù),它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.
(3)平均數(shù)、均值:一般地,在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中,令,則有,,所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱
6、為平均數(shù)、均值.
【學(xué)以致用】
例1:隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子,求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的期望。
師:隨機(jī)變量ξ 的期望與 ξ 可能取值的算術(shù)平均數(shù)何時(shí)相等?
生:ξ 取不同數(shù)值時(shí)的概率都相等時(shí),隨機(jī)變量的期望與相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)相等。
變式:將所得點(diǎn)數(shù)的2倍加1作為得分分?jǐn)?shù),即,求的數(shù)學(xué)期望.
師:的期望與ξ 的期望有什么樣的關(guān)系?
生:有一定的線性關(guān)系,的期望等于ξ 的期望的2倍加1.
師:你們能推導(dǎo)出一般形式嗎?
【問題拓展】
均值或期望的一個(gè)性質(zhì):若(a、b是常數(shù)),ξ是隨機(jī)變量,則η也是隨機(jī)變量,它們的分布列為
ξ
x1
x2
…
xn
…
η
7、
…
…
P
p1
p2
…
pn
…
于是……
=……)……)
=,
例2:根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表:
歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.
求:工期延誤天數(shù) Y 的均值。
解:由已知條件和概率的加法公式有:
所以Y的分布為:
Y
0
2
6
10
p
0.3
0.4
0.2
0.1
故工期延誤天數(shù)Y的值為3
【評析】
生活中蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)知識
8、,數(shù)學(xué)知識又能解決生活中的問題。例題與生活密切了解,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。
例3. 某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷,假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙,丙兩公司面試的概率均為p,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的。記x為該畢業(yè)生得到的面試公司個(gè)數(shù)。若,
求隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望。
師:上例題能否歸納出求解期望或均值的解題步驟?
生:歸納求離散型隨機(jī)變量期望的步驟:
①確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。
②寫出分布列,并檢查分布列的正確與否。
③求出期望。
【評析】
本題除
9、了注重知識,還注重引導(dǎo)學(xué)生對解題思路和方法的總結(jié),可切實(shí)提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,并讓學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣。
【課堂小結(jié)】
師:你有哪些收獲?
生:相互討論,小組總結(jié):“一個(gè)概念,兩個(gè)注意,三個(gè)步驟”。
(1)離散型隨機(jī)變量的期望,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平;
(2)樣本平均值和隨機(jī)變量均值的區(qū)別與了解;
(3)求離散型隨機(jī)變量的期望的基本步驟:
①理解的意義,寫出可能取的全部值;
②求取各個(gè)值的概率,寫出分布列;
③根據(jù)分布列,由期望的定義求出.公式。
三、教學(xué)反思
本節(jié)課在情境創(chuàng)設(shè),例題設(shè)置中注重與實(shí)際生活了解,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)
10、值,在教學(xué)中注意觀察學(xué)生是否置身于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中,是否興趣濃厚、探究積極,并愿意與老師、同伴交流自己的想法.通過學(xué)生回答問題,舉例,歸納總結(jié)等方面反饋學(xué)生對知識的理解和運(yùn)用.教師根據(jù)反饋信息適時(shí)點(diǎn)撥,同時(shí)從新課標(biāo)評價(jià)理念出發(fā),鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)表自己的觀點(diǎn)、充分質(zhì)疑,并抓住學(xué)生在語言、思想等方面的亮點(diǎn)給予表揚(yáng),樹立自信心,幫助他們積極向上.讓學(xué)生學(xué)以致用,真正感受到數(shù)學(xué)無窮的魅力所在.
成功之處:①學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題,分析問題,解決問題,這一過程遵循由特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生歸納,抽象的能力. ②通過實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力,讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識在解決實(shí)際問題中的作用,同時(shí)加深對所學(xué)知識的理解.
改進(jìn)之處:本節(jié)課理解應(yīng)用的內(nèi)容有點(diǎn)偏多,可根據(jù)不同班級的學(xué)生情況適當(dāng)進(jìn)行刪減.
四、教學(xué)點(diǎn)評
通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題.通過概念的構(gòu)建,培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括等合情推理能力.再通過實(shí)際應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力和學(xué)以致用的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.“授之以魚,不如授之以漁”,注重發(fā)揮學(xué)生的主體性,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題.
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