1.(2)范圍：范圍：20，(1)定義：設定義：設a、b是異面直線，過是異面直線，過空間任一點空間任一點O引引 ，則，則 所成的銳角所成的銳角(或直角或直角)，叫，叫做異面直線做異面直線a、b所成的角所成的角.ba，abba/，（3）求法：）求法：平移法平移法; 向量法向量法設直線設直線AB和和CD所成的角為所成的角為 ，則：，則：coscos|ABCD ，2.(3)范圍：范圍：20，(1)(1)定義：平面的一條斜線和它在平定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條斜線面上的射影所成的銳角，叫這條斜線和這個平面所成的角和這個平面所成的角(2)若直線若直線l 平面平面，則，則 l 與與所成角為直所成角為直角角 若直線若直線l平面平面，或直線，或直線l平面平面，則，則l與與所成角為所成角為0定義法的定義法的具體步驟如下：具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結垂足和斜足，得出斜線在平面的連結垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算。把該角置于三角形中計算。 （4）求法）求法:定義法定義法sin|s|coAB m ， 設設 是平面是平面 的一個法向量，直線的一個法向量，直線AB與平面與平面 所成的角為所成的角為 ，則：，則： m 105PA ABADCD (1)在矩形在矩形ABCD中，連接中，連接BE，因為因為AB=2AD，E為為CD的中點，的中點，所以所以AD=DE，EAB=45，從而從而EBA=45，故，故AEEB.過過D作作DOAE于于O.因為平面因為平面ADE平面平面 ABCE，所以所以DO平面平面ABCE，所以，所以DOBE.又又AEDO=O，所以，所以BE平面平面ADE.可知可知AE為為AB在平面在平面ADE上的射影，上的射影，從而從而BAE為為AB與平面與平面ADE所成的角所成的角,大大小為小為45.(2)由由(1)可知，可知，DO平面平面ABCE，BEAE，過過O作作OFBE，以，以O為原點，為原點，OA、OF、OD分別為分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角坐軸建立空間直角坐標系標系,則則D(0,0, ),E(- ,0,0),B(-2,2 ,0), C(-2 ,2,0).2222設平面設平面CDE的法向量的法向量n=(x,y,z).又又 =(2 ,- ,2)， =( ,- ,0)， n =2 x- y+ z=0 z=-x n = x- y=0 y=x.取取x=1，得，得n=(1,1,-1).又又 =(- ,2 ,- )，cosn, = = .則則BD與平面與平面CDE所成角的正弦值為所成角的正弦值為 .2CD 2CE 22則則CD CE 22222，得，得DB 222DB 1 (2) 1 2 2( 1) (2)32 3 2323,，BCCDSDSAB 平面（2011全國）如圖，四棱錐全國）如圖，四棱錐S-ABCD中，中，側面，側面SAB為等邊三為等邊三（）證明：）證明：（）求）求AB與平面與平面SBC所成角的正弦值所成角的正弦值角形，角形，AB=BC=2,CD=SD=1./ABCDADBCS二面角的定義：從二面角的定義：從一條直線一條直線出發(fā)的兩個出發(fā)的兩個半半平面平面組成的圖形叫做二面角組成的圖形叫做二面角復習：復習： 二面角二面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.O向量法向量法. .21,nn21,nnABCDEFOPxyz1(0,0)2 3(0,0)23(,0,0)23(0,0)2四四、教學過程的設計與實施教學過程的設計與實施總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的夾角；向量的夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結果銳角或鈍角，得出問題的結果3,2,2,2 2,60 .ABADPAPDPAB ABCDP3942 34,PB 1534.17CF ACBPFE532（11湖南理湖南理19）如圖，在圓錐）如圖，在圓錐PO中，已知中，已知PO=D為為AC的中點的中點（）證明：平面）證明：平面POD（）求二面角）求二面角B-PA-C的余弦值。的余弦值。， O的直徑的直徑AB=2,C是是AB弧的中點，弧的中點，平面平面PAC;AC 5 ,6 .FBFDa EFaAEC22,33FQFE FRFBxyzCRABFDQE2 29291、 lMABAMB為二面角為二面角 -l- 的平面角的平面角.ABFoCDE1o8210 xyz(0,0,0)(6,0,0)(0,0,8)(6,6,0)(3,3,8)M例例1.（06年江西卷）如圖，在三棱錐年江西卷）如圖，在三棱錐ABCD中，中，側面?zhèn)让鍭BD、ACD是全等的直角三角形，是全等的直角三角形，AD是公是公共的斜邊，且共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個，另一個側面是正三角形，求二面角側面是正三角形，求二面角BACD的余弦值的余弦值.ABCD33N222MADNBMN2,MACMN/CD61113,.222226cos,236arccos.3BMACMNACBACDABACBCBMMNCDBNADBMMNBNBMNBM MNBMN作于，作交于 ，則就是二面角的平面角由是的中點，且得由余弦定理得：則解 ，2PAPD（11廣東理廣東理18）如圖）如圖5在椎體在椎體P-ABCD中，中， ABCD是邊長為是邊長為1的棱形，且的棱形，且DAB=600.的中點的中點（1） 證明：證明：AD ,PB=2,E,F分別是分別是BC,PC平面平面DEF;BPDAEFC（2） 求二面角求二面角P-AD-B的余弦值的余弦值 217 ABCPE 262 1515k xyz綜綜 合合 訓訓 練練111ABCA B CEF1ACCAFEtan（11湖北湖北18）如圖，已知正三棱柱）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是的各棱長都是4，E是是BC的中點，動點的中點，動點F在側在側棱棱CC1上，且不與點上，且不與點C重合重合（）當）當CF1時，求證：時，求證：（）設二面角）設二面角的大小為的大小為，求，求的最小值的最小值(2)由已知由已知PA平面平面ABC，ACAB，PABC2，AB2AC2BC24.(2)若若PABC2，當三棱錐，當三棱錐PABC的體積的體積最大時，求二面角最大時，求二面角AEFD的平面角的余弦值的平面角的余弦值當且僅當當且僅當ABAC時等號成立，時等號成立，V取得最大值，取得最大值，其值為其值為 .二面角二面角AEFD的平面角的余弦值為的平面角的余弦值為四四、教學過程的設計與實施教學過程的設計與實施總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：總結出利用法向量求二面角大小的一般步驟：1）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；）建立坐標系，寫出點與向量的坐標；2）求出平面的法向量，進行向量運算求出法）求出平面的法向量，進行向量運算求出法向量的夾角；向量的夾角；3）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是）通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結果銳角或鈍角，得出問題的結果學例2 (2008山東卷山東卷)如圖，已知四棱錐如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD為菱形，為菱形，PA平面平面ABCD，ABC=60,E、F分別是分別是BC、PC的中點的中點. （1）證明：證明：AEPD； （2）若若H為為PD上的動點，上的動點， EH與平面與平面PAD所成最大角的正切值為所成最大角的正切值為 ，求二面角求二面角E-AF-C的余弦值的余弦值.62 （1）證明：由四邊形證明：由四邊形ABCD為菱形，為菱形，ABC=60，可得，可得ABC為正三角形為正三角形.因為因為E為為BC的中點，所以的中點，所以AEBC，又又BCAD，因此，因此AEAD.因為因為PA平面平面ABCD，AE平面平面ABCD，所以所以PAAE.而而PA平面平面PAD,AD平面平面PAD,且且PAAD=A，所以所以AE平面平面PAD.又又PD平面平面PAD，所以，所以AEPD. (2)設設AB=2，H為為PD上任意一點，連接上任意一點，連接AH、EH.由由(1)知，知，AE平面平面PAD，則，則EHA為為EH與平面與平面PAD所成的角所成的角.在在RtEAH中，中，AE= ，所以當所以當AH最短時，最短時，EHA最大，最大，即當即當AHPD時，時，EHA最大最大.此時此時tanEHA= = = ,因此因此AH= .又又AD=2，所以，所以ADH=45，所以所以PA=2.3AEAH3AH622(方法一方法一)因為因為PA平面平面ABCD,PA平面平面PAC，所以平面所以平面PAC平面平面ABCD.過過E作作EOAC于于O，則，則EO平面平面PAC.過過O作作OSAF于于S，連，連接接ES，則，則ESO為二面角為二面角E-AF-C的平面角，的平面角， 在在RtAOE中，中，EO=AEsin30= ， AO=AEcos30= . 在在RtASO中，中，SO=AOsin45= . 因為因為SE= = = , 所以在所以在RtESO中中,cosESO= = = . 即所求二面角的余弦值為即所求二面角的余弦值為 . 32323 2422EOSO 3948 3043 24304SOSE155155（方法二）（方法二）由（由（1）知）知AE、AD、AP兩兩垂直兩兩垂直.以以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又坐標系，又E、F分別為分別為BC、PC的中點，的中點，所以有所以有A(0，0，0),B( ，-1，0)，C( ，1，0),D(0，2，0),P(0，0，2),E( ，0，0),F( ,12,1),所以所以 =( ,0,0), =( , ,1).33332AE 3AF 3212設平面設平面AEF的一法向量為的一法向量為m=(x1,y1,z1), m =0 x1=0 m =0 x1+ y1+z1=0.取取z1=-1，則，則m=(0,2,-1).因為因為BDAC，BDPA，PAAC=A,所以所以BD平面平面AFC，故故 為平面為平面AFC的一法向量的一法向量.又又 =(- ,3,0）,所以所以cosm, = = = .因為二面角因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的為銳角，所以所求二面角的余弦值為余弦值為 .則則AE AF,因此因此33212BD BD 3BD | |m BDmBD 2 3512 155155