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1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)
直線和圓
一.直線的傾斜角:
1.定義:在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與軸相交的直線,如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為,那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí),規(guī)定傾斜角為0;
2.傾斜角的范圍。如
(1)直線的傾斜角的范圍是____
(答:);
(2)過點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______
(答:)
二.直線的斜率:
1.定義:傾斜角不是90的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即=tan(≠90);傾斜角為90的直線沒有斜率;(
2.斜率公式:經(jīng)過兩點(diǎn)、的直線的斜率為;
3.直
2、線的方向向量,直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系?
4.應(yīng)用:證明三點(diǎn)共線: 。如
(1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件
(答:既不充分也不必要);
(2)實(shí)數(shù)滿足 (),則的最大值、最小值分別為______
(答:)
三.直線的方程:
1.點(diǎn)斜式:已知直線過點(diǎn)斜率為,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。
2.斜截式:已知直線在軸上的截距為和斜率,則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。
3.兩點(diǎn)式:已知直線經(jīng)過、兩點(diǎn),則直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。
4.截距式:已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為,它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直
3、線和過原點(diǎn)的直線。
5.一般式:任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式。如
(1)經(jīng)過點(diǎn)(2,1)且方向向量為=(-1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是___________
(答:);
(2)直線,不管怎樣變化恒過點(diǎn)______
(答:);
(3)若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn),則的取值范圍是_______
(答:)
提醒:(1)直線方程的各種形式都有局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,還有截距式呢?);(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn);直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn);直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過原
4、點(diǎn)。如過點(diǎn),且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有___條(答:3)
四.設(shè)直線方程的一些常用技巧:
1.知直線縱截距,常設(shè)其方程為;
2.知直線橫截距,常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線);
3.知直線過點(diǎn),當(dāng)斜率存在時(shí),常設(shè)其方程為,當(dāng)斜率不存在時(shí),則其方程為;
4.與直線平行的直線可表示為;
5.與直線垂直的直線可表示為.
提醒:求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式,利用待定系數(shù)法求解。
五.點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離:
(1)點(diǎn)到直線的距離;
(2)兩平行線間的距離為。
六.直線與直線的位置關(guān)系:
1.平行(斜率)且(在軸上截距);
2.相交;
5、
3.重合且。
提醒:(1) 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件!為什么?(2)在解析幾何中,研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí),有可能這兩條直線重合,而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線;(3)直線與直線垂直。
如(1)設(shè)直線和,當(dāng)=_______時(shí)∥;當(dāng)=________時(shí);當(dāng)_________時(shí)與相交;當(dāng)=_________時(shí)與重合
(答:-1;;;3);
(2)已知直線的方程為,則與平行,且過點(diǎn)(—1,3)的直線方程是______
(答:);
(3)兩條直線與相交于第一象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____
(答:);
(4)設(shè)分別是△ABC中∠A、∠B、∠
6、C所對(duì)邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是____
(答:垂直);
(5)已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn),是直線外一點(diǎn),則方程=0所表示的直線與的關(guān)系是____
(答:平行);
(6)直線過點(diǎn)(1,0),且被兩平行直線和所截得的線段長為9,則直線的方程是________
(答:)
七.到角和夾角公式:
1.到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角,且tan=();
(2)與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。
提醒:解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識(shí)求解。如
已知點(diǎn)M是直線與軸的交點(diǎn),把直線繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45,得到的直線方程是______
(答:)
八
7、.對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)問題——代入法:如
(1)已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱,點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_______
(答:)
(2)已知直線與的夾角平分線為,若的方程為,那么的方程是___________
(答:);
(3)點(diǎn)A(4,5)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,7),則的方程是_________
(答:);
(4)已知一束光線通過點(diǎn)A(-3,5),經(jīng)直線:3x-4y+4=0反射。如果反射光線通過點(diǎn)B(2,15),則反射光線所在直線的方程是_________
(答:);
(5)已知ΔABC頂點(diǎn)A(3,-1),AB邊上的中線所在直線的方程為6
8、x+10y-59=0,∠B的平分線所在的方程為x-4y+10=0,求BC邊所在的直線方程
(答:);
(6)直線2x―y―4=0上有一點(diǎn)P,它與兩定點(diǎn)A(4,-1)、B(3,4)的距離之差最大,則P的坐標(biāo)是______
(答:(5,6));
(7)已知軸,,C(2,1),周長的最小值為______
(答:)。
提醒:在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。
九.簡單的線性規(guī)劃:
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域:①法一:先把二元一次不等式改寫成或的形式,前者表示直線的上方區(qū)域,后者表示直線的下方區(qū)域;法二:用特殊點(diǎn)判斷;②無等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線,有等號(hào)時(shí)用實(shí)線
9、表示包含直線;③設(shè)點(diǎn),,若與同號(hào),則P,Q在直線的同側(cè),異號(hào)則在直線的異側(cè)。如
已知點(diǎn)A(—2,4),B(4,2),且直線與線段AB恒相交,則的取值范圍是__________
(答:)
2.線性規(guī)劃問題中的有關(guān)概念:
①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。
②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù),關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù);
③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,稱為線性規(guī)劃問題;
④滿足線性約束條件的解()叫可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域;
⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解;
3.求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么?①根據(jù)
10、實(shí)際問題的約束條件列出不等式;②作出可行域,寫出目標(biāo)函數(shù);③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置,從而獲得最優(yōu)解。如
(1)線性目標(biāo)函數(shù)z=2x-y在線性約束條件下,取最小值的最優(yōu)解是____
(答:(-1,1));
(2)點(diǎn)(-2,)在直線2x-3y+6=0的上方,則的取值范圍是_________
(答:);
(3)不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________
(答:8);
(4)如果實(shí)數(shù)滿足,則的最大值_________
(答:21)
4.在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意:①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程;②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范。
十.圓的方程:
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:。
2.圓的一般方程
11、:,特別提醒:只有當(dāng)時(shí),方程才表示圓心為,半徑為的圓(二元二次方程表示圓的充要條件是什么? (且且));
3.圓的參數(shù)方程:(為參數(shù)),其中圓心為,半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元:;
。
4.為直徑端點(diǎn)的圓方程如
(1)圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱,則圓C的方程為____________
(答:);
(2)圓心在直線上,且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________
(答:或);
(3)已知是圓(為參數(shù),上的點(diǎn),則圓的普通方程為________,P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_______,過P點(diǎn)的圓的切線方程是___________
(答:;;);
(4)如果直線將圓:x2+y
12、2-2x-4y=0平分,且不過第四象限,那么的斜率的取值范圍是__
(答:[0,2]);
(5)方程x2+y2-x+y+k=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____
(答:);
(6)若(為參數(shù),,,若,則b的取值范圍是_________
(答:)
十一.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:已知點(diǎn)及圓,
(1)點(diǎn)M在圓C外;
(2)點(diǎn)M在圓C內(nèi);
(3)點(diǎn)M在圓C上。如
點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______(答:)
十二。直線與圓的位置關(guān)系:
直線和圓有相交、相離、相切??蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來判斷:
(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程
13、聯(lián)立所得方程組的解的情況):相交;相離;相切;
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小):設(shè)圓心到直線的距離為,則相交;相離;相切。提醒:判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷。如
(1)圓與直線,的位置關(guān)系為____
(答:相離);
(2)若直線與圓切于點(diǎn),則的值____
(答:2);
(3)直線被曲線所截得的弦長等于
(答:);
(4)一束光線從點(diǎn)A(-1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是
(答:4);
(5)已知是圓內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線,則
A.,且與圓相交 B.,且與圓相
14、交
C.,且與圓相離 D.,且與圓相離
(答:C);
(6)已知圓C:,直線L:。①求證:對(duì),直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn);②設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn),若,求L的傾斜角;③求直線L中,截圓所得的弦最長及最短時(shí)的直線方程.
(答:②或 ?、圩铋L:,最短:)
十三.圓與圓的位置關(guān)系(用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷):已知兩圓的圓心分別為,半徑分別為,則
(1)當(dāng)時(shí),兩圓外離;
(2)當(dāng)時(shí),兩圓外切;
(3)當(dāng)時(shí),兩圓相交;
(4)當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)切;
(5)當(dāng)時(shí),兩圓內(nèi)含。如
雙曲線的左焦點(diǎn)為F1,頂點(diǎn)為A1、A2,P是雙曲線右支上任意一點(diǎn),則分別以線段PF1、
15、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為
(答:內(nèi)切)
十四.圓的切線與弦長:
(1)切線:①過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是:,過圓上一點(diǎn)圓的切線方程是:,一般地,如何求圓的切線方程?(抓住圓心到直線的距離等于半徑);②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條,可先設(shè)切線方程,再根據(jù)相切的條件,運(yùn)用幾何方法(抓住圓心到直線的距離等于半徑)來求;③過兩切點(diǎn)的直線(即“切點(diǎn)弦”)方程的求法:先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓,該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點(diǎn)的直線方程;③切線長:過圓()外一點(diǎn)所引圓的切線的長為();如
設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn),PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點(diǎn)的軌跡方程為__________
(答:);
(2)弦長問題:①圓的弦長的計(jì)算:常用弦心距,弦長一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來解:;②過兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為,當(dāng)時(shí),方程為兩圓公共弦所在直線方程.。
十五.解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí),要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形,切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)!