高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 列知識點梳理及數(shù)列通項公式的求法總結(jié)素材 新人教版
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1、第二章 數(shù) 列 §2.1數(shù)列的概念與簡單的表示法 一、知識要點梳理 知識點一:數(shù)列的概念 按一定順序排列的一列數(shù),如1,1,2,3,5,…,an,…,可簡記為{an}。 注意:數(shù)列可以看作是定義在N*或其子集{1,2,3,…,n}上的函數(shù),與以前常見函數(shù)的不同主要在于: (1)定義域是離散的因而其圖象也是離散的單點集;(2)有序。 知識點二:數(shù)列的表示 (1)列舉法:如-2,-5,-8,… (2)圖象法:由點組成的圖象;是離散的點集。 (3)解析式法:類似于函數(shù)的解析法,數(shù)列的解析法就是給出了數(shù)列的通項公 式an=f(n),n∈
2、N*。 (4)遞推:利用數(shù)列的第n項與它前面若干項的關(guān)系及初始值確定。如an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=1. 注意: ?、俨⒉皇敲總€數(shù)列都能寫出它的數(shù)列通項公式;數(shù)列的通項如果存在,也不 一定唯一。 ②數(shù)列的列舉法與集合的列舉法不一樣,主要就是有序與無序的差別。 ?、劾眠f推關(guān)系表示數(shù)列時,需要有相應(yīng)個數(shù)的初始值。 知識點三:數(shù)列的分類 (1)按項數(shù):有限數(shù)列和無限數(shù)列; (2)按單調(diào)性:常數(shù)列、擺動數(shù)列、單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)。 ①遞增數(shù)列:對于任何,均有. ②遞減數(shù)列:對于任何,均有. ③擺動
3、數(shù)列:例如: ④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,……. 知識點四:數(shù)列的通項公式與前項和公式 任意數(shù)列的前n項和, 于是, 所以有: 注意:由前n項和求數(shù)列通項時,要分三步進行: (1)求;(2)求出當(dāng)n≥2時的; (3)如果令n≥2時得出的中的n=1時有成立, 則最后的通項公式可以統(tǒng)一寫成一個形式,否則就只能寫成分段的形式。 §2.2等差數(shù)列及其前n項和 一、知識要點梳理 知識點一 等差數(shù)列的概念 (1)定義:如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它前一項的差等于同一個常
4、數(shù),這個數(shù)列叫做等差數(shù)列,常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差. (2)等差中項:如果成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項.即:是與的等差中項,,成等差數(shù)列. 知識點二 等差數(shù)列的通項公式 通項公式:=,為首項,為公差. 知識點三 等差數(shù)列的前n項和公式: =(常數(shù)項為0的二次式) 知識點四 等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)若,那么 特殊地,若,則. (2);(,是常數(shù));(,是常數(shù),) (3)若等差數(shù)列,則 仍成等差 (4)等差數(shù)列中,求使前n項和最大(小)的項數(shù)的方法: 遞減數(shù)列,求最大,令,求正數(shù)項;遞增數(shù)列,求最小,令,求負(fù)數(shù)項.當(dāng)然,解決此類型題目還可以利用二次函數(shù)的性質(zhì),但解一次不
5、等式的方法還是最快的方法. 知識點五 等差數(shù)列的判定方法 ⑴定義法:(,是常數(shù))是等差數(shù)列; ⑵中項法:()是等差數(shù)列. §2.3等比數(shù)列及前n項和 一、知識要點梳理 1 、等比數(shù)列的定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示. 注意:(1)q是指從第2項起每一項與前一項的比,順序不要錯。 (2)由定義可知,等比數(shù)列的任意 一項都不為0,因而公比q也不為0. (3)公比q可為正數(shù)、
6、負(fù)數(shù),特別當(dāng)q=1時,為常數(shù)列a1,a1,……; q=-1時,數(shù)列為a1,-a1,a1,-a1,……. 2、等比數(shù)列的通項公式 := 3、等比中項:如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項.即G 2= a b 4、等比數(shù)列的判定方法 (1)、an=an-1·q(n≥2),q是不為零的常數(shù),an-1≠0{an}是等比數(shù)列. (2)、an2=an-1·an+
7、1(n≥2, an-1,an,an+1≠0){an}是等比數(shù)列. (3)、an=c·qn(c,q均是不為零的常數(shù)){an}是等比數(shù)列. (4)、若某數(shù)列前n項和公式為Sn=an-1(a≠0,±1),則{an}成等比數(shù)列. 5、等比數(shù)列的性質(zhì) :設(shè){an}為等比數(shù)列,首項為a1,公比為q. (1)an=a1·qn-m(m、n∈N*). (2)、當(dāng)m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)時,有am·an=ap·aq.
8、 特殊地,若,則 (3) 等比數(shù)列 : 仍成等比數(shù)列 (q≠-1或k為奇數(shù)) 6、等比數(shù)列的前n項和公式 §2.4 數(shù)列的通項公式及求和 一.?dāng)?shù)列通項公式的求法 (一)、觀察法 數(shù)列從定義角度看,是按一定順序排列的一列數(shù),因而它不是雜亂無章的,它是有規(guī)律可循的。所以,我們可以根據(jù)數(shù)列的前幾項,觀察每一項與項數(shù)的關(guān)系,從而寫出數(shù)列的同項公式。 例:根據(jù)數(shù)列前四項,寫出它的一個通項公式 (1) (2)7,77,777,7777,··· (3) ,·
9、3;· (4),··· 解:(1) (2) (3) ( 4) ★關(guān)鍵:把握第n項與的關(guān)系,把每一項用項數(shù)表示。 (二)、公式法(也稱待定系數(shù)法) 若數(shù)列為特殊數(shù)列如是等差數(shù)列或等比數(shù)列,只需求出與d或與q,可直接寫出通項公式。 例:①已知等差數(shù)列中,,求通項公式 ②已知等比數(shù)列中,,求通項公式 解:①設(shè),從而可解。 ②可設(shè) q=1(舍去) ★關(guān)鍵:設(shè)出通項公式,解方程即得 (三)、構(gòu)造法 原數(shù)列不是等差或等比數(shù)列,但對已知
10、的等式進行適當(dāng)變形,可得新數(shù)列為等差或等比數(shù)列,從而求出通項公式。 例1、數(shù)列中,,求 點撥,可用倒數(shù)變換,將其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。 解:取倒數(shù)得:,令,則 , 例2、已知數(shù)列,,求 ◆點撥:用配湊法,配湊常數(shù)“”,使構(gòu)成等比數(shù)列,從而,從而求出。 解:,則 令,∴為等比數(shù)列, ∴,從而 ★關(guān)鍵:通過變換地推關(guān)系,將非等差或等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為與等差等比數(shù)列有關(guān)的數(shù)列,從而求得通項公式的方法是由遞推公式求通項公式的常用方法。常用轉(zhuǎn)化過程有:配湊、消項變換、倒數(shù)變換、取對數(shù)變換、換元變換等。 練習(xí):1.已知數(shù)列中,,求 2. 已知數(shù)列中,,求。 (四)、疊
11、加法 例:已知求,求 解:當(dāng)時,可得n-1個等式。 共有n-1個等式,將其相加,得,∴ ★關(guān)鍵:對形如的遞推公式求通項公式,只要可求和,便可利用累加的方法。 練習(xí):已知數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式。 (五)、疊乘法 例:已知,求 解:,得,當(dāng)時,可得n-1個等式:,左邊相乘,右邊相乘 ∴ ∴ ★關(guān)鍵:對于形如的遞推公式,只要可求積,便可利用累乘的方法。 練習(xí):已知數(shù)列中,,求 (六)、含與類型 例1.?dāng)?shù)列的前n項和,求通項公式。 分析:由已知條件,可知與的關(guān)系,可借助于,可將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的遞推公式,進而求出數(shù)列的通項公式。 解:∵,∴
12、, ∵, ∴即 ∴,∴, ∴;又∵n=1時適合上式,則 ★關(guān)鍵:若和在一個等式中,一般可利用與關(guān)系,構(gòu)造關(guān)于或的遞推公式,再進一步確定或。 練習(xí):已知數(shù)列中,,且,求 二、數(shù)列的求和方法 (一)、 公式法: 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式: 2、等比數(shù)列求和公式: 3、 4、 5、 [例1] 已知,求的前n項和. 解:由 由等比數(shù)列求和公式得 (利用常用公式) ===1-
13、 [例2] 設(shè)Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求的最大值. 解:由等差數(shù)列求和公式得 , (利用常用公式) ∴ = == ∴ 當(dāng) ,即n=8時, (二)、錯位相減法求和 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列{an· bn}的前n項和,其中{ an }、{ bn }分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列. [例3] 求和:。 解:由題可知,{}的通項是等差數(shù)列{2n-1}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積。 ……………………① ……………………② ①-②得 (錯位
14、相減) 再利用等比數(shù)列的求和公式得: ∴ [例4] 求數(shù)列前n項的和. 解:由題可知,{}的通項是等差數(shù)列{2n}的通項與等比數(shù)列{}的通項之積 設(shè)……………………① ………………② (設(shè)制錯位) ① -②得 ∴ 練習(xí):求:Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 (三)、反序相加法求和 這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數(shù)列倒過
15、來排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個. [例5] 求證: 證明: 設(shè)………. ① 把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 (反序) 又由可得 ………… ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6] 求的值 解:設(shè)…. ① 將①式右邊反序得 ………② (反序) 又因為 ①+②得 (反序相加) =89 ∴ S=44.5 練習(xí):已知lg(xy)=a,求S,其中 解: 將和式S中各項反序排列,得 將此和式與原和式兩邊對應(yīng)相加,得
16、 2S=++ · · · + (n+1)項 =n(n+1)lg(xy) ∵ lg(xy)=a ∴ S=n(n+1)a (四)、分組法求和 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可. [例7] 求數(shù)列的前n項和:,… 解:設(shè) 將其每一項拆開再重新組合得 (分組) 當(dāng)a=1時,= (分組求和) 當(dāng)時,= [例8] 求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.
17、 解:設(shè) ∴=將其每一項拆開再重新組合得 = (分組) = = (分組求和) = 練習(xí):求數(shù)列的前n項和。 解: (五)、裂項法求和 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的. 通項分解(裂項)如: (1) (2) (3) (4) (5) [例9] 求數(shù)列的前n項和. 解:設(shè) (裂項) (裂項求和)
18、 = = [例10] 在數(shù)列{an}中,,又,求數(shù)列{bn}的前n項的和. 解: ∵ ∴ (裂項) ∴ 數(shù)列{bn}的前n項和 (裂項求和) = = [例11] 求證: 解:設(shè) ∵ = === ∴ 原等式成立 練習(xí):求 1 3, 1 1 5, 1 3 5, 1 63之和。 解: (六)、合
19、并法求和 針對一些特殊的數(shù)列,將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時,可將這些項放在一起先求和,然后再求Sn. [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解:設(shè)Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ (找特殊性質(zhì)項) ∴Sn=(cos1°+ cos179°
20、;)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+··· +(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) = 0 [例13] 數(shù)列{an}:,求S2002. 解:設(shè)S2002= 由可得 …… ∵ (找特殊性質(zhì)項) ∴ S2002 = (合并求和) = = = =5 [例14] 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若的值. 解:設(shè) 由等比數(shù)列的性質(zhì) (找特殊性質(zhì)項
21、) 和對數(shù)的運算性質(zhì) 得 = = =10 (七)、利用數(shù)列的通項求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析,找出數(shù)列的通項及其特征,然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和,是一個重要的方法. [例15] 求之和. 解:由于(找通項及特征) ∴ =(分組求和) = = = [例16] 已知數(shù)列{an}:的值. 解:∵ (找通項及特征) = (設(shè)制分組) =(裂項) ∴ (分組、裂項求和) = = 練習(xí):求5,55,555,…,的前n項和。 解:∵an= 5 9(10n-1) ∴Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … + 5 9(10n-1) = 5 9[(10+102+103+……+10n)-n] = (10n+1-9n-10) 以上一個7種方法雖然各有其特點,但總的原則是要善于改變原數(shù)列的形式結(jié)構(gòu),使其能進行消項處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來解決,只要很好地把握這一規(guī)律,就能使數(shù)列求和化.
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