2010高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 圓錐曲線教案 蘇教版
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1、圓錐曲線與方程 考綱導(dǎo)讀 1.掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)、了解橢圓的參數(shù)方程. 2.掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì). 3.掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì). 4.了解圓錐曲線的初步應(yīng)用. 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 圓錐曲線 橢圓定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 雙曲線定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 拋物線定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 幾何性質(zhì) 第二定義 第二定義 統(tǒng)一定義 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 橢圓 雙曲線 拋物線 a、b、c三者 間的關(guān)系 高考導(dǎo)航 圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重
2、要內(nèi)容,它的基本特點(diǎn)是數(shù)形兼?zhèn)?,兼容并包,可與代數(shù)、三角、幾何知識(shí)相溝通,歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。縱觀近幾年高考試題中對(duì)圓錐曲線的考查,基本上是兩個(gè)客觀題,一個(gè)主觀題,分值21分~24分,占15%左右,并且主要體現(xiàn)出以下幾個(gè)特點(diǎn): 1.圓錐曲線的基本問(wèn)題,主要考查以下內(nèi)容: ①圓錐曲線的兩種定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及a、b、c、e、p五個(gè)參數(shù)的求解. ②圓錐曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用. 2、求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程或軌跡圖形在高考中出現(xiàn)的頻率較高,此類問(wèn)題的解決需掌握四種基本方法:直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法. 3.有關(guān)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題,是高考的重?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題,這類問(wèn)題常涉及圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本
3、知識(shí)以及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等,分析這類問(wèn)題時(shí),往往要利用數(shù)形結(jié)合思想和“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理,多以解答題的形式出現(xiàn). 4.求與圓錐曲線有關(guān)的參數(shù)或參數(shù)范圍問(wèn)題,是高考命題的一大熱點(diǎn),這類問(wèn)題綜合性較大,運(yùn)算技巧要求較高;尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合,特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結(jié)合的問(wèn)題,是常考常新的試題,將是今后高考命題的一個(gè)趨勢(shì). 第1課時(shí) 橢圓 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1.橢圓的兩種定義 (1) 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 , 之間的距離叫做焦距.
4、 注:①當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡是 . ②當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),P點(diǎn)的軌跡不存在. (2) 橢圓的第二定義:到 的距離與到 的距離之比是常數(shù),且 的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.定點(diǎn)F是橢圓的 ,定直線l是 ,常數(shù)e是 . 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) 焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是:,其中( > >0,且 ) (2) 焦點(diǎn)在軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是,其中a,b滿足: . (3)
5、焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上如何判斷? 3.橢圓的幾何性質(zhì)(對(duì),a > b >0進(jìn)行討論) (1) 范圍: ≤ x ≤ , ≤ y ≤ (2) 對(duì)稱性:對(duì)稱軸方程為 ;對(duì)稱中心為 . (3) 頂點(diǎn)坐標(biāo): ,焦點(diǎn)坐標(biāo): ,長(zhǎng)半軸長(zhǎng): ,短半軸長(zhǎng): ;準(zhǔn)線方程: . (4) 離心率: ( 與 的比), ,越接近1,橢圓越 ;越接近0,橢圓越接近于
6、 . (5) 焦半徑公式:設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),則 ,= 。 4.焦點(diǎn)三角形應(yīng)注意以下關(guān)系(老師補(bǔ)充畫出圖形): (1) 定義:r1+r2=2a (2) 余弦定理:+-2r1r2cos=(2c)2 (3) 面積:=r1r2 sin=·2c| y0 |(其中P()為橢圓上一點(diǎn),|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=) 典型例題 變式訓(xùn)練2:已知P(x0,y0)是橢圓(a>b>0)上的任意一點(diǎn),F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn),求證:以PF2為直徑的圓必和以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切. 證明 設(shè)以PF2為直徑
7、的圓心為A,半徑為r. ∵F1、F2為焦點(diǎn),所以由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)連結(jié)OA,由三角形中位線定理,知 |OA|= 故以PF2為直徑的圓必和以長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切. 評(píng)注 運(yùn)用橢圓的定義結(jié)合三角形中位線定理,使題目得證。 例3. 如圖,橢圓的中心在原點(diǎn),其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,過(guò)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),與拋物線交于C、D兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂直時(shí),. (1)求橢圓的方程; (2)求過(guò)點(diǎn)O、,并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程; (3)求的最大值和最小值. 解:(1)由拋物線方程,
8、得焦點(diǎn). 設(shè)橢圓的方程:. 解方程組 得C(-1,2),D(1,-2). 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱, ∴,, ∴ . …………2分 ∴又, 因此,,解得并推得. 故橢圓的方程為 . …………4分 (2), 圓過(guò)點(diǎn)O、, 圓心M在直線上. 設(shè)則圓半徑,由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切, ∴ 由得解得 所求圓的方程為…………………………8分 (3) 由 ①若垂直于軸,則, , …………………………………………9分 ②若與軸不垂直,設(shè)直線的斜率為,則直線
9、的方程為 由 得 ,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. 設(shè),. , ………………………………11分 = ,所以當(dāng)直線垂于軸時(shí),取得最大值 當(dāng)直線與軸重合時(shí),取得最小值 變式訓(xùn)練3:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件:△ABC的周長(zhǎng)為2+2.記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W. (1)求W的方程; (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, )且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q, 求k的取值范圍; (3)已知點(diǎn)M(,0),N(0, 1),在(Ⅱ)的條件下
10、,是否存在常數(shù)k,使得向量與共線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(Ⅰ) 設(shè)C(x, y), ∵ , , ∴ , ∴ 由定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn). ∴ . ∴ . ∴ W: . … (2) 設(shè)直線l的方程為,代入橢圓方程,得. 整理,得. ① 因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ,解得或. ∴ 滿足條件的k的取值范圍為 (3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則=(x1+x2,y1+y2), 由①得. ② 又
11、 ③ 因?yàn)?,?所以.……… 所以與共線等價(jià)于. 將②③代入上式,解得. 所以不存在常數(shù)k,使得向量與共線. 例4. 已知橢圓W的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率為,兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點(diǎn)為,過(guò)左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)任作一條斜率不為零的直線與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)、,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為. (1)求橢圓W的方程; (2)求證: (); (3)求面積的最大值. 解:(1)設(shè)橢圓W的方程為,由題意可知 解得,,, 所以橢圓W的方程為.……………………………………………4分 (2)解法1:因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程
12、為,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.于是可設(shè)直線 的方程為. 得. 由直線與橢圓W交于、兩點(diǎn),可知 ,解得. 設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,, 則,,,. 因?yàn)?,? 所以,. 又因?yàn)? , 所以. ……………………………………………………………10分 解法2:因?yàn)樽鬁?zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)坐標(biāo)為. 于是可設(shè)直線的方程為,點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,, 則點(diǎn)的坐標(biāo)為,,. 由橢圓的第二定義可得 , 所以,,三點(diǎn)共線,即.…………………………………10分 (3)由題意知 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立, 所以面積的最大值為. 變式訓(xùn)練4:設(shè)、分別是橢圓的
13、左、右焦點(diǎn). (1)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值; (2)是否存在過(guò)點(diǎn)A(5,0)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)易知 設(shè)P(x,y),則 , ,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),有最小值3; 當(dāng),即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),有最大值4 (2)假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A(5,0)在橢圓的外部,當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn),所在直線l斜率存在,設(shè)為k 直線l的方程為 由方程組 依題意 當(dāng)時(shí),設(shè)交點(diǎn)C,CD的中點(diǎn)為R, 則 又|F2C|=|
14、F2D| ∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立, 所以不存在直線,使得|F2C|=|F2D| 綜上所述,不存在直線l,使得|F2C|=|F2D| 小結(jié)歸納 1.在解題中要充分利用橢圓的兩種定義,靈活處理焦半徑,熟悉和掌握a、b、c、e關(guān)系及幾何意義,能夠減少運(yùn)算量,提高解題速度,達(dá)到事半功倍之效. 2.由給定條件求橢圓方程,常用待定系數(shù)法.步驟是:定型——確定曲線形狀;定位——確定焦點(diǎn)位置;定量——由條件求a、b、c,當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí),方程可能有兩種形式,要防止遺漏. 3.解與橢圓的焦半徑、焦點(diǎn)弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一般要從橢圓的定義入手考慮;橢
15、圓的焦半徑的取值范圍是. 4.“設(shè)而不求”,“點(diǎn)差法”等方法,是簡(jiǎn)化解題過(guò)程的常用技巧,要認(rèn)真領(lǐng)會(huì). 5.解析幾何與代數(shù)向量的結(jié)合,是近年來(lái)高考的熱點(diǎn),應(yīng)引起重視. 第2課時(shí) 雙 曲 線 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 典型例題 例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形,是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面,它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高55 m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出此雙曲線的方程(精確到1m). 解:如圖8—17,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A圓的直徑AA′在x軸上,圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸,且=13×2 (m),=25
16、×2 (m).設(shè)雙曲線的方程為 (a>0,b>0)令點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13,y),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(25,y-55).因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上,所以 解方程組由方程(2)得 (負(fù)值舍去).代入方程(1)得化簡(jiǎn)得 19b2+275b-18150=0 (3) 解方程(3)得 b≈25 (m).所以所求雙曲線方程為: 例3. 中,固定底邊BC,讓頂點(diǎn)A移動(dòng),已知,且,求頂點(diǎn)A的軌跡方程. 解:取BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,所以B(),.利用正弦定理,從條件得,即.由雙曲線定義知,點(diǎn)A的軌跡是B、C為焦點(diǎn),焦距為4,實(shí)
17、軸長(zhǎng)為2,虛軸長(zhǎng)為的雙曲線右支,點(diǎn)(1,0)除外,即軌跡方程為(). 變式訓(xùn)練3:已知雙曲線的一條漸近線方程為,兩條準(zhǔn)線的距離為l. (1)求雙曲線的方程; (2)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N,點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn),且直線PM,PN的斜率均存在,求kPM·kPN的值. (1)解:依題意有: 可得雙曲線方程為 (2)解:設(shè) 所以 例4. 設(shè)雙曲線C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。 (1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T,且,求點(diǎn)T的坐標(biāo); (2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程
18、; (3)過(guò)點(diǎn)F(1,0)作直線l與(Ⅱ)中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè),若(T為(Ⅰ)中的點(diǎn))的取值范圍。 解:(1)由題,得,設(shè) 則 由 …………① 又在雙曲線上,則 …………② 聯(lián)立①、②,解得 由題意, ∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) …………3分 (2)設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y) 由A1、P、M三點(diǎn)共線,得 …………③ …………1分 由A2、Q、M三點(diǎn)共線,得 …………④ …………1分 聯(lián)立③、④,解得 …………1分 ∵在雙曲線上, ∴ ∴軌跡E的方程為 …………1分 (3)容易驗(yàn)
19、證直線l的斜率不為0。 故可設(shè)直線l的方程為 中,得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系,得 ……⑤ ……⑥ …………2分 ∵ ∴有 將⑤式平方除以⑥式,得 …………1分 由 …………1分 ∵ 又 故 令 ∴,即 ∴ 而 , ∴ ∴ 變式訓(xùn)練4:)已知中心在原點(diǎn),左、右頂點(diǎn)A1、A2在x軸上,離心率為的雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(6,6),動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)△A1PA2的重心G與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,Q為線段MN的中點(diǎn). (1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程 (2)當(dāng)直線l的斜率為何值時(shí),。 本小題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)議程中各量之間關(guān)系,以
20、及直線與雙曲線的位置關(guān)系。 解(1)設(shè)雙曲線C的方程為 ① ②② 又P(6,6)在雙曲線C上, 由①、②解得 所以雙曲線C的方程為。 (2)由雙曲線C的方程可得 所以△A1PA2的重點(diǎn)G(2,2) 設(shè)直線l的方程為代入C的方程,整理得 ③③② 整理得 ④② 解得 由③,可得 ⑤③② 解得 小結(jié)歸納 由④、⑤,得 5.對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系,要注意“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”,既可以轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)確定,又可以把直線與雙曲線的漸近線進(jìn)行比較,從“形”的角度來(lái)判斷. 第3課時(shí) 拋 物 線 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1.拋物線定義:
21、平面內(nèi)到 和 距離 的點(diǎn)的軌跡叫拋物線, 叫拋物線的焦點(diǎn), 叫做拋物線的準(zhǔn)線(注意定點(diǎn)在定直線外,否則,軌跡將退化為一條直線). 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 ① ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 . ② ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 . ③ ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 . ④ ,焦點(diǎn)為 ,準(zhǔn)線為 . 3.拋物線的幾何性質(zhì):對(duì)進(jìn)行討論. ① 點(diǎn)的范圍: 、 . ② 對(duì)稱性:拋物線關(guān)于
22、 軸對(duì)稱. ③ 離心率 . ④ 焦半徑公式:設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上一點(diǎn),則 . ⑤ 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:設(shè)AB是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦) i) 若,,則= , . ii) 若AB所在直線的傾斜角為(則= . 特別地,當(dāng)時(shí),AB為拋物線的通徑,且= . iii) S△AOB= (表示成P與θ的關(guān)系式). iv) 為定值,且等于 . 典型例題 例1. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,求
23、拋物線的方程和n的值. 解:設(shè)拋物線方程為,則焦點(diǎn)是F ∵點(diǎn)A(-3,n)在拋物線上,且| AF |=5 故解得P=4, 故所求拋物線方程為 變式訓(xùn)練1:求頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是x軸,并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程. 解:因?yàn)閷?duì)稱軸是軸,可設(shè)拋物線方程為或 ∵,∴p=12 故拋物線方程為或 例2. 已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B. (1) 若,求直線l的方程. (2) 求的最小值. 解:(1)解法一: 設(shè)直線的方程為: 代入整理得, 設(shè) 則是上述關(guān)于的方程的兩個(gè)不同實(shí)根,所以 根據(jù)拋物線的定義知:| AB |= = 若,則
24、 即直線有兩條,其方程分別為: 解法二:由拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式 |AB|=(θ為AB的傾斜角)易知sinθ=±, 即直線AB的斜率k=tanθ=±, 故所求直線方程為: 或. (2) 由(1)知, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),|AB|有最小值4. 解法二:由(1)知|AB|== ∴ |AB|min=4 (此時(shí)sinθ=1,θ=90°) 變式訓(xùn)練2:過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線 ( ) A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)數(shù)條 D.不存在 解:B 例3. 若A(3,2),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P為
25、拋物線上任意一點(diǎn),求的最小值及取得最小值時(shí)的P的坐標(biāo). 解:拋物線的準(zhǔn)線方程為 過(guò)P作PQ垂直于準(zhǔn)線于Q點(diǎn),由拋物線定義得|PQ|=| PF |,∴| PF |+| PA |=| PA |+| PQ | 要使| PA |+| PQ |最小,A、P、Q三點(diǎn)必共線,即AQ垂直于準(zhǔn)線,AQ與拋物線的交點(diǎn)為P點(diǎn) 從而|PA|+|PF|的最小值為 此時(shí)P的坐標(biāo)為(2,2) 1.(2008·遼寧理,10)已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 . 答案 變式訓(xùn)練3:一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分,
26、它的方程是x2,在杯內(nèi)放入一個(gè)玻璃球,要使球觸及酒杯底部,則玻璃球的半徑r的取值范圍是 。 解: 例4. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線. (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論? (2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí),求在y軸上的截距的取值范圍. 解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等. ∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線,y1≥0,y2≥0,依題意y1,y2不同時(shí)為0.∴上述條件等價(jià)于 y1=y(tǒng)2(x1+x2)(x1-x2)=0 ∵x1≠x2 ∴x1+x2=0
27、 即當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí),l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F. (2)設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y=2x+b,過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫為y=-x+m 所以x1、x2滿足方程:2x2+x-m=0 且x1+x2=-,由于A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn),所以△=+8m>0,即m>- 設(shè)AB之中點(diǎn)為N(x0,y0),則x0= y0=-x0+m=+m 由N∈l得:+m=-+b 于是b=+m>-= 即l在y軸上截距的取值范圍是(,+) 變式訓(xùn)練4:正方形ABCD中,一條邊AB在直線y=x+4上,另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2=x上,求正方形的面積. 設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為(y12,y
28、1),(y22,y2)( y1> y2),則直線CD的斜率為1. ∴ ==1,即y1+y2=1 ① 又| CD |== =(y1-y2) | BC |=(y12-y1+4恒正) 由| CD |=| BC |,有(y1-y2)= ② 解①、② 得 y1=2或y1=3 當(dāng)y1=2時(shí),有| BC |=3,此時(shí)SABCD=18 當(dāng)y1=3時(shí),有| BC |=5,此時(shí)SABCD=50 ∴ 正方形的面積為18或50. 小結(jié)歸納 1.求拋物線方程要注意頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向,以便準(zhǔn)確設(shè)出方程,然后用待定系數(shù)法. 2.利用好拋物線定義,進(jìn)行求線段和的最小值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 3
29、.涉及拋物線的弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)等問(wèn)題要注意利用韋達(dá)定理,能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算. 4、解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí),拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用,應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì). 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 第4課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立,由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)決定,一般地,消元后所得一元二次方程的判別式記為△,△>0時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn),△=0時(shí),有一個(gè)公共點(diǎn),△<0時(shí),沒(méi)有公共點(diǎn).但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解(即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn))時(shí),直線與曲線未必相切,在判定此類情形時(shí),應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合.(對(duì)于雙曲線,重點(diǎn)注意與漸近線平
30、行的直線,對(duì)于拋物線,重點(diǎn)注意與對(duì)稱軸平行的直線) 2.直線與圓錐曲線的交點(diǎn)間的線段叫做圓錐曲線的弦.設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則:|AB|=————————或:—————————. 利用這個(gè)公式求弦長(zhǎng)時(shí),要注意結(jié)合韋達(dá)定理. 當(dāng)弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí),可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算. 3.中點(diǎn)弦問(wèn)題: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn),且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)為AB的中點(diǎn),則 兩式相減可得 即 . 對(duì)于雙曲線、拋物線,可得類似的結(jié)論. 典型例題 例1. 直線
31、y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點(diǎn). (1) 當(dāng)a為何值時(shí),A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上?當(dāng)a為何值時(shí),A、B兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上? (2) 當(dāng)a為何值時(shí),以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)? 解: 消去y (1) 聯(lián)立 (3-a2)x2-2ax-2=0 ① 顯然a2≠3,否則方程①只有一解,于是直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn). 若交點(diǎn)A、B在雙曲線同支上,則方程①滿足: a∈(-,-)∪(,) 若A、B分別在雙曲線的兩支上,則有: a∈(-,) (2) 若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O,則OA⊥OB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1+x2=,x1x2=. ∴
32、y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1 =a2·+a·+1=1 ∵OA⊥OB ∴x1x2+y1y2=0 ∴+1a=±1 此時(shí)△>0,符合要求. 變式訓(xùn)練1:已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值. 解:聯(lián)立方程為 (1) 當(dāng)a=0時(shí),此時(shí)方程組恰有一組解 (2) 當(dāng)a≠0時(shí),消去x得 ① 若=0,即a=-1方程變?yōu)橐淮畏匠?,-y-1=0,方程組恰有一組解 ② 若≠0,即a≠-1,令△=0 得1+,解得a=- 此時(shí)直線與曲線相切,恰有一個(gè)公共點(diǎn),綜上所述知,當(dāng)a=0,-1,-時(shí),直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)
33、. 例2. 已知雙曲線方程2x2-y2=2. (1) 求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線方程; (2) 過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn),且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)?這樣的直線l如果存在,求出它的方程;如果不存在,說(shuō)明理由. 解:(1)即設(shè)的中點(diǎn)弦兩端點(diǎn)為,則有關(guān)系.又據(jù)對(duì)稱性知,所以是中點(diǎn)弦所在直線的斜率,由、在雙曲線上,則有關(guān)系.兩式相減是: ∴ ∴ 所求中點(diǎn)弦所在直線為,即. (2)可假定直線存在,而求出的方程為,即 方法同(1),聯(lián)立方程,消去y,得 然而方程的判別式,無(wú)實(shí)根,因此直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn),這一矛盾說(shuō)明了滿足條件
34、的直線不存在. 變式訓(xùn)練2:若橢圓的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則此弦所在直線的斜率為 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 解:D 例3. 在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+3對(duì)稱,求k的取值范圍. 解法一:設(shè)、關(guān)于直線對(duì)稱,直線方程為,代入得,,設(shè)、,中點(diǎn),則 ∵點(diǎn)在直線上,∴ ∴,代入,得,即 解得 解法二:設(shè),關(guān)于對(duì)稱,中點(diǎn),則 相減得: ∴,則 ∵在拋物線內(nèi)部,∴ 化簡(jiǎn)而得,即,解得. 變式訓(xùn)練3:設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)
35、,又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則 . 解:8 例4. 已知橢圓=1(a為常數(shù),且a>1),向量=(1, t) (t >0),過(guò)點(diǎn)A(-a, 0)且以為方向向量的直線與橢圓交于點(diǎn)B,直線BO交橢圓于點(diǎn)C(O為坐標(biāo)原點(diǎn)). (1) 求t表示△ABC的面積S( t ); (2) 若a=2,t∈[, 1],求S( t )的最大值.C A O B x y 解:(1) 直線AB的方程為:y=t(x+a), 由 得 ∴ y=0或y= ∴ 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 ∴ S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|·yB = (2)
36、當(dāng)a=2時(shí),S(t)== ∵ t∈[,1],∴ 4t+≥2=4 當(dāng)且僅當(dāng)4t=,t=時(shí),上式等號(hào)成立. ∴ S(t)=≤=2 即S(t)的最大值S(t)max=2 變式訓(xùn)練4:設(shè)橢圓C:的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P,交x軸正半軸于點(diǎn)Q, 且 (1)求橢圓C的離心率; (2)若過(guò)A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l: A P Q F O x y 相切,求橢圓C的方程. 解:⑴設(shè)Q(x0,0),由F(-c,0) A(0,b)知 …2分 設(shè),得…… 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以…… 整理得2b2=3ac,即2(a
37、2-c2)=3ac,,故橢圓的離心率e=…… ⑵由⑴知, 于是F(-a,0), Q △AQF的外接圓圓心為(a,0),半徑r=|FQ|=a……… 所以,解得a=2,∴c=1,b=, 小結(jié)歸納 所求橢圓方程為 小結(jié)歸納 1.判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),注意數(shù)形結(jié)合;用判別式的方法時(shí),若所得方程二次項(xiàng)的系數(shù)有參數(shù),則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況. 2.涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題有兩種常用方法:一是“設(shè)而不求”的方法,利用端點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系,它能簡(jiǎn)化計(jì)算;二是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式.對(duì)于存在性問(wèn)題,還需用判別式進(jìn)一步檢驗(yàn). 3.對(duì)稱問(wèn)題,要
38、注意兩點(diǎn):垂直和中點(diǎn). 圓錐曲線單元測(cè)試題 一、選擇題 1. 中心在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=±4,離心率為的橢圓方程是 ( ) A. B. C. D. 2. AB是拋物線y2=2x的一條焦點(diǎn)弦,|AB|=4,則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是 ( ) A.2 B. C. D. 3. 若雙曲線的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=8x的準(zhǔn)線重合,則雙曲線的離心率為 ( ) A. B. C.4 D. 4. 已知拋物線y=2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,且x1x2=, 那么m的值等于( ) A.
39、 B. C. 2 D.3 5.已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)M在雙曲線上且=0,則點(diǎn)M到x軸的距離為 ( ) A. B. C. D. 6.點(diǎn)P(-3,1)在橢圓(a>b>0)的左準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)P且方向?yàn)椋?2,-5)的光線,經(jīng)直線y=-2反射后通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 7. 橢圓上有n個(gè)不同的點(diǎn)
40、:P1,P2,…,Pn,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列{|PnF|}是公差大于的等差數(shù)列,則n的最大值是 ( ) A.198 B.199 C.200 D.201 8. 過(guò)點(diǎn)(4, 0)的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn),則直線AB的斜率k的取值范圍是( ) A.| k |≥1 B.| k | > C.| k |≤ D.| k | < 1 9. 已知θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角,且sinθ+cosθ=,則方程x2sinθ-y2cosθ=1表示 ( ) A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 C.焦點(diǎn)在x軸上的雙
41、曲線 D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 10.下列圖中的多邊形均為正多邊形,M、N是所在邊上的中點(diǎn),雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn),設(shè)圖①、②、③中的雙曲線離心率分別為e1、e2、e3,則( ) ② ③ M N F1 F2 F1 F2 F2 F1 M N N M ① A.e1 > e2 > e3 B.e1 < e2 < e3 C.e1=e2 < e3 D.e1=e2 > e3 二、填空題 11.拋物線y=x2上到直線2x-y=4的距離最近的點(diǎn)是 . 12.雙曲線3x2-4y2-12x+8y-4=0按向量平移后的雙曲線
42、方程為,則平移向量= . 13.P在以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上運(yùn)動(dòng),則△F1F2P的重心G的軌跡方程是—————————. 14.橢圓中,以M(-1,2)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程為 . 15.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中: ① 設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),若,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線; ② 過(guò)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB、O為坐標(biāo)原點(diǎn),若(),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓; ③ 方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率; ④ 雙曲線與有相同的焦點(diǎn). 其中真命題的序號(hào)為 (寫出所有真命題的序號(hào)). 三、解答題 16
43、.已知雙曲線的離心率為2,它的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P為雙曲線上的一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,△PF1F2的面積為,求雙曲線的方程. 17.已知?jiǎng)訄AC與定圓x2+y2=1內(nèi)切,與直線x=3相切. (1) 求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程; (2) 若Q是上述軌跡上一點(diǎn),求Q到點(diǎn)P(m,0)距離的最小值. 18.如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線在軸和軸上的截距分別是和,且交拋物線于、兩點(diǎn). (1) 寫出直線的截距式方程; (2) 證明:; (3) 當(dāng)時(shí),求的大?。? x y O M l a N b
44、 19.設(shè)x,y∈R,,為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸,y軸正方向上的單位向量,若=x+(y+2),=x+(y-2),且||+||=8 (1) 求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程. (2) 設(shè)曲線C上兩點(diǎn)A、B,滿足(1)直線AB過(guò)點(diǎn)(0,3),(2) 且OAPB為矩形,求直線AB方程.. 20.動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)A(-,0),且與定圓A′:(x-)2+y2=12相切. (1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程; (2)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E、F,求的取值范圍. 21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1(-c, 0)、F2(c
45、, 0),Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足,點(diǎn)P是線段F1Q與橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)T在線段F2Q上,并且滿足=0,≠0. (1) 設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo),證明; (2) 求點(diǎn)T的軌跡C的方程; (3) 試問(wèn):在點(diǎn)T的軌跡C上,是否存在點(diǎn)M,使△F1MF2的面積S=b2 ?若存在,求∠F1MF2的正切值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.x y Q P O F1 F2 圓錐曲線單元測(cè)試題答案 1.B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. D 11. (1,1) 12. (-2,-1) 13. 14. 9x-32y
46、+73=0 15. ③④ 16. 解:以焦點(diǎn)F1、F2所在直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如右圖所示: 設(shè)雙曲線方程為: 0 F1 F2 x y P 60° 依題意有: 解之得:a2=4,c2=16,b2=12 故所求雙曲線方程為: 17.解:(1) 設(shè)則 ⊙C與⊙O內(nèi)切, 即軌跡方程為 (2) 設(shè),則 當(dāng),即時(shí) 當(dāng),即時(shí), 18.解:(1) (2) 由直線方程及拋物線方程可得: by2+2pay-2pab=0 故 所以 (3) 設(shè)直線OM,ON的斜率分別為k1,k2 則
47、. 當(dāng)a=2p時(shí),知y1y2=-4p2,x1x2=4p2 所以,k1k2=-1,即MON=90°. 19.( 1 ) 解:令M(x,y),F(xiàn)1(0,-2),F(xiàn)2(0,2) 則=,=,即 ||+||=||+||,即||+||=8 又∵ =4=2c,∴ c=2,a=4,b2=12 所求軌跡方程為 ( 2) 解:由條件(2)可知OAB不共線,故直線AB的斜率存在,設(shè)AB方程為y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),則 (3k2+4)x2+18kx-21=0 x1+x2=- x1·x2= y1·y2=(kx1+3) (kx2+3)=k2 x1x2+3k(x1+x2
48、)+9 = ∵ OAPB為矩形,∴ OA⊥OB =0 ∴ x1x2+y1y2=0 得k=± 所求直線方程為y=±x+3. x y F A(-,0) E M P(0, 2) A′(,0) 20.解:(1)A′(,0),依題意有|MA′|+=2 |MA′|+|MA| =2 >2 ∴點(diǎn)M的軌跡是以A′、A為焦點(diǎn),2為長(zhǎng)軸上的橢圓,∵a=,c= ∴b2=1.因此點(diǎn)M的軌跡方程為 (2) 解法一:設(shè)l的方程為x=k(y-2)代入,消去x得:(k2+3)y2-4k2y+4k2-3=0 由△>0得16k4-(4k2-3)(k2+3)>0 0≤k2<1
49、設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2), 則y1+y2=,y1y2= 又=(x1,y1-2),=(x2,y2-2) ∴·=x1x2+(y1-2)(y2-2) =k(y1-2)·k (y2-2) +(y1-2)(y2-2) =(1+k2) = ∵0≤k2<1 ∴3≤k2+3<4 ∴·∈ 解法二:設(shè)過(guò)P(0,2)的直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),為直線l的傾角) 代入中并整理得: (1+2sin2)t2+12sin·t+9=0 由△=122sin2-36(1+2sin2)>0 得:sin2> 又t1t2= ∴·=·cos0° =|PE|·|PF|=t1t2= 由<sin2≤1得:·∈ 21.(1) 證法一:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y) x y Q P O F1 F2 T 由P(x,y)在橢圓上,得 = = =
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