17.1 勾股定理（2） 教學任務分析 目 標 知識技能 1．使用勾股定理實行簡單的計算． 2．使用勾股定理解釋生活中的實際問題． 數(shù)學思考 通過從實際問題中抽象出直角三角形這個幾何模型，初步掌握轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法． 解決問題 能使用勾股定理解決直角三角形相關(guān)的問題． 情感態(tài)度 通過研究一系列富有探究性的問題，培養(yǎng)學生與他人交流、合作的意識和品質(zhì)． 重點 勾股定理的應用． 難點 勾股定理在實際生活中的應用． 教學流程安排 活動流程圖 活動內(nèi)容和目的 活動1 回顧勾股定理 活動2 使用勾股定理解釋生活中的問題 活動3 鞏固練習 探索新知 活動4 小結(jié)與作業(yè) 通過一組練習讓學生回顧直角三角形三邊關(guān)系，為本節(jié)課勾股定理的應用做好鋪墊． 通過解決教材中的兩個例題，進一步熟悉和掌握勾股定理，同時培養(yǎng)學生從事物中抽象出幾何模型（直角三角形）的水平． 通過練習即時反饋教學效果，了解不同層次的學生對知識和方法的掌握情況．設計課本習題的變式題，拓展學生思維水平，深化勾股定理的應用． 通過討論交流、自由發(fā)言等形式，歸納本節(jié)課所用的知識方法．通過課外作業(yè)，反饋教學效果，調(diào)整教學方法． 教學過程設計 問題與情景 師生行為 設計意圖 [活動1] 問題 （1）求出下列直角三角形中未知的邊． 6 10 A C B 2 45° A 15 C B 2 30° 回答： ①在解決問題時，每個直角三角形需知曉幾個條件？ ②直角三角形中哪條邊最長？ （2）在長方形ABCD中，寬AB為1m，長BC為2m ，求AC長． 教師提出問題后讓四位學生板演，剩下的學生在課堂作業(yè)本上完成． 問題（2）學生分組討論，自己解決； 教師巡視指導答疑． 在活動1中教師應重點注重： （1）學生能否準確應用勾股定理實行計算； （2）在解決直角三角形的問題時，需知道直角三角形的兩個條件且至少有一個條件是邊； （3）讓學生了解在直角三角形中斜邊最長； （4）在解決問題2時，能否將一個長方形轉(zhuǎn)化為兩個全等的直角三角形． 教師利用學生已有的知識（勾股定理及直角三角形的相關(guān)知識）創(chuàng)設問題情境，有針對性地引導學生實行練習，為學習勾股定理在實際生活中的應用做好鋪墊． [活動2] 問題 （1）在長方形ABCD中AB、BC、AC大小關(guān)系？ （2）一個門框的尺寸如圖1所示． ①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？ ②若薄木板長3米，寬1.5米呢？ ③若薄木板長3米，寬2.2米呢？為什么？ 問題（1）學生由活動1的結(jié)果可得出判斷： AB＜BC＜AC． 問題（2）學生分組討論，易回答①、②． 在解決前兩問的基礎(chǔ)上，教師著重引導學生將③的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，計算并回答： ∵木板寬2.2米大于1米，∴橫著不能從門框通過； ∵木板寬2.2米大于2米，∴豎著也不能從門框通過． 通過問題（1）讓學生熟悉直角三角形斜邊與直角邊的大小關(guān)系，為解決問題（2）奠定基礎(chǔ)． 問題（2）是本節(jié)課的重點和難點． 問題與情景 師生行為 設計意圖 B C 1m 2m A 圖1 （3）教材第26頁練習1． （4）如圖2，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米． ①球梯子的底端B距墻角O多少米？ ②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C，請同學們 猜一猜，底端也將滑動0.5米嗎？ 算一算，底端滑動的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）． O B D CＣ A C A O B O D 圖2 ∴只能試試斜著能否通過，對角線AC的長最大，所以，從中抽象出數(shù)學模型直角 △ABC，并求出斜邊的長度，所以木板能從門框通過． 教師與學生一起完成問題（3）． 教師提出問題（4），引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型； 學生合作交流，討論回答： （1）在Rt△AOB中， ． （2）的①由學生分組討論做出猜想． ②要求梯子的底端B是否也外移0.5米，就是求出BD的長，而BD=OD－OB，由（1）可知OB，只需在求出OD即可． 在Rt△COD中， 梯的頂端A沿墻下滑0.5米，梯子的底端B外移0.58米． 在活動2中教師應重點注重： （1）結(jié)合問題2訓練學生用文字語言表達數(shù)學過程的水平； （2）學生能否準確將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立幾何模型； （3）準確使用勾股定理解釋生活中的問題． 為了讓學生能有效地突破難點，本環(huán)節(jié)分別為它們設計了一到兩個簡單的由已有的知識和生活經(jīng)驗易于解答的小問題作臺階，順利解決如何將實際問題轉(zhuǎn)化為求直角三角形邊長的問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識． 通過使用勾股定理對實際問題的解釋和應用，培養(yǎng)學生從身邊的事物中抽象出幾何模型的水平，使學生更加深刻地理解數(shù)學的本質(zhì)：數(shù)學來源于生活，并能服務于生活． 問題與情景 師生行為 設計意圖 [活動3] （1）教材第26頁練習第2題． （2）變式：以教材第26頁練習第2題為背景，請同學們再設計其他方案構(gòu)造直角三角形（或其他幾何圖形），測量池塘的長AB． （3）如圖3，分別以Rt △ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式 ． 變式：教材第29頁第13題，如圖4． 圖3 S1 S2 S3 圖4 問題（1）學生板演，其余學生在課堂練習本上獨立完成． 問題（2）和問題（3）將全班學生分成四人小組，給足時間分別進行討論、交流； 教師參與學生活動，適當?shù)亟o與指導． 在活動3中，教師應重點關(guān)注： （1）根據(jù)學生在練習中反映出的問題，有針對性地對不同層次的學生進行指導； （2）學生對問題（2） 能否構(gòu)造適當?shù)膸缀文Ｐ蜏y量池塘的長AB； （3）對學有余力的學生，在問題（3）中能否進一步加以拓展． 設計教材第26頁練習第2題的變式，滿足不同層次學生的學習需求，拓展學生思維空間，讓學生聯(lián)想與直角三角形或全等三角形相關(guān)的知識（等腰直角三角形、有一個角為30°的直角三角形、等邊三角形等），使所學的知識得到進一步深化． 設計教材第29頁第13題的變式題問題3，有助于啟迪學生進一步思考將直角三角形ABC外的正方形或半圓再變?yōu)榈冗吶切蔚冉Y(jié)論還能否成立． [活動4] （1）小結(jié) （2）作業(yè)： ①教材第28頁習題第2、3、4、5題． ②教材第29頁習題第12題． 讓學生充分討論交流，說出自己的體會，最后師生共同歸納． 教師布置作業(yè)，學生記錄并按要求在課外完成． 在活動4中，教師應重點關(guān)注： （1）培養(yǎng)學生對所學內(nèi)容進行歸納、整理、總結(jié)的好習慣； （2）對學生在作業(yè)中反映出的問題，應做好記載，找出解決教、學不足的措施． 通過討論交流、自由發(fā)言等形式，使學生掌握歸納的方法．通過布置課外作業(yè)，及時獲知學生對本節(jié)課知識的掌握情況，適當?shù)恼{(diào)整教學進度和教學方法，并對學習有困難的學生給與指導． 教學設計說明 本節(jié)課主要內(nèi)容是勾股定理的應用，安排在勾股定理的探索之后，它既是直角三角形性質(zhì)的拓展，也是后續(xù)學習“解直角三角形”的基礎(chǔ)．本節(jié)課的重點是勾股定理的應用，難點是勾股定理在實際生活中的應用．勾股定理是建立在一般三角形性質(zhì)以及三角形全等的基礎(chǔ)上，是三角形知識的深化，它在日常生活中有著廣泛的應用． 在復習了直角三角形的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)課進一步熟悉了勾股定理．教師通過運用勾股定理對一系列富有層次、探究性的實際問題的解釋和應用，培養(yǎng)學生從身邊的事物中抽象出幾何模型的能力，使學生更加深刻地認識數(shù)學的本質(zhì)，數(shù)學來源于生活，并服務于生活．在活動3中，教師設計課本習題的變式題，給學生足夠的時間討論交流，使“不同的學生數(shù)學上得到不同的發(fā)展”． 整堂課，教師重點關(guān)注學生的探究精神以及交流、合作意識．