概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié) 直線和圓 一．直線的傾斜角： 1．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線與軸重合或平行時(shí)，規(guī)定傾斜角為0； 2．傾斜角的范圍。如 （1）直線的傾斜角的范圍是____ （答：）； （2）過(guò)點(diǎn)的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______ （答：） 二．直線的斜率： 1．定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90)；傾斜角為90的直線沒(méi)有斜率；（ 2．斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的斜率為； 3．直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關(guān)系？ 4．應(yīng)用：證明三點(diǎn)共線： 。如 (1) 兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件 （答：既不充分也不必要）； （2）實(shí)數(shù)滿足 ()，則的最大值、最小值分別為_(kāi)_____ （答：） 三．直線的方程： 1．點(diǎn)斜式：已知直線過(guò)點(diǎn)斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 2．斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。 3．兩點(diǎn)式：已知直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線。 4．截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過(guò)原點(diǎn)的直線。 5．一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時(shí)為0)的形式。如 （1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點(diǎn)斜式方程是___________ （答：）； （2）直線，不管怎樣變化恒過(guò)點(diǎn)______ （答：）； （3）若曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是_______ （答：） 提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)。如過(guò)點(diǎn)，且縱橫截距的絕對(duì)值相等的直線共有___條（答：3） 四．設(shè)直線方程的一些常用技巧： 1．知直線縱截距，常設(shè)其方程為； 2．知直線橫截距，常設(shè)其方程為(它不適用于斜率為0的直線)； 3．知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，常設(shè)其方程為，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則其方程為； 4．與直線平行的直線可表示為； 5．與直線垂直的直線可表示為. 提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當(dāng)選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。 五．點(diǎn)到直線的距離及兩平行直線間的距離： （1）點(diǎn)到直線的距離； （2）兩平行線間的距離為。 六．直線與直線的位置關(guān)系： 1．平行（斜率）且（在軸上截距）； 2．相交； 3．重合且。 提醒：（1） 、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；（3）直線與直線垂直。 如（1）設(shè)直線和，當(dāng)＝_______時(shí)∥；當(dāng)＝________時(shí)；當(dāng)_________時(shí)與相交；當(dāng)＝_________時(shí)與重合 （答：－1；；；3）； （2）已知直線的方程為，則與平行，且過(guò)點(diǎn)（—1，3）的直線方程是______ （答：）； （3）兩條直線與相交于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____ （答：）； （4）設(shè)分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是____ （答：垂直）； （5）已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線外一點(diǎn)，則方程＝0所表示的直線與的關(guān)系是____ （答：平行）； （6）直線過(guò)點(diǎn)（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長(zhǎng)為9，則直線的方程是________ （答：） 七．到角和夾角公式： 1．到的角是指直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=()； （2）與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。 提醒：解析幾何中角的問(wèn)題常用到角公式或向量知識(shí)求解。如 已知點(diǎn)M是直線與軸的交點(diǎn)，把直線繞點(diǎn)M逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45，得到的直線方程是______ （答：） 八．對(duì)稱（中心對(duì)稱和軸對(duì)稱）問(wèn)題——代入法：如 （1）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)______ （答：） （2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是___________ （答：）； （3）點(diǎn)Ａ（４，５）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________ （答：）； （4）已知一束光線通過(guò)點(diǎn)Ａ（－３，５），經(jīng)直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過(guò)點(diǎn)Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________ （答：）； （5）已知ΔABC頂點(diǎn)A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程 （答：）； （6）直線2x―y―4=0上有一點(diǎn)Ｐ，它與兩定點(diǎn)Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標(biāo)是______ （答：（5,6））； （7）已知軸，，C（2，1），周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____ （答：）。 提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對(duì)稱求解。 九．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃： 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；②無(wú)等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線；③設(shè)點(diǎn)，，若與同號(hào)，則P，Q在直線的同側(cè)，異號(hào)則在直線的異側(cè)。如 已知點(diǎn)A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________ （答：） 2．線性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念： ①滿足關(guān)于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。 ②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)； ③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題； ④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解； 3．求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)；③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如 （1）線性目標(biāo)函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____ （答：（－1，1））； （2）點(diǎn)（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________ （答：）； （3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________ （答：8）； （4）如果實(shí)數(shù)滿足，則的最大值_________ （答：21） 4．在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范。 十．圓的方程： 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：。 2．圓的一般方程：，特別提醒：只有當(dāng)時(shí)，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？ （且且））； 3．圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應(yīng)用是三角換元：； 。 4．為直徑端點(diǎn)的圓方程如 （1）圓C與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓C的方程為_(kāi)___________ （答：）； （2）圓心在直線上，且與兩坐標(biāo)軸均相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________ （答：或）； （3）已知是圓（為參數(shù)，上的點(diǎn)，則圓的普通方程為_(kāi)_______，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為_(kāi)______，過(guò)P點(diǎn)的圓的切線方程是___________ （答：；；）； （4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過(guò)第四象限，那么的斜率的取值范圍是__ （答：[0，2]）； （5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)___ （答：）； （6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________ （答：） 十一．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：已知點(diǎn)及圓， （1）點(diǎn)M在圓C外； （2）點(diǎn)M在圓C內(nèi)； （3）點(diǎn)M在圓C上。如 點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：） 十二。直線與圓的位置關(guān)系： 直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個(gè)方面來(lái)判斷： （1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切； （2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O(shè)圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡(jiǎn)捷。如 （1）圓與直線，的位置關(guān)系為_(kāi)___ （答：相離）； （2）若直線與圓切于點(diǎn)，則的值____ （答：2）； （3）直線被曲線所截得的弦長(zhǎng)等于 （答：）； （4）一束光線從點(diǎn)A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 （答：4）； （5）已知是圓內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)有以為中點(diǎn)的弦所在直線和直線，則 　　A．，且與圓相交 　 B．，且與圓相交 　　C．，且與圓相離 D．，且與圓相離 （答：C）； （6）已知圓C：，直線L：。①求證：對(duì)，直線L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；②設(shè)L與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長(zhǎng)及最短時(shí)的直線方程. （答：②或　?、圩铋L(zhǎng)：，最短：） 十三．圓與圓的位置關(guān)系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關(guān)系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則 （1）當(dāng)時(shí)，兩圓外離； （2）當(dāng)時(shí)，兩圓外切； （3）當(dāng)時(shí)，兩圓相交； （4）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切； （5）當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含。如 雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關(guān)系為 （答：內(nèi)切） 十四．圓的切線與弦長(zhǎng)： (1)切線：①過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，過(guò)圓上一點(diǎn)圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點(diǎn)引圓的切線一定有兩條，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運(yùn)用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來(lái)求；③過(guò)兩切點(diǎn)的直線（即“切點(diǎn)弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程；③切線長(zhǎng)：過(guò)圓（）外一點(diǎn)所引圓的切線的長(zhǎng)為（）；如 設(shè)A為圓上動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|=1，則P點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________ （答：）； （2）弦長(zhǎng)問(wèn)題：①圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算：常用弦心距，弦長(zhǎng)一半及圓的半徑所構(gòu)成的直角三角形來(lái)解：；②過(guò)兩圓、交點(diǎn)的圓(公共弦)系為，當(dāng)時(shí)，方程為兩圓公共弦所在直線方程.。 十五．解決直線與圓的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)!