《現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法》研究生課件,現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論與方法,現(xiàn)代,設(shè)計(jì),理論,方法,研究生,課件 第第2章章 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)(1)Optimal Design第第2章章 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。它以是現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法的重要內(nèi)容之一。它以數(shù)學(xué)規(guī)劃論數(shù)學(xué)規(guī)劃論數(shù)學(xué)規(guī)劃論數(shù)學(xué)規(guī)劃論為為理論基礎(chǔ)，以理論基礎(chǔ)，以電子計(jì)算機(jī)電子計(jì)算機(jī)電子計(jì)算機(jī)電子計(jì)算機(jī)為工具，在充分考慮多種設(shè)計(jì)約束的前提為工具，在充分考慮多種設(shè)計(jì)約束的前提下，尋求滿足某項(xiàng)預(yù)定目標(biāo)的下，尋求滿足某項(xiàng)預(yù)定目標(biāo)的最佳設(shè)計(jì)方案最佳設(shè)計(jì)方案的一種設(shè)計(jì)方法。的一種設(shè)計(jì)方法。本章本章本章本章主要介紹了主要介紹了如下方面內(nèi)容如下方面內(nèi)容如下方面內(nèi)容如下方面內(nèi)容：內(nèi)容簡(jiǎn)介內(nèi)容簡(jiǎn)介 優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念及數(shù)學(xué)模型的建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念及數(shù)學(xué)模型的建立 常用的一維優(yōu)化方法常用的一維優(yōu)化方法 多維無約束優(yōu)化方法多維無約束優(yōu)化方法 約束優(yōu)化方法約束優(yōu)化方法 多目標(biāo)優(yōu)化方法多目標(biāo)優(yōu)化方法 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般步驟及設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般步驟及設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例2.1 概述概述2.1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)（Optimal DesignOptimal Design）是是20世紀(jì)世紀(jì)60年代發(fā)展起來的一種年代發(fā)展起來的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。它是將現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。它是將最優(yōu)化原理最優(yōu)化原理最優(yōu)化原理最優(yōu)化原理和和計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)計(jì)算機(jī)技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法。利用這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)者就可利用這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)者就可從從眾多的設(shè)計(jì)方案眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出中尋找出最最最最佳設(shè)計(jì)方案佳設(shè)計(jì)方案佳設(shè)計(jì)方案佳設(shè)計(jì)方案，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和質(zhì)量，因此優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代是現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)設(shè)計(jì)領(lǐng)域和各種產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。域和各種產(chǎn)品設(shè)計(jì)中。所謂所謂優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)，就是在規(guī)定的設(shè)計(jì)限制條件下，運(yùn)用就是在規(guī)定的設(shè)計(jì)限制條件下，運(yùn)用最優(yōu)化原最優(yōu)化原最優(yōu)化原最優(yōu)化原理理理理和和方法方法方法方法將實(shí)際將實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題工程設(shè)計(jì)問題工程設(shè)計(jì)問題工程設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題最優(yōu)化問題，然后以，然后以計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)為為工具進(jìn)行工具進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算尋優(yōu)計(jì)算，在全部可行設(shè)計(jì)方案中，尋求滿足預(yù)定設(shè)計(jì)目，在全部可行設(shè)計(jì)方案中，尋求滿足預(yù)定設(shè)計(jì)目標(biāo)的標(biāo)的最佳設(shè)計(jì)方案最佳設(shè)計(jì)方案最佳設(shè)計(jì)方案最佳設(shè)計(jì)方案。進(jìn)行進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)：時(shí)：首先首先首先首先必須將必須將實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述實(shí)際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成一組由，形成一組由數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式組成組成的的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型；然然然然后后后后選擇一種選擇一種最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法和和計(jì)算機(jī)程序計(jì)算機(jī)程序，在，在計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)上進(jìn)上進(jìn)行行尋優(yōu)運(yùn)算求解尋優(yōu)運(yùn)算求解，得到，得到一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)一組最佳的設(shè)計(jì)參數(shù)。這組設(shè)計(jì)參數(shù)這組設(shè)計(jì)參數(shù)這組設(shè)計(jì)參數(shù)這組設(shè)計(jì)參數(shù)就是就是設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)的最優(yōu)解的最優(yōu)解的最優(yōu)解的最優(yōu)解。與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不同，與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不同，優(yōu)化設(shè)計(jì)過程優(yōu)化設(shè)計(jì)過程一般分為一般分為如下四步如下四步：設(shè)計(jì)課題分析設(shè)計(jì)課題分析 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型 選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法 上機(jī)電算求解上機(jī)電算求解 獲得最優(yōu)解獲得最優(yōu)解（）（）建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型：將將工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題用用數(shù)學(xué)方程式數(shù)學(xué)方程式數(shù)學(xué)方程式數(shù)學(xué)方程式的形式予以全面地、準(zhǔn)確地描的形式予以全面地、準(zhǔn)確地描述，即建立述，即建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。（）（）設(shè)計(jì)課題分析設(shè)計(jì)課題分析：通通過過對(duì)對(duì)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)課課題題的的分分析析，提提出出設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)目目目目標(biāo)標(biāo)標(biāo)標(biāo)，它它可可以以是是單單項(xiàng)項(xiàng)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)指指標(biāo)標(biāo)，也可以是多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的組合。也可以是多項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)的組合。從從技技術(shù)術(shù)經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)的的觀觀點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)，對(duì)對(duì)機(jī)機(jī)械械設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)而而言言，機(jī)機(jī)器器的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)學(xué)學(xué)和和動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)性性能能、體體積積、重重量量、效效率率、成成本本、可可靠靠性性等等都都可可以以作作為為設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)追追追追求求求求的的的的目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)目標(biāo)。然然后后分分析析設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)應(yīng)應(yīng)滿滿足足的的要要求求，主主要要的的有有：某某些些參參數(shù)數(shù)的的取取值值范范圍圍；某某種種設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)性性能能或或指指標(biāo)標(biāo)按按設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)規(guī)規(guī)范范推推導(dǎo)導(dǎo)出出的的技技術(shù)術(shù)性性能能；還還有有工工藝藝條條件件對(duì)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的限制等。設(shè)計(jì)參數(shù)的限制等。（）（）選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法選擇優(yōu)化設(shè)計(jì)方法：根據(jù)所建立的根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)方程式的性質(zhì)數(shù)學(xué)方程式的性質(zhì)、設(shè)計(jì)精度的要求設(shè)計(jì)精度的要求等選用合適等選用合適的的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并做出相應(yīng)的，并做出相應(yīng)的程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)。（）（）上機(jī)電算求解上機(jī)電算求解：將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)將所編程序及有關(guān)數(shù)據(jù)上機(jī)運(yùn)算上機(jī)運(yùn)算上機(jī)運(yùn)算上機(jī)運(yùn)算，自動(dòng)得出，自動(dòng)得出最優(yōu)值最優(yōu)值最優(yōu)值最優(yōu)值。然后對(duì)計(jì)。然后對(duì)計(jì)算結(jié)果做出分析和判斷，則得出算結(jié)果做出分析和判斷，則得出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。上述上述優(yōu)化設(shè)計(jì)過程優(yōu)化設(shè)計(jì)過程優(yōu)化設(shè)計(jì)過程優(yōu)化設(shè)計(jì)過程的四步的四步其核心是進(jìn)行如下其核心是進(jìn)行如下兩項(xiàng)工作兩項(xiàng)工作兩項(xiàng)工作兩項(xiàng)工作：一是一是一是一是分析設(shè)計(jì)任務(wù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，即分析設(shè)計(jì)任務(wù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，即建建建建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型；二是二是二是二是選用適用的優(yōu)化方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型，選用適用的優(yōu)化方法在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)模型，尋求最優(yōu)尋求最優(yōu)尋求最優(yōu)尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)方案設(shè)計(jì)方案。例例2-1 如如圖圖2-1所示，有所示，有一圓形等截面的銷軸，一端一圓形等截面的銷軸，一端固定，一端作用著集中固定，一端作用著集中載荷載荷F =1000N和轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩T=100Nm。由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度由于結(jié)構(gòu)需要，軸的長(zhǎng)度l 不不得小于得小于8cm，已知銷軸材料的，已知銷軸材料的許用彎曲應(yīng)力許用彎曲應(yīng)力W120MPa，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力=80MPa，允許撓度，允許撓度f=0.01cm，密度，密度=7.8t/m3，彈性模量彈性模量E=2105 80MPa。下面通過下面通過三個(gè)簡(jiǎn)單的三個(gè)簡(jiǎn)單的三個(gè)簡(jiǎn)單的三個(gè)簡(jiǎn)單的優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，說明，說明優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的一般形的一般形式及其有關(guān)概念。式及其有關(guān)概念。圖圖2-1 圓形等截面的銷軸圓形等截面的銷軸2.1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)要求現(xiàn)要求現(xiàn)要求現(xiàn)要求在滿足使用要求在滿足使用要求的條件下，的條件下，試設(shè)計(jì)試設(shè)計(jì)試設(shè)計(jì)試設(shè)計(jì)一個(gè)用料最?。ㄤN軸質(zhì)一個(gè)用料最省（銷軸質(zhì)量最輕）的方案。量最輕）的方案。解解：根根據(jù)據(jù)上上述述問問題題，該該銷銷軸軸的的力力力力學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)模模模模型型型型是是一一個(gè)個(gè)懸懸臂臂梁梁。設(shè)設(shè)銷銷軸軸直徑為直徑為d，長(zhǎng)度為，體積為長(zhǎng)度為，體積為V，則該問題的則該問題的物理表達(dá)式物理表達(dá)式物理表達(dá)式物理表達(dá)式如下：如下：可見可見銷軸用料銷軸用料銷軸用料銷軸用料取決于其直徑取決于其直徑 d 和長(zhǎng)度。這是一個(gè)和長(zhǎng)度。這是一個(gè)合理選擇合理選擇合理選擇合理選擇 d 和和而使體積而使體積V 最小的最小的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。(2)滿足的條件滿足的條件：強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度式剛度條件剛度條件剛度條件剛度條件：撓度表達(dá)式撓度表達(dá)式(1)銷軸用料最省銷軸用料最?。大w積最小即體積最?。航Y(jié)構(gòu)尺寸邊界條件：結(jié)構(gòu)尺寸邊界條件：將題意的有關(guān)已知數(shù)值代入，按將題意的有關(guān)已知數(shù)值代入，按優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的規(guī)范形式，可歸納為的規(guī)范形式，可歸納為如下如下數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：設(shè)設(shè)：設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化：約束條件約束條件約束條件約束條件：綜上所述綜上所述綜上所述綜上所述，這是一個(gè)具有，這是一個(gè)具有4個(gè)約束條件的二維非線性的個(gè)約束條件的二維非線性的約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題。例例2-2 現(xiàn)用薄鋼板制造一體積為現(xiàn)用薄鋼板制造一體積為5，長(zhǎng)度不小于，長(zhǎng)度不小于4m的無上蓋的無上蓋的的立方體貨箱立方體貨箱立方體貨箱立方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、寬和高的尺寸。寬和高的尺寸。解：解：分析可知，分析可知，鋼板的耗費(fèi)量鋼板的耗費(fèi)量鋼板的耗費(fèi)量鋼板的耗費(fèi)量與貨箱的表面積成正比。與貨箱的表面積成正比。設(shè)貨箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，貨箱的設(shè)貨箱的長(zhǎng)、寬、高分別為，貨箱的表面積為表面積為表面積為表面積為S S，則則該問題的該問題的物理表達(dá)式物理表達(dá)式物理表達(dá)式物理表達(dá)式為：為：(1)貨箱的貨箱的鋼板耗費(fèi)量鋼板耗費(fèi)量（即貨箱的表面積用料即貨箱的表面積用料）最少最少：可見可見貨箱的表面積貨箱的表面積貨箱的表面積貨箱的表面積取決于貨箱的長(zhǎng)度、寬度和高度取決于貨箱的長(zhǎng)度、寬度和高度 。(2)滿足的條件滿足的條件：按按優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的規(guī)范形式，可歸納為如下的規(guī)范形式，可歸納為如下數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型：設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化：約束條件約束條件約束條件約束條件：由由等式約束條件等式約束條件等式約束條件等式約束條件可知，三個(gè)設(shè)計(jì)變量中只有兩個(gè)是可知，三個(gè)設(shè)計(jì)變量中只有兩個(gè)是獨(dú)立變量獨(dú)立變量獨(dú)立變量獨(dú)立變量，即，即。所以，該問題的。所以，該問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)寫為：應(yīng)寫為：設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化：約束條件約束條件約束條件約束條件：這樣，使這樣，使該優(yōu)化問題該優(yōu)化問題該優(yōu)化問題該優(yōu)化問題的的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型更為準(zhǔn)確、精煉。更為準(zhǔn)確、精煉。例例例例2-32-3某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材某車間生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件需使用材料料9kg、3個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、4kw電，可獲利潤(rùn)電，可獲利潤(rùn)60元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材元。生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件需用材料料4kg、10個(gè)工時(shí)、個(gè)工時(shí)、5kw電，可獲利電，可獲利120元。若每天能供應(yīng)材料元。若每天能供應(yīng)材料360kg，有有300個(gè)工時(shí)，能供個(gè)工時(shí)，能供200kw電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天電。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天可能獲得的利潤(rùn)最大。可能獲得的利潤(rùn)最大。每天實(shí)際消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用以下每天實(shí)際消耗的材料、工時(shí)和電力可分別用以下約束函數(shù)約束函數(shù)約束函數(shù)約束函數(shù)表示：表示：解：解：解：解：這是一個(gè)這是一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃問題生產(chǎn)計(jì)劃問題生產(chǎn)計(jì)劃問題生產(chǎn)計(jì)劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又，可歸結(jié)為既滿足各項(xiàng)生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大的使每天所能獲得的利潤(rùn)達(dá)到最大的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。設(shè)每天生產(chǎn)的設(shè)每天生產(chǎn)的甲甲甲甲、乙兩種產(chǎn)品乙兩種產(chǎn)品乙兩種產(chǎn)品乙兩種產(chǎn)品分別為分別為 件，件，每天獲得的利潤(rùn)每天獲得的利潤(rùn)每天獲得的利潤(rùn)每天獲得的利潤(rùn)可可用用函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù) 表示，即表示，即于是于是上述生產(chǎn)計(jì)劃問題上述生產(chǎn)計(jì)劃問題的的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)寫為：應(yīng)寫為：設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化目標(biāo)函數(shù)的極小化：約束條件約束條件約束條件約束條件：（工時(shí)約束）（工時(shí)約束）（電力約束）（電力約束）（材料約束）（材料約束）由于由于目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和所有和所有約束函數(shù)約束函數(shù)約束函數(shù)約束函數(shù)均為均為設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量的的線性函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)，故此優(yōu)，故此優(yōu)化問題屬化問題屬線性約束優(yōu)化問題線性約束優(yōu)化問題線性約束優(yōu)化問題線性約束優(yōu)化問題。從以上從以上三個(gè)實(shí)例三個(gè)實(shí)例三個(gè)實(shí)例三個(gè)實(shí)例可以看出，可以看出，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型需要用需要用設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和和約束條件約束條件約束條件約束條件等基本概念才能予以完整的描述，可以寫成等基本概念才能予以完整的描述，可以寫成以下統(tǒng)以下統(tǒng)以下統(tǒng)以下統(tǒng)一形式一形式一形式一形式：求設(shè)計(jì)變量求設(shè)計(jì)變量求設(shè)計(jì)變量求設(shè)計(jì)變量(2-1)使極小化函數(shù)使極小化函數(shù)使極小化函數(shù)使極小化函數(shù)(2-2)滿足約束條件滿足約束條件滿足約束條件滿足約束條件：其中，稱為其中，稱為不等式約束條件不等式約束條件不等式約束條件不等式約束條件，稱為，稱為等式約束條件等式約束條件等式約束條件等式約束條件。若用若用向量向量向量向量表示表示設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量，表示向量表示向量X 屬于屬于n 維實(shí)歐氏空間；維實(shí)歐氏空間；用用minmin、maxmax表示極小化和極大化，表示極小化和極大化，s s.t t.（subjected to的英文縮寫）表示的英文縮寫）表示 “滿足于滿足于滿足于滿足于”，mm、p p分別表示分別表示不等式約束不等式約束不等式約束不等式約束和和等式約束等式約束等式約束等式約束的的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)。(2-3)上式上式上式上式就是就是優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的的一般表達(dá)式一般表達(dá)式一般表達(dá)式一般表達(dá)式。這一優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，稱為。這一優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，稱為約束優(yōu)約束優(yōu)約束優(yōu)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題化設(shè)計(jì)問題化設(shè)計(jì)問題化設(shè)計(jì)問題。(2-4)這一優(yōu)化問題不受任何約束，稱為這一優(yōu)化問題不受任何約束，稱為無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。式（。式（2-4）即）即為為無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題的的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式數(shù)學(xué)模型表達(dá)式數(shù)學(xué)模型表達(dá)式數(shù)學(xué)模型表達(dá)式。若上式所列若上式所列數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型內(nèi)內(nèi) m=p=0，則成為則成為上述上述優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型還還可以寫成如下可以寫成如下向量形式向量形式向量形式向量形式：當(dāng)涉及問題要當(dāng)涉及問題要求求求求極大化極大化極大化極大化 f f(X)(X)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，只要將式中目標(biāo)函數(shù)時(shí)，只要將式中目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)改寫為改寫為 f(X)即可。因?yàn)楹途哂邢嗤慕狻＜纯?。因?yàn)楹途哂邢嗤慕狻Ｍ瑯?，?dāng)同樣，當(dāng)不等式約束不等式約束為：為：“”時(shí)，只要將不等式兩端同乘時(shí)，只要將不等式兩端同乘以以“1”，即可得到，即可得到“”的一般形式。的一般形式。一個(gè)完整的規(guī)格化的一個(gè)完整的規(guī)格化的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型應(yīng)包含有應(yīng)包含有三部分內(nèi)容三部分內(nèi)容三部分內(nèi)容三部分內(nèi)容，即，即設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 X；目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)；約束條件約束條件 和。和。它們又稱為：它們又稱為：優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的三要素優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的三要素優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的三要素優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的三要素。建立出的建立出的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算機(jī)上，在計(jì)算機(jī)上求得的解求得的解求得的解求得的解稱為稱為優(yōu)化問題的最優(yōu)化問題的最優(yōu)化問題的最優(yōu)化問題的最優(yōu)解優(yōu)解優(yōu)解優(yōu)解，它包括：，它包括：最優(yōu)方案最優(yōu)方案：最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：即即優(yōu)化問題的最優(yōu)解優(yōu)化問題的最優(yōu)解優(yōu)化問題的最優(yōu)解優(yōu)化問題的最優(yōu)解由由最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案 X X*（或稱或稱最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)）和）和最優(yōu)目標(biāo)函最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值數(shù)值兩部分組成。兩部分組成。最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值是是最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)X X*帶入目標(biāo)函數(shù)帶入目標(biāo)函數(shù) 所求得的所求得的最最最最優(yōu)函數(shù)值優(yōu)函數(shù)值優(yōu)函數(shù)值優(yōu)函數(shù)值，它是，它是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的一個(gè)的一個(gè)標(biāo)量值標(biāo)量值標(biāo)量值標(biāo)量值。下面就下面就優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型三要素三要素三要素三要素的有關(guān)問題說明如下的有關(guān)問題說明如下:在在優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中需要調(diào)整和優(yōu)選的參數(shù)，稱為過程中需要調(diào)整和優(yōu)選的參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量?？煽杀硎緸椋罕硎緸椋河捎趯?shí)際工程由于實(shí)際工程設(shè)計(jì)對(duì)象設(shè)計(jì)對(duì)象設(shè)計(jì)對(duì)象設(shè)計(jì)對(duì)象的不同，則選取的的不同，則選取的設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量也就不同。也就不同。它可以是它可以是幾何參數(shù)幾何參數(shù)幾何參數(shù)幾何參數(shù)：如零件外形尺寸、截面尺寸、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)：如零件外形尺寸、截面尺寸、機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)尺寸等；也可以是尺寸等；也可以是某些物理量某些物理量某些物理量某些物理量：如零部件的重量、體積、力與力矩、：如零部件的重量、體積、力與力矩、慣性矩等；還可以是慣性矩等；還可以是代表機(jī)器工作性能的導(dǎo)出量代表機(jī)器工作性能的導(dǎo)出量代表機(jī)器工作性能的導(dǎo)出量代表機(jī)器工作性能的導(dǎo)出量：如應(yīng)力、變形等。：如應(yīng)力、變形等?？傊?，總之，設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量必須對(duì)該項(xiàng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)必須對(duì)該項(xiàng)設(shè)計(jì)性能指標(biāo)優(yōu)劣優(yōu)劣優(yōu)劣優(yōu)劣有有影響的參數(shù)影響的參數(shù)影響的參數(shù)影響的參數(shù)。設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量是一組相互獨(dú)立的基本參數(shù)。一般用向量是一組相互獨(dú)立的基本參數(shù)。一般用向量 X 來表示。來表示。設(shè)計(jì)變量的每一個(gè)分量都是相互獨(dú)立的。設(shè)計(jì)變量的每一個(gè)分量都是相互獨(dú)立的。以以n 個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間稱為個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的實(shí)數(shù)空間稱為設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間，或稱，或稱 n 維實(shí)歐式空間，用維實(shí)歐式空間，用 R Rn n 表示。表示。1.設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量 當(dāng)當(dāng) n=2 時(shí)，時(shí)，X=x1,x2T 是是二維設(shè)計(jì)向量二維設(shè)計(jì)向量；當(dāng)當(dāng) n=3 時(shí)，時(shí)，X=x1,x2,x3T 為為三維設(shè)計(jì)向量三維設(shè)計(jì)向量，設(shè)計(jì)變量，設(shè)計(jì)變量x1,x2,x3組成一個(gè)組成一個(gè)三維空間三維空間；當(dāng)當(dāng) n3 時(shí)，設(shè)計(jì)空間是一個(gè)想象的超越空間，稱時(shí)，設(shè)計(jì)空間是一個(gè)想象的超越空間，稱n維實(shí)屬空間。維實(shí)屬空間。其中二維和三維設(shè)計(jì)空間如其中二維和三維設(shè)計(jì)空間如圖圖2-2所示。所示。圖圖2-2設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間(a)(b)在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)有些設(shè)計(jì)變量的取值要求是離散型量，則稱在工程設(shè)計(jì)中，當(dāng)有些設(shè)計(jì)變量的取值要求是離散型量，則稱離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)，鋼管的直徑、鋼板的厚度等。，如齒輪的齒數(shù)、模數(shù)，鋼管的直徑、鋼板的厚度等。對(duì)于對(duì)于離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量離散設(shè)計(jì)變量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中常是先把它視為連續(xù)量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中常是先把它視為連續(xù)量，再求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用再求得連續(xù)量的優(yōu)化結(jié)果后再進(jìn)行圓整或標(biāo)準(zhǔn)化，以求得一個(gè)實(shí)用的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量的的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，稱為，稱為維數(shù)維數(shù)維數(shù)維數(shù)（自由度自由度自由度自由度），它決定了優(yōu)化問題的，它決定了優(yōu)化問題的大小范圍大小范圍大小范圍大小范圍，當(dāng)：，當(dāng)：n210 為小型優(yōu)化問題為小型優(yōu)化問題；n1050 為中型優(yōu)化問題；為中型優(yōu)化問題；n 50 為大型優(yōu)化問題為大型優(yōu)化問題。設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量連續(xù)變量連續(xù)變量和和離散變量離散變量離散變量離散變量。2.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，又稱是用來評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，又稱評(píng)價(jià)函數(shù)評(píng)價(jià)函數(shù)評(píng)價(jià)函數(shù)評(píng)價(jià)函數(shù)。它。它是是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，常記為設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，常記為 確定目標(biāo)函數(shù)確定目標(biāo)函數(shù)確定目標(biāo)函數(shù)確定目標(biāo)函數(shù)，是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最重要的決策之一。因?yàn)檫@不僅直，是優(yōu)化設(shè)計(jì)中最重要的決策之一。因?yàn)檫@不僅直接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量，而且還影響到接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量，而且還影響到優(yōu)化過程優(yōu)化過程優(yōu)化過程優(yōu)化過程。目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)可以根據(jù)工程問題的要求從可以根據(jù)工程問題的要求從不同角度不同角度來建立，例如：來建立，例如：機(jī)機(jī)械零件設(shè)計(jì)械零件設(shè)計(jì)中的重量、體積、效率、可靠性、中的重量、體積、效率、可靠性、幾何尺寸、幾何尺寸、承載能力；承載能力；機(jī)械設(shè)計(jì)機(jī)械設(shè)計(jì)中的運(yùn)動(dòng)誤差、中的運(yùn)動(dòng)誤差、功率、應(yīng)力、功率、應(yīng)力、動(dòng)力特性；動(dòng)力特性；產(chǎn)品設(shè)計(jì)產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的成本、中的成本、壽命等。壽命等。優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)就是要尋求一個(gè)就是要尋求一個(gè)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，即，即最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)X X*，從而使從而使目目目目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)達(dá)到達(dá)到最優(yōu)值最優(yōu)值最優(yōu)值最優(yōu)值。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般取最優(yōu)值為。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般取最優(yōu)值為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)的最小值的最小值。一個(gè)優(yōu)化問題，可以用一個(gè)優(yōu)化問題，可以用一個(gè)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來衡量，稱之為目標(biāo)函數(shù)來衡量，稱之為單目標(biāo)優(yōu)化單目標(biāo)優(yōu)化單目標(biāo)優(yōu)化單目標(biāo)優(yōu)化問題問題問題問題；也可以用；也可以用多個(gè)多個(gè)目標(biāo)函數(shù)來衡量目標(biāo)函數(shù)來衡量，稱之為，稱之為多目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題多目標(biāo)優(yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)可以通過目標(biāo)函數(shù)可以通過等值線等值線等值線等值線（面面面面）在設(shè)計(jì)空間中表現(xiàn)出來。在設(shè)計(jì)空間中表現(xiàn)出來?，F(xiàn)以現(xiàn)以二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題為例，來說明為例，來說明目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線(面面)的幾何意義。的幾何意義。圖圖2-3二維目標(biāo)函數(shù)的等值線二維目標(biāo)函數(shù)的等值線由于由于每一條曲線上的各點(diǎn)都具有每一條曲線上的各點(diǎn)都具有相相相相等的目標(biāo)函數(shù)值等的目標(biāo)函數(shù)值等的目標(biāo)函數(shù)值等的目標(biāo)函數(shù)值，所以，所以這些曲線這些曲線稱為稱為目目目目標(biāo)函數(shù)的等值線標(biāo)函數(shù)的等值線標(biāo)函數(shù)的等值線標(biāo)函數(shù)的等值線。如如圖圖2-3所示，所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)當(dāng)目標(biāo)函數(shù) f(x)等等于某一值于某一值ci(i=1,2,)時(shí)，就可得到時(shí)，就可得到一條等值線一條等值線一條等值線一條等值線，它是在設(shè)計(jì)平面上由，它是在設(shè)計(jì)平面上由 f(x)Ci 的的無數(shù)個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)無數(shù)個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)無數(shù)個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)無數(shù)個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn) X X 所連成，當(dāng)所連成，當(dāng) f(x)為不等的函數(shù)值為不等的函數(shù)值c1，c2，時(shí)，可以時(shí)，可以得到一族等值線。得到一族等值線。所謂所謂目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線（面面面面），），就是當(dāng)就是當(dāng)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) f f(X X)的值的值的值的值依次等于一依次等于一系列系列常數(shù)常數(shù) (i=1,2,)時(shí)，時(shí)，設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)變量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。對(duì)于對(duì)于一個(gè)目標(biāo)函數(shù)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)一個(gè)目標(biāo)函數(shù)來說，它可以有來說，它可以有無窮多條無窮多條無窮多條無窮多條的的等值線等值線等值線等值線?？梢哉f?？梢哉f等值線充滿了設(shè)計(jì)空間。等值線充滿了設(shè)計(jì)空間。由圖可見，由圖可見，等值線族等值線族等值線族等值線族反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，等值線越反映了目標(biāo)函數(shù)值的變化規(guī)律，等值線越向里面，目標(biāo)函數(shù)值越小。向里面，目標(biāo)函數(shù)值越小。對(duì)于對(duì)于有中心的曲線族有中心的曲線族有中心的曲線族有中心的曲線族來說，等值線族的來說，等值線族的共同中心共同中心共同中心共同中心就是目標(biāo)函數(shù)就是目標(biāo)函數(shù)的的無約束極小點(diǎn)無約束極小點(diǎn)無約束極小點(diǎn)無約束極小點(diǎn) 。故從幾何意義上來說，求目標(biāo)函數(shù)無約束。故從幾何意義上來說，求目標(biāo)函數(shù)無約束極小極小點(diǎn)點(diǎn)也就是求其等值線族的也就是求其等值線族的共同中心共同中心共同中心共同中心。等值線等值線等值線等值線有以下有以下幾個(gè)特點(diǎn)幾個(gè)特點(diǎn)幾個(gè)特點(diǎn)幾個(gè)特點(diǎn)：(1)不同值的等值線不相交；不同值的等值線不相交；(2)除極值點(diǎn)外，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，等值線不會(huì)中斷；除極值點(diǎn)外，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，等值線不會(huì)中斷；(3)等值線充滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間；等值線充滿整個(gè)設(shè)計(jì)空間；(4)等值線分布的疏或密，反應(yīng)出函數(shù)值變化的慢或快等值線分布的疏或密，反應(yīng)出函數(shù)值變化的慢或快；(5)一般來說，在極值點(diǎn)附近，等值線近似是同心橢圓族，極值一般來說，在極值點(diǎn)附近，等值線近似是同心橢圓族，極值點(diǎn)就是橢圓的中心點(diǎn)。點(diǎn)就是橢圓的中心點(diǎn)。在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)值相等點(diǎn)的連線目標(biāo)函數(shù)值相等點(diǎn)的連線目標(biāo)函數(shù)值相等點(diǎn)的連線目標(biāo)函數(shù)值相等點(diǎn)的連線：對(duì)于對(duì)于二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題，構(gòu)成了，構(gòu)成了等值線等值線；對(duì)于對(duì)于三維優(yōu)化問題三維優(yōu)化問題，構(gòu)成了，構(gòu)成了等值面等值面；對(duì)于對(duì)于四維以上的優(yōu)化問題四維以上的優(yōu)化問題，則構(gòu)成了，則構(gòu)成了等值超曲面等值超曲面。3.約束條件約束條件 約束條件約束條件約束條件約束條件是設(shè)計(jì)變量選取的限制條件，或稱是設(shè)計(jì)變量選取的限制條件，或稱設(shè)計(jì)約束設(shè)計(jì)約束。按照約束條件的形式不同，約束有不等式和等式約束兩類，按照約束條件的形式不同，約束有不等式和等式約束兩類，一般表達(dá)式為一般表達(dá)式為：不等式約束不等式約束不等式約束不等式約束等式約束等式約束等式約束等式約束按照按照設(shè)計(jì)約束設(shè)計(jì)約束設(shè)計(jì)約束設(shè)計(jì)約束的性質(zhì)不同，約束又可分為的性質(zhì)不同，約束又可分為如下兩類如下兩類如下兩類如下兩類：（）（）（）（）性能約束性能約束性能約束性能約束：是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而確定的一種是根據(jù)設(shè)計(jì)性能或指標(biāo)要求而確定的一種約束條件，例如零件的工作應(yīng)力、變形的限制條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束條件，例如零件的工作應(yīng)力、變形的限制條件以及對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如位移、速度、加速度值的限制條件均屬性能約束。參數(shù)如位移、速度、加速度值的限制條件均屬性能約束。（）（）（）（）邊界約束邊界約束邊界約束邊界約束：則是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制，例如對(duì)則是對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍的限制，例如對(duì)齒輪的模數(shù)、齒數(shù)的上、下限的限制以及對(duì)構(gòu)件長(zhǎng)度尺寸的限制齒輪的模數(shù)、齒數(shù)的上、下限的限制以及對(duì)構(gòu)件長(zhǎng)度尺寸的限制都是邊界約束。都是邊界約束。任何一個(gè)任何一個(gè)不等式約束方程不等式約束方程的圖形將的圖形將設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間劃分為劃分為兩部分兩部分：一部分一部分一部分一部分 ：滿足約束，滿足約束，即即 gj(X)0 0；另一部分另一部分另一部分另一部分：則不滿足約束，即則不滿足約束，即 gj(X)0 0。故將故將該分界線該分界線或分界面稱為或分界面稱為約束邊界約束邊界約束邊界約束邊界（或約束面）。（或約束面）。等式約束等式約束等式約束等式約束本身也是約束邊界，不過此時(shí)只有約束邊界上的點(diǎn)滿足本身也是約束邊界，不過此時(shí)只有約束邊界上的點(diǎn)滿足約束，而邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。約束，而邊界兩邊的所有部分都不滿足約束。以以二維問題二維問題二維問題二維問題為例，如為例，如圖圖2-4所示，其中所示，其中陰影方向部分陰影方向部分陰影方向部分陰影方向部分表示不滿足約表示不滿足約束的區(qū)域。束的區(qū)域。圖圖2-4約束邊界約束邊界(2-5)圖圖2-5二維問題的可行域二維問題的可行域不滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成該優(yōu)化問題的不滿足約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成該優(yōu)化問題的不可行域不可行域不可行域不可行域?？尚杏蚩尚杏蚩尚杏蚩尚杏蛞部煽醋鲆部煽醋鰸M足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)的的集合集合集合集合，因此，可用，因此，可用集合集合集合集合表示如下：表示如下：約束的幾何意義約束的幾何意義是它將是它將設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)空間一分一分為二，形成了為二，形成了可行域可行域可行域可行域和和非可行域非可行域非可行域非可行域。每一個(gè)不等式約每一個(gè)不等式約束或等式約束都將設(shè)束或等式約束都將設(shè)計(jì)空間分為兩部分，計(jì)空間分為兩部分，滿足所有約束的部分滿足所有約束的部分形成一個(gè)形成一個(gè)交交交交集集，該交該交該交該交集集集集稱為此約束問題的稱為此約束問題的可行域可行域可行域可行域，記做，記做 D D，見見圖圖2-5。綜綜上上所所述述，優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)化化化化數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)模模模模型型型型是是對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)際際問問題題的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)描描述述和和概概括括，是是進(jìn)進(jìn)行行優(yōu)優(yōu)化化設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)。因因此此，根根據(jù)據(jù)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)問問題題的的具具體體要要求求和和條條件件建建立立完備的完備的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是關(guān)系是關(guān)系優(yōu)化設(shè)計(jì)成敗優(yōu)化設(shè)計(jì)成敗的關(guān)鍵。的關(guān)鍵。這這是是因因?yàn)闉閮?yōu)優(yōu)化化問問題題的的計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)算算算算求求求求解解解解完完全全是是圍圍繞繞數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)模模模模型型型型進(jìn)進(jìn)行行的的。也也就就是是說說，優(yōu)優(yōu)化化計(jì)計(jì)算算所所得得的的最最最最優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)解解解解實(shí)實(shí)際際上上只只是是數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)模模模模型型型型的的的的最最最最優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)解解解解。此此解解是是否否滿滿足足實(shí)實(shí)際際問問題題的的要要求求，是是否否就就是是實(shí)實(shí)際際問問題題的的最最優(yōu)優(yōu)解解，完完全全取取決于決于數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型和和實(shí)際問題實(shí)際問題實(shí)際問題實(shí)際問題的符合程度。的符合程度。建立建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要而復(fù)雜的工作：是一項(xiàng)重要而復(fù)雜的工作：一方面希望建立一個(gè)盡可能完善的一方面希望建立一個(gè)盡可能完善的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型，以求精確地表達(dá)實(shí)，以求精確地表達(dá)實(shí)際問題，得到滿意的結(jié)果；際問題，得到滿意的結(jié)果；另一方面又力求使所建立的另一方面又力求使所建立的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型盡可能簡(jiǎn)單，以方便于計(jì)算盡可能簡(jiǎn)單，以方便于計(jì)算與求解。與求解。工程設(shè)計(jì)的工程設(shè)計(jì)的類型很多類型很多類型很多類型很多，總的來說，它可以分為，總的來說，它可以分為兩個(gè)層次兩個(gè)層次兩個(gè)層次兩個(gè)層次：2.1.3 優(yōu)化問題的分類優(yōu)化問題的分類 總體方案優(yōu)化總體方案優(yōu)化 設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化這兩者這兩者這兩者這兩者之間有著之間有著密切的聯(lián)系密切的聯(lián)系密切的聯(lián)系密切的聯(lián)系，但也存在著，但也存在著實(shí)質(zhì)性的區(qū)別實(shí)質(zhì)性的區(qū)別實(shí)質(zhì)性的區(qū)別實(shí)質(zhì)性的區(qū)別?？傮w方案優(yōu)化總體方案優(yōu)化總體方案優(yōu)化總體方案優(yōu)化：是指總體布局、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的類型以及幾何形是指總體布局、結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的類型以及幾何形式的優(yōu)化設(shè)計(jì)；式的優(yōu)化設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化：是在總體方案選定后，對(duì)具體設(shè)計(jì)參數(shù)（幾何是在總體方案選定后，對(duì)具體設(shè)計(jì)參數(shù)（幾何參數(shù)、性能參數(shù)等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)。參數(shù)、性能參數(shù)等）的優(yōu)化設(shè)計(jì)?？偪偪偪傮w體體體方方方方案案案案設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)是是一一種種創(chuàng)創(chuàng)造造性性活活動(dòng)動(dòng)，必必須須依依靠靠思思考考與與推推理理，綜綜合合運(yùn)運(yùn)用用多多學(xué)學(xué)科科的的專專門門知知識(shí)識(shí)和和豐豐富富的的實(shí)實(shí)踐踐經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)，才才能能獲獲得得正正確確、合合理理的的設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)。因因此此，總總總總體體體體方方方方案案案案優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)化化化化其其大大量量工工作作是是依依據(jù)據(jù)知知識(shí)識(shí)和和經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)進(jìn)進(jìn)行行演演演演繹繹繹繹和和和和推推推推理理理理，可可用用人人工工智智能能方方法法（特特別別是是專專家家系系統(tǒng)統(tǒng)技技術(shù)術(shù)）適適宜宜于于求求解解這這類問題。類問題。設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)參參參參數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)化化化化是是擇擇優(yōu)優(yōu)確確定定具具體體的的設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)參參數(shù)數(shù)，屬屬于于數(shù)數(shù)值值計(jì)計(jì)算算型型工工作作，比比較較容容易易總總結(jié)結(jié)出出可可供供計(jì)計(jì)算算分分析析用用的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型，因因而而一一般般采采用用數(shù)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法來求解。學(xué)規(guī)劃方法來求解。本章本章本章本章主要介紹主要介紹設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化問題。根根據(jù)據(jù)優(yōu)優(yōu)化化問問題題的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)學(xué)學(xué)模模模模型型型型是是否否含含有有設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)約約約約束束束束，可可將將工工程程優(yōu)優(yōu)化化問問題題分為分為分為分為：工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題工程優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中的絕大多數(shù)問題都是中的絕大多數(shù)問題都是約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題。工程優(yōu)化問題工程優(yōu)化問題工程優(yōu)化問題工程優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題一維優(yōu)化問題一維優(yōu)化問題多維無約束優(yōu)化問題多維無約束優(yōu)化問題非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題凸規(guī)劃問題凸規(guī)劃問題對(duì)于優(yōu)化問題對(duì)于優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的求解方法求解方法求解方法求解方法有三種：有三種：數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法：就是把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來后，用就是把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來后，用數(shù)學(xué)解數(shù)學(xué)解數(shù)學(xué)解數(shù)學(xué)解析法析法析法析法（如微分、變分發(fā)等）來求出如微分、變分發(fā)等）來求出最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解最優(yōu)解，如高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值，如高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極值或條件極值的方法?；驐l件極值的方法。數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法是優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。但它僅限于是優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。但它僅限于維數(shù)較少維數(shù)較少維數(shù)較少維數(shù)較少且易求且易求導(dǎo)的優(yōu)化問題的求解。導(dǎo)的優(yōu)化問題的求解。數(shù)學(xué)解析法數(shù)學(xué)解析法 圖解法數(shù)圖解法數(shù) 值迭代法值迭代法圖解法圖解法圖解法圖解法：就是直接用就是直接用作圖的方法作圖的方法作圖的方法作圖的方法來求解優(yōu)化問題，通過畫出目標(biāo)來求解優(yōu)化問題，通過畫出目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。此法的特點(diǎn)此法的特點(diǎn)此法的特點(diǎn)此法的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，但僅限于是簡(jiǎn)單直觀，但僅限于n2的低維優(yōu)化問題的求解。的低維優(yōu)化問題的求解。2.1.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代算法圖圖2-6 所示為采用所示為采用圖圖解法解法解法解法來求解如下來求解如下二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題二維優(yōu)化問題：min f(X)=x12+x224x1+4 s.t.g1(X)=x2x120 g2(X)=x12x2+10 g3(X)=x10 g4(X)=x20該問題的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的該問題的目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)的立體圖立體圖立體圖立體圖如如圖圖2-6(a)所示；所示；該問題的該問題的設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖如如圖圖2-6(b)所示，陰影線部分即為所示，陰影線部分即為由所有約束邊界圍成的由所有約束邊界圍成的可行域可行域可行域可行域。該問題的該問題的約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)約束最優(yōu)點(diǎn)為為圖中的圖中的圖中的圖中的X X*點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，即，即 X*=x1*,x2*T =0.58,1.34 T約束最約束最約束最約束最優(yōu)值優(yōu)值優(yōu)值優(yōu)值為：為：的的最優(yōu)解最優(yōu)解的結(jié)果。的結(jié)果。f(X*)=0.38。(a)問題的立體圖問題的立體圖 (b)設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖設(shè)計(jì)空間關(guān)系圖圖圖2-6 二維優(yōu)化問題的幾何解二維優(yōu)化問題的幾何解數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)值值值值迭迭迭迭代代代代法法法法：完完全全是是依依賴賴于于計(jì)計(jì)算算機(jī)機(jī)的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)值值值值計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)算算算算特特特特點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)而而產(chǎn)產(chǎn)生生的的，它它是是具具有有一一定定邏邏輯輯結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)并并按按一一定定格格式式反反復(fù)復(fù)迭迭代代計(jì)計(jì)算算，逐逐步步逼逼近近優(yōu)優(yōu)化化問問題題最優(yōu)解的一種方法。采用最優(yōu)解的一種方法。采用數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法可以求解各種優(yōu)化問題可以求解各種優(yōu)化問題。1.1.數(shù)值迭代法的迭代格式數(shù)值迭代法的迭代格式數(shù)值迭代法的迭代格式數(shù)值迭代法的迭代格式數(shù)值迭代法的基本思想數(shù)值迭代法的基本思想數(shù)值迭代法的基本思想數(shù)值迭代法的基本思想：搜索、迭代、逼近。：搜索、迭代、逼近。為了求得目標(biāo)函數(shù)為了求得目標(biāo)函數(shù) 的的極小點(diǎn)極小點(diǎn) ，其其迭代過程迭代過程如下：如下：在設(shè)計(jì)空間給出一在設(shè)計(jì)空間給出一初始迭代點(diǎn)初始迭代點(diǎn) ；從從 出發(fā)，按照確定的搜索方向出發(fā)，按照確定的搜索方向 和迭代步長(zhǎng)和迭代步長(zhǎng) ，求，求得第一個(gè)得第一個(gè)改進(jìn)設(shè)計(jì)點(diǎn)改進(jìn)設(shè)計(jì)點(diǎn) ，它應(yīng)該滿足：，它應(yīng)該滿足：；再以再以 為為新的初始點(diǎn)新的初始點(diǎn)，重復(fù)，重復(fù)上述步驟上述步驟，求得，求得 ，如此反復(fù)迭代，得到一個(gè)如此反復(fù)迭代，得到一個(gè)不斷改進(jìn)的點(diǎn)列不斷改進(jìn)的點(diǎn)列 及一相應(yīng)的及一相應(yīng)的遞減函數(shù)值數(shù)列遞減函數(shù)值數(shù)列 。式中：式中：X(k)前一步已取得的設(shè)計(jì)方案（迭代點(diǎn)）；前一步已取得的設(shè)計(jì)方案（迭代點(diǎn)）；X(k+1)新的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案（新的迭代點(diǎn)）；新的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案（新的迭代點(diǎn)）；S(k)第第 k次迭代計(jì)算的搜索方向；次迭代計(jì)算的搜索方向；(k)第第 k次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子。次迭代計(jì)算的步長(zhǎng)因子。（2-6）這樣一步步地重復(fù)數(shù)值計(jì)算，不斷用改進(jìn)的這樣一步步地重復(fù)數(shù)值計(jì)算，不斷用改進(jìn)的新點(diǎn)新點(diǎn)新點(diǎn)新點(diǎn)迭代迭代前次設(shè)前次設(shè)前次設(shè)前次設(shè)計(jì)點(diǎn)計(jì)點(diǎn)計(jì)點(diǎn)計(jì)點(diǎn)，逐步改進(jìn)，逐步改進(jìn) 值并使值并使設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)點(diǎn)最終逼近最終逼近極小點(diǎn)極小點(diǎn)極小點(diǎn)極小點(diǎn)（極值點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)）。這一這一迭代過程迭代過程迭代過程迭代過程如如圖圖2-7所示。所示。這一這一迭代過程迭代過程迭代過程迭代過程用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，得用數(shù)學(xué)式子表達(dá)，得數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法的的基本迭代格式基本迭代格式基本迭代格式基本迭代格式為：為：圖圖2-7二維優(yōu)化問題的迭代過程二維優(yōu)化問題的迭代過程在優(yōu)化算法中，關(guān)于在優(yōu)化算法中，關(guān)于迭代方法迭代方法有多種，有多種，它們之間的區(qū)別它們之間的區(qū)別就在于就在于確定確定(k)和和S(k)的方式不同。的方式不同。特別是特別是S(k)的確定，在各種方法中起的確定，在各種方法中起著關(guān)鍵性的作用。著關(guān)鍵性的作用。關(guān)于關(guān)于(k)和和S(k)的確定的確定，將在，將在后面各節(jié)后面各節(jié)中介紹。中介紹。由以上分析及由以上分析及圖圖2-7可知，要用可知，要用數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法尋尋找找最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)X*，這里關(guān)鍵要這里關(guān)鍵要解決解決三個(gè)問題三個(gè)問題：一是如何確定一是如何確定迭代迭代迭代迭代步長(zhǎng)步長(zhǎng)步長(zhǎng)步長(zhǎng)(k k)；二是怎樣選定二是怎樣選定搜索搜索搜索搜索方向方向方向方向S S(k k)；三是如何判斷是否三是如何判斷是否找到了找到了最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)X X*，以終止，以終止迭代。迭代。2.迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則 目前，通常采用的目前，通常采用的迭代終止準(zhǔn)則迭代終止準(zhǔn)則迭代終止準(zhǔn)則迭代終止準(zhǔn)則有有以下以下幾種幾種：點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則 函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則（）（）（）（）點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則相鄰兩迭代點(diǎn)之間的距離已達(dá)到充分小，即相鄰兩迭代點(diǎn)之間的距離已達(dá)到充分小，即（2-7）式中，式中，給定的計(jì)算精度，一般可取給定的計(jì)算精度，一般可取 。（）（）函數(shù)函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則下降量足夠小準(zhǔn)則下降量足夠小準(zhǔn)則下降量足夠小準(zhǔn)則 相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小，即相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小，即（2-8）式中，式中，給定的計(jì)算精度，給定的計(jì)算精度，一般可取一般可取 。目標(biāo)函數(shù)在目標(biāo)函數(shù)在迭代點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小，即迭代點(diǎn)的梯度已達(dá)到充分小，即（）（）（）（）函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則（2-9）上上述述三三三三個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)準(zhǔn)準(zhǔn)準(zhǔn)準(zhǔn)則則則則都都可可以以單單獨(dú)獨(dú)使使用用。只只要要其其中中一一個(gè)個(gè)得得到到滿滿足足，就就可可以認(rèn)為達(dá)到了以認(rèn)為達(dá)到了近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解，迭代計(jì)算到此結(jié)束。，迭代計(jì)算到此結(jié)束。對(duì)對(duì)于于約約束束優(yōu)優(yōu)化化問問題題，不不同同的的優(yōu)優(yōu)化化方方法法有有各各自自的的終終止止準(zhǔn)準(zhǔn)則則，在在此此不在介紹。不在介紹。這是由于這是由于函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)的的必要條件必要條件必要條件必要條件是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值的模是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度值的模為零。因此當(dāng)?shù)c(diǎn)的為零。因此當(dāng)?shù)c(diǎn)的函數(shù)梯度的模函數(shù)梯度的模函數(shù)梯度的模函數(shù)梯度的模已充分小時(shí)，則認(rèn)為迭代可以已充分小時(shí)，則認(rèn)為迭代可以終止。終止。式中，式中，給定的計(jì)算精度，給定的計(jì)算精度，一般可取一般可取。2.2 優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(略略)在介紹有關(guān)在介紹有關(guān)優(yōu)化算法優(yōu)化算法優(yōu)化算法優(yōu)化算法時(shí)，常常要用到時(shí)，常常要用到函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度和和海森海森海森海森(Hessian)(Hessian)矩陣矩陣矩陣矩陣的概念。這里簡(jiǎn)要介紹之。的概念。這里簡(jiǎn)要介紹之。1.多元函數(shù)的多元函數(shù)的梯度梯度已知一已知一 n 元函數(shù)元函數(shù)，則，則該函數(shù)該函數(shù)該函數(shù)該函數(shù)在點(diǎn)處的在點(diǎn)處的梯度梯度梯度梯度可記為：可記為：（2-19）函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度函數(shù)的梯度在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著十分重要的作用。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中有著十分重要的作用。由于由于梯度是一個(gè)向量梯度是一個(gè)向量梯度是一個(gè)向量梯度是一個(gè)向量，而，而梯度方向梯度方向梯度方向梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向。是函數(shù)具有最大變化率的方向。亦即亦即梯度方向梯度方向梯度方向梯度方向是指函數(shù)的最速上升方向，而是指函數(shù)的最速上升方向，而負(fù)梯度負(fù)梯度負(fù)梯度負(fù)梯度一則為函數(shù)的一則為函數(shù)的最速下最速下最速下最速下降方向降方向降方向降方向。如如圖圖2-11所示所示。圖圖2-11 梯度方向與等值線的關(guān)系梯度方向與等值線的關(guān)系 2.多元函數(shù)的海森矩陣多元函數(shù)的海森矩陣 已知一已知一 n 元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的元函數(shù)，則該函數(shù)在點(diǎn)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)組成的矩陣，稱為函數(shù)在點(diǎn)的矩陣，稱為函數(shù)在點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣或或 海森海森海森海森(Hessian)(Hessian)矩陣矩陣矩陣矩陣，經(jīng)常記作經(jīng)常記作 。該。該二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣的組成形式如下：的組成形式如下：(2-21)由于由于n n 元函數(shù)元函數(shù)元函數(shù)元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)有的偏導(dǎo)數(shù)有nn個(gè)，而且偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)次序無關(guān)，個(gè)，而且偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)次序無關(guān)，所以函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣是一個(gè)所以函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣是一個(gè)nn階的階的對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣。海森矩陣海森矩陣海森矩陣海森矩陣 在判別在判別多元函數(shù)極值的充分條件多元函數(shù)極值的充分條件多元函數(shù)極值的充分條件多元函數(shù)極值的充分條件以及在以及在牛頓法牛頓法牛頓法牛頓法構(gòu)構(gòu)造牛頓搜索方向時(shí)都有重要用途。造牛頓搜索方向時(shí)都有重要用途。2.3 一維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法 求解求解一維目標(biāo)函數(shù)一維目標(biāo)函數(shù)一維目標(biāo)函數(shù)一維目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的過程，稱為最優(yōu)解的過程，稱為一維優(yōu)化一維優(yōu)化一維優(yōu)化一維優(yōu)化(或一維搜索或一維搜索)，所使用的方法稱為，所使用的方法稱為一維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法。一維優(yōu)化方法，它不僅可用來解決一維目標(biāo)函數(shù)的求優(yōu)問題，且常一維優(yōu)化方法，它不僅可用來解決一維目標(biāo)函數(shù)的求優(yōu)問題，且常用于多維優(yōu)化問題在既定方向上尋求用于多維優(yōu)化問題在既定方向上尋求最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)的一維搜索。的一維搜索。由前由前數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法數(shù)值迭代法可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，可知，求某目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值時(shí)，迭代過程迭代過程每一步每一步的格式都是從的格式都是從某一定點(diǎn)某一定點(diǎn) 出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定出發(fā)，沿著某一使目標(biāo)函數(shù)下降的規(guī)定方向方向 搜索，以找出此方向的搜索，以找出此方向的極小點(diǎn)極小點(diǎn) 。這一過程是各種最優(yōu)化方法的一。這一過程是各種最優(yōu)化方法的一種種基本過程基本過程基本過程基本過程。在此過程中因在此過程中因 、已確定，要使目標(biāo)函數(shù)值為最小，只需找已確定，要使目標(biāo)函數(shù)值為最小，只需找到到一個(gè)合適的步長(zhǎng)一個(gè)合適的步長(zhǎng) 就可以了。這也就是說，在任何一次迭代計(jì)算過就可以了。這也就是說，在任何一次迭代計(jì)算過程中，當(dāng)程中，當(dāng)起步點(diǎn)起步點(diǎn) 和和搜索方向搜索方向 確定之后，就把求多維目標(biāo)函數(shù)極確定之后，就把求多維目標(biāo)函數(shù)極小值這個(gè)多維問題，化解為求一個(gè)變量小值這個(gè)多維問題，化解為求一個(gè)變量（步長(zhǎng)因子步長(zhǎng)因子)的的最優(yōu)值最優(yōu)值 的一的一維問題。維問題。一維搜索方法一維搜索方法主要有主要有：一維搜索方法一維搜索方法一維搜索方法一維搜索方法一般一般分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行分兩步進(jìn)行：首先在首先在方向方向 上上確定確定一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的一個(gè)包含函數(shù)極小點(diǎn)的初始區(qū)間初始區(qū)間，即，即確確定定函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是函數(shù)的搜索區(qū)間，該區(qū)間必須是單峰區(qū)間單峰區(qū)間；然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法然后采用縮小區(qū)間或插值逼近的方法得到得到最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)，即求出，即求出該搜索區(qū)間內(nèi)的該搜索區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)步長(zhǎng)最優(yōu)步長(zhǎng)和和一維極小點(diǎn)一維極小點(diǎn)。分?jǐn)?shù)法分?jǐn)?shù)法 二次插值二次插值 黃金分割法黃金分割法（0.618法法）三次插值法等三次插值法等本節(jié)本節(jié)介紹最常用的介紹最常用的黃金分割法黃金分割法黃金分割法黃金分割法和和二次插值法二次插值法二次插值法二次插值法。2.3.1 搜索區(qū)間的確定搜索區(qū)間的確定 根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將根據(jù)函數(shù)的變化情況，可將區(qū)間區(qū)間區(qū)間區(qū)間分為分為單峰區(qū)間單峰區(qū)間和和多峰區(qū)間多峰區(qū)間。所謂所謂單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值，即函，就是在該區(qū)間內(nèi)的函數(shù)變化只有一個(gè)峰值，即函數(shù)的極小值，如數(shù)的極小值，如圖圖2-18所示。所示。即在即在單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間內(nèi)的內(nèi)的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)X X*的的左側(cè)左側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈下降趨勢(shì)下降趨勢(shì)下降趨勢(shì)下降趨勢(shì)，而在而在極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)X*的的右側(cè)右側(cè)：函數(shù)呈：函數(shù)呈上升趨勢(shì)上升趨勢(shì)。也就是說，也就是說，單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間單峰區(qū)間的函數(shù)值呈的函數(shù)值呈“高高高高-低低低低-高高高高”的變化特征。的變化特征。設(shè)設(shè)區(qū)間區(qū)間 1，3 為為單峰區(qū)間單峰區(qū)間，而而2為為該區(qū)間內(nèi)該區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，的一點(diǎn)，若有若有1223成立，則必有成立，則必有 f(1)f(2)f(3)同時(shí)成立。同時(shí)成立。圖圖2-18單峰區(qū)間單峰區(qū)間目目前前，在在一一維維優(yōu)優(yōu)化化搜搜索索中中，確確定定單單峰峰區(qū)區(qū)間間常常用用的的方方法法是是進(jìn)進(jìn)退退試試算法算法。進(jìn)退試算法的進(jìn)退試算法的進(jìn)退試算法的進(jìn)退試算法的基本思想基本思想基本思想基本思想為：為：按照一定的規(guī)律給出按照一定的規(guī)律給出若干試算點(diǎn)若干試算點(diǎn)，依次比較各依次比較各試算點(diǎn)的函數(shù)值試算點(diǎn)的函數(shù)值的大小，的大小，直直到到找找到到相相鄰鄰三三點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值按按“高高-低低-高高”變變化化的的單單峰峰區(qū)區(qū)間間為為止。止。進(jìn)退試算法的進(jìn)退試算法的運(yùn)算步驟運(yùn)算步驟運(yùn)算步驟運(yùn)算步驟如下：如下：圖圖2-19 求搜索區(qū)間求搜索區(qū)間(2)將將0及及0+h 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù) f(x)進(jìn)行計(jì)算并比較它們的大小。進(jìn)行計(jì)算并比較它們的大小。(1)給定給定初始點(diǎn)初始點(diǎn)0和和初始步長(zhǎng)初始步長(zhǎng)h，設(shè)搜索區(qū)間設(shè)搜索區(qū)間a,b，如如圖圖2-19所示。所示。(3)若若，則則表表明明極極小小點(diǎn)點(diǎn)在在試試算算點(diǎn)點(diǎn)的的右右側(cè)側(cè)，需需做做前前進(jìn)進(jìn)試算試算。在在做做前前進(jìn)進(jìn)運(yùn)運(yùn)算算時(shí)時(shí)，為為加加速速計(jì)計(jì)算算，可可將將步步長(zhǎng)長(zhǎng)h增增加加2倍倍，并并取取計(jì)計(jì)算算新點(diǎn)為新點(diǎn)為0 0+h+2h=0 0+3h。若若 ，則則所所計(jì)計(jì)算算的的相相鄰鄰三三點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值已已具具“高高-低低-高高”特征，這時(shí)可確定特征，這時(shí)可確定搜索區(qū)間搜索區(qū)間為為否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。否則，將步長(zhǎng)再加倍，并重復(fù)上述運(yùn)算。否則，將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)否則，將步長(zhǎng)再加倍，繼續(xù)后退，重復(fù)上述步驟上述步驟，直到滿足，直到滿足單峰區(qū)間單峰區(qū)間條件為止。條件為止。(4)若若 ，則表明極小點(diǎn)在試算點(diǎn)的左側(cè)，需做，則表明極小點(diǎn)在試算點(diǎn)的左側(cè)，需做后退后退試算試算。在做后退運(yùn)算時(shí)，應(yīng)將。在做后退運(yùn)算時(shí)，應(yīng)將后退的步長(zhǎng)后退的步長(zhǎng)縮短為原步長(zhǎng)縮短為原步長(zhǎng)h的的1/4，則取，則取步長(zhǎng)為步長(zhǎng)為h/4，并從并從點(diǎn)出發(fā)，得到后退點(diǎn)為點(diǎn)出發(fā)，得到后退點(diǎn)為 ，若若，則，則搜索區(qū)間搜索區(qū)間可取為可取為上述上述進(jìn)退試算法的程序計(jì)算框圖進(jìn)退試算法的程序計(jì)算框圖進(jìn)退試算法的程序計(jì)算框圖進(jìn)退試算法的程序計(jì)算框圖，如，如圖圖2-20所示。所示。圖圖2-20 進(jìn)退法的程序框圖進(jìn)退法的程序框圖 2.3.2 黃金分割法黃金分割法 該算法的該算法的該算法的該算法的基本思路基本思路基本思路基本思路是：是：通過比較通過比較單峰區(qū)間單峰區(qū)間內(nèi)兩個(gè)插點(diǎn)的函數(shù)值，不斷舍棄內(nèi)兩個(gè)插點(diǎn)的函數(shù)值，不斷舍棄單峰區(qū)間單峰區(qū)間的左的左端或右端一部分，使端或右端一部分，使區(qū)間區(qū)間按照按照固定區(qū)間縮短率固定區(qū)間縮短