淺析限制排中律適用范圍的命題演算 在經(jīng)典命題演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直覺主義斷然否定排中律的普遍有 效性，在直覺主義命題演算中，不矛盾律普遍有效，排中律無效。直覺主義的創(chuàng)始人布勞維 (L. E. J. Brouwer)認(rèn)為：排中律是從有限事物中概括出來的，任何一個(gè)涉及有限事物全體的命 題，總是可以通過對(duì)這些事物逐一地加以驗(yàn)證，來判明該命題的真?zhèn)?，這時(shí)排中律是有效的。 但是如果忘記了排中律的有限來源，把排中律視為先于和高于數(shù)學(xué)的某種普遍適用的法則， 并將它運(yùn)用于無限的場合，就會(huì)犯錯(cuò)誤。這是因?yàn)閷?duì)于無限的事物，往往不可能(哪怕是原則 上)對(duì)它們一一加以鑒別。[1] 49然而，經(jīng)典命題演算認(rèn)排中律為普遍有效式，這固然與直 觀相違;直覺主義命題演算認(rèn)排中律為無效式，亦與直觀不盡相符。從直觀上看，正如布勞維 所認(rèn)為的那樣，排中律對(duì)且只對(duì)有限事物有效;但無論是經(jīng)典命題演算，還是直覺主義命題演 算，都沒有框定排中律的適用范圍。鑒于此，本文擬對(duì)經(jīng)典命題演算做適當(dāng)改動(dòng)，構(gòu)造一個(gè) 限制排中律適用范圍的命題演算系統(tǒng)PC5。 命題演算系統(tǒng)PC5及其可靠性、完全性 (一)PC5的語法和語義 初始符號(hào)：甲、pl, p2, p3,, pm,, m為自然數(shù)；乙、「,丙、(，)。 在陳述形成規(guī)則以前，我們先引進(jìn)一些語法語言的符號(hào)并作如下說明： (1)Q、R、S代表任一甲類符號(hào)。 (2)X、Y、Z代表任一符號(hào)序列。 (3)A、B、C、D、E代表任一合式公式。 (4)語法符號(hào)卜寫在任一公式之前，它表示緊接在后面的公式是本系統(tǒng)所要肯定的。 形成規(guī)則： (1)若X是甲類符號(hào)，則「X、-] X是合式公式。 (2)若X是合式公式，則「X、1 X是合式公式。 (3)若X和Y都是合式公式，貝hXY)是合式公式。 (4)只有適合以上三條的符號(hào)序列是合式公式。 定義： (甲)(AB)定義為J AB)o (乙)(AB)定義為 1 (n A-i B) o (丙)(AB)定義為((AB) (BA)) , 括號(hào)省略規(guī)則： (甲)最外而的一對(duì)括號(hào)可以省略。 (乙)真值聯(lián)結(jié)詞的結(jié)合力依下列次序而遞增：，，，「，-1 O 公理： 公理1： Faa； 公理2：卜AB; 公理3： Fab 公理 4： F(BC)BC)； 公理5：卜I-A 公理 6： |—? ( rQ-] Q)。 變形規(guī)則： (1)分離規(guī)則，從卜A和卜1 AB可得卜 (2)定義置換規(guī)則，定義的左右兩方可相互替換。設(shè)原公式為A,替換后所得公式為B, 則從卜A可 得FBo 公式的級(jí)的遞歸定義： (1)若X是甲類符號(hào)，則廠X和-I X均為原子公式，原子公式是1級(jí)公式。 (2)若X是m級(jí)公式，則廠X和1X均為m+1級(jí)公式。 (3)若X是m級(jí)公式，Y是n級(jí)公式，且mn,則XY、YX、XY、YX、XY、YX、XY、 YX均為m級(jí)公式。 對(duì)引入0級(jí)命題變項(xiàng)和肯定詞符號(hào)的一點(diǎn)說明 如前文所述，0級(jí)命題變項(xiàng)代表任意的0級(jí)命題。0級(jí)命題就是不包含肯定詞或否定詞 的命題。這里有一點(diǎn)需要說明，邏輯學(xué)界有一種普遍流行的觀點(diǎn)，這種觀點(diǎn)認(rèn)為任何命題都 肯定了自身。按照這種觀點(diǎn)，人們必須承認(rèn)：第一，任何命題都隱含著肯定詞;第二，一個(gè)命 題與肯定該命題而形成的命題是等值的。這樣一來，也就不存在。級(jí)命題了。 筆者認(rèn)為，上述普遍流行的觀點(diǎn)頗值得商榷。首先，沒有任何理由可以證明任何命題都 肯定了自身。 其次，有些命題很難說肯定了自身。例如，命題甲圓周率的小數(shù)表達(dá)式3. 1415926中有 七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5就很難說肯定了自身。是一個(gè)無理數(shù)，即無限的不循環(huán)的小數(shù)。到目前為 I匕 我們還沒有發(fā)現(xiàn)（或證明）的小數(shù)展開式中有七個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的5,因而不能肯定命題甲； 我們也無法論證一定沒有這樣一個(gè)特性，因而也不能否定命題甲[1] 49~50。如果命題甲肯 定了自身，那么只要提出命題甲，就提出了對(duì)命題甲的肯定。這與命題甲雖已提出來但到目 前為止還未被肯定這一事實(shí)顯然不符。再次，一個(gè)命題與肯定該命題而形成的命題是等值的 只是邏輯學(xué)的一個(gè)公設(shè)，基于這一公設(shè)，肯定詞在任何情況下都可以隨意消除，人們?cè)跇?gòu)造 命題演算系統(tǒng)時(shí)根本無需引入肯定詞，這就造成了在現(xiàn)代邏輯中對(duì)肯定詞和否定詞的研窕極 為不平衡的奇特現(xiàn)象：人們建立了多種多樣的命題演算系統(tǒng)來刻畫否定詞的邏輯意義，區(qū)分 了不同種類的否定（如經(jīng)典否定、直覺主義否定、弗協(xié)調(diào)否定等）[3] 476~477;但人們對(duì)肯定 詞的邏輯意義卻極少關(guān)注。然而，值得提出的是，上述公設(shè)從未得到過系統(tǒng)外的預(yù)先證明。 鑒于此，本文所建構(gòu)的形式系統(tǒng)在限制上述公設(shè)適用范圍的基礎(chǔ)上引入了0級(jí)命題變項(xiàng)和肯 定詞符號(hào)。