人教版七年級數(shù)學(xué)易錯題講解及答案(共31頁)
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 初一數(shù)學(xué)易錯題匯總 第一章 有理數(shù)易錯題練習(xí) 一.判斷 ⑴ a與-a必有一個是負數(shù) . ⑵在數(shù)軸上,與原點0相距5個單位長度的點所表示的數(shù)是5. ⑶在數(shù)軸上,A點表示+1,與A點距離3個單位長度的點所表示的數(shù)是4. ⑷在數(shù)軸的原點左側(cè)且到原點的距離等于6個單位長度的點所表示的數(shù)的絕對值是-6. ⑸ 絕對值小于4.5而大于3的整數(shù)是3、4. ⑺ 如果-x=- (-11),那么x= -11. ⑻ 如果四個有理數(shù)相乘,積為負數(shù),那么負因數(shù)個數(shù)是1個. ⑼ 若則. ⑽絕對值等于本身的數(shù)是1. 二.填空題 ⑴若=a-1,則a
2、的取值范圍是: . ⑵式子3-5│x│的最 值是 . ⑶在數(shù)軸上的A、B兩點分別表示的數(shù)為-1和-15,則線段AB的中點表示的數(shù)是 . ⑷水平數(shù)軸上的一個數(shù)表示的點向右平移6個單位長度得到它的相反數(shù),這個數(shù)是________. ⑸在數(shù)軸上的A、B兩點分別表示的數(shù)為5和7,將A、B兩點同時向左平移相同的單位長度,得到的兩個新的點表示的數(shù)互為相反數(shù),則需向左平移 個單位長度. ⑹已知│a│=5,│b│=3,│a+b│= a+b,則a-b的值為 ;如果│a+b│= -a-b,則a-b的值為
3、 . ⑺化簡-│π-3│= . ⑻如果a<b<0,那么 . ⑼在數(shù)軸上表示數(shù)-的點和表示的點之間的距離為: . ⑽,則a、b的關(guān)系是________. ⑾若<0,<0,則ac 0. ⑿一個數(shù)的倒數(shù)的絕對值等于這個數(shù)的相反數(shù),這個數(shù)是 . 三.解答題 ⑴已知a、b互為倒數(shù),- c與互為相反數(shù),且│x│=4,求2ab-2c+d+的值. ⑵數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖,化簡:│a-b│+│b-a│+│b│-│a-│a││. ⑶已知│a+5│=1,│b-2│=3,求a-b的值.
4、 ⑷若|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a- b的值. ⑸把下列各式先改寫成省略括號的和的形式,再求出各式的值. ①(-7)- (-4)- (+9)+(+2)- (-5); ②(-5) - (+7)- (-6)+4. ⑹改錯(用紅筆,只改動橫線上的部分): ⑺比較4a和-4a的大小 ①已知5.0362=25.36,那么50.362=253.6,0.=0.02536; ②已知7.4273=409.7,那么74.273=4097,0.=0.04097; ③已知3.412=11.63,那么(34.1)2
5、=; ④近似數(shù)2.40×104精確到百分位,它的有效數(shù)字是2,4; ⑤已知5.4953=165.9,x3=0.,則x=0.5495. ⑻在交換季節(jié)之際,商家將兩種商品同時售出,甲商品售價1500元,盈利25%,乙商品售價1500元,但虧損25%,問:商家是盈利還是虧本?盈利,盈了多少?虧本,虧了多少元? ⑼若x、y是有理數(shù),且|x|-x=0,|y|+y=0,|y|>|x|,化簡|x|-|y|-|x+y|. ⑽已知abcd≠0,試說明ac、-ad、bc、bd中至少有一個取正值,并且至少有一個取負值. ⑾已知a<0,b<0,c>0,判斷(a+b)(c-b)和(a+b)(
6、b-c)的大小. ⑿已知:1+2+3……+33=17×33,計算1-3+2-6+3-9+4-12+……+31-93+32-96+33-99的值. 四.計算下列各題: ⑴(-42.75)×(-27.36)-(-72.64)×(+42.75) ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺9×18 ⑻-15×12÷6×5 ⑼ ⑽-24-(-2)4 ⑾ 有理數(shù)·易錯題練習(xí) 一.多種情況的問題(考慮問題要全面) (1)已知一個數(shù)的絕對值是3,這個數(shù)為_______; 此題用符號表示:已知則x=_______;則x=_______; (2)絕對值不大于4的負整
7、數(shù)是________; (3)絕對值小于4.5而大于3的整數(shù)是________. (4)在數(shù)軸上,與原點相距5個單位長度的點所表示的數(shù)是________; (5)在數(shù)軸上,A點表示+1,與A點距離3個單位長度的點所表示的數(shù)是________; (6) 平方得的數(shù)是____;此題用符號表示:已知則x=_______; (7)若|a|=|b|,則a,b的關(guān)系是________; (8)若|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a-b的值. 正數(shù) 0 負數(shù) 二.特值法幫你解決含字母的問題(此方法只適用于選擇、填空) 有理數(shù)中的字母表示 ,從三類數(shù)中
8、各取1——2個特值代入檢驗,做出正確的選擇 (1)若a是負數(shù),則a________-a;是一個________數(shù); (2)已知則x滿足________;若則x滿足________;若x=-x, x滿足________; 若____ ; (3)有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)的位置如圖所示: 則( ) A.a(chǎn) + b<0 B.a(chǎn) + b>0; C.a(chǎn)-b = 0 D.a(chǎn)-b>0 (4)如果a、b互為倒數(shù),c、d互為相反數(shù),且,則代數(shù)式2ab-(c+d)+m2=_______。 (5)若ab≠0,則的值為_______;(注意0沒有倒數(shù),不能做除數(shù)) 在
9、有理數(shù)的乘除乘方中字母帶入的數(shù)多為1,0,-1,進行檢驗 (6)一個數(shù)的平方是1,則這個數(shù)為________;用符號表示為:若則x=_______; 一個數(shù)的立方是-1,則這個數(shù)為_______; 倒數(shù)等于它自身的數(shù)為_______; 三.一些易錯的概念 (1)在有理數(shù)集合里,________最大的負數(shù),________最小的正數(shù),________絕對值最小的有理數(shù). (2)在數(shù)軸的原點左側(cè)且到原點的距離等于6個單位長度的點所表示的數(shù)的絕對值是________. (3)若|a-1|+|b+2|=0,則a=_______;b=________;(屬于“0+0=0”型) (4)
10、下列代數(shù)式中,值一定是正數(shù)的是( ) A.x2 B.|-x+1| C.(-x)2+2 D.-x2+1 (5)現(xiàn)規(guī)定一種新運算“*”:a*b=,如3*2==9,則()*3=( ) (6)判斷:(注意0的問題) ①0除以任何數(shù)都得0;( ) ②任何一個數(shù)的平方都是正數(shù),( )③a的倒數(shù)是.( ) ④兩個相反的數(shù)相除商為-1.( )⑤0除以任何數(shù)都得0.( ) ⑥有理數(shù)a的平方與它的立方相等,那么a= 1 ; 四.比較大小 -(-4) -3.14 -
11、 五.易錯計算? ① ② ③ -22 -(1-×0.2)÷(-2)3 ④ ()×(-60) ⑤ ⑥ ⑦ 六.應(yīng)用題 1. 某人用400元購買了8套兒童服裝,準備以一定價格出售,如果以每套兒童服裝55元的價格為標準,超出的記作正數(shù),不足的記作負數(shù),記錄如下:+2,-3,+2,+1,-2,-1,0,-2.(單位:元) (1)當他賣完這八套兒童服裝后是盈利還是虧損? (2)盈利(或虧損)了多少錢? 2.某食品廠從生產(chǎn)的袋裝食品中抽出樣品20袋,檢測每袋的質(zhì)量是否符合標準,超過或不足的部分分
12、別用正、負數(shù)來表示,記錄如下表: 與標準質(zhì)量的差值 (單位:g) 5 2 0 1 3 6 袋 數(shù) 1 4 3 4 5 3 這批樣品的平均質(zhì)量比標準質(zhì)量多還是少?多或少幾克?若每袋標準質(zhì)量為450克,則抽樣檢測的總質(zhì)量是多少? 有理數(shù)·易錯題整理 1.填空: (1)當a________時,a與-a必有一個是負數(shù); (2)在數(shù)軸上,與原點0相距5個單位長度的點所表示的數(shù)是________; (3)在數(shù)軸上,A點表示+1,與A點距離3個單位長度的點所表示的數(shù)是________; (4)在數(shù)軸的原點左側(cè)且到原點的距離等于6個單位長度的點所表示
13、的數(shù)的絕對值是________. 2.用“有”、“沒有”填空: 在有理數(shù)集合里,________最大的負數(shù),________最小的正數(shù),________絕對值最小的有理數(shù). 3.用“都是”、“都不是”、“不都是”填空: (1)所有的整數(shù)________負整數(shù); (2)小學(xué)里學(xué)過的數(shù)________正數(shù); (3)帶有“+”號的數(shù)________正數(shù); (4)有理數(shù)的絕對值________正數(shù); (5)若|a|+|b|=0,則a,b________零; (6)比負數(shù)大的數(shù)________正數(shù). 4.用“一定”、“不一定”、“一定不”填空: (1)-a________是負數(shù);
14、 (2)當a>b時,________有|a|>|b|; (3)在數(shù)軸上的任意兩點,距原點較近的點所表示的數(shù)________大于距原點較遠的點所表示的數(shù); (4)|x|+|y|________是正數(shù); (5)一個數(shù)________大于它的相反數(shù); (6)一個數(shù)________小于或等于它的絕對值; 5.把下列各數(shù)從小到大,用“<”號連接: 并用“>”連接起來. 8.填空: (1)如果-x=-(-11),那么x=________; (2)絕對值不大于4的負整數(shù)是________; (3)絕對值小于4.5而大于3的整數(shù)是________. 9.根據(jù)所給的條件列出代數(shù)
15、式: (1)a,b兩數(shù)之和除a,b兩數(shù)絕對值之和; (2)a與b的相反數(shù)的和乘以a,b兩數(shù)差的絕對值; (3)一個分數(shù)的分母是x,分子比分母的相反數(shù)大6; (4)x,y兩數(shù)和的相反數(shù)乘以x,y兩數(shù)和的絕對值. 10.代數(shù)式-|x|的意義是什么? 11.用適當?shù)姆?>、<、≥、≤)填空: (1)若a是負數(shù),則a________-a; (2)若a是負數(shù),則-a_______0; (3)如果a>0,且|a|>|b|,那么a________ b. 12.寫出絕對值不大于2的整
16、數(shù). 13.由|x|=a能推出x=±a嗎? 14.由|a|=|b|一定能得出a=b嗎? 15.絕對值小于5的偶數(shù)是幾? 16.用代數(shù)式表示:比a的相反數(shù)大11的數(shù). 17.用語言敘述代數(shù)式:-a-3. 18.算式-3+5-7+2-9如何讀? 19.把下列各式先改寫成省略括號的和的形式,再求出各式的值. (1)(-7)-(-4)-(+9)+(+2)-(-5); (2)(-5)-(+7)-(-6)+4. 20.判斷下列各題是否計算正確:如有錯誤請加
17、以改正; (2)5-|-5|=10; 21.用適當?shù)姆?>、<、≥、≤)填空: (1)若b為負數(shù),則a+b________a; (2)若a>0,b<0,則a-b________0; (3)若a為負數(shù),則3-a________3. 22.若a為有理數(shù),求a的相反數(shù)與a的絕對值的和. 23.若|a|=4,|b|=2,且|a+b|=a+b,求a-b的值. 24.列式并計算:-7與-15的絕對值的和. 25.用簡便方法計算: 26.用“都”、“不都”、“都不”填空: (1)如果ab≠0,那么a,b________為零; (2)如果ab>0,且a+b>0
18、,那么a,b________為正數(shù); (3)如果ab<0,且a+b<0,那么a,b________為負數(shù); (4)如果ab=0,且a+b=0,那么a,b________為零. 27.填空: (3)a,b為有理數(shù),則-ab是_________; (4)a,b互為相反數(shù),則(a+b)a是________. 28.填空: (1)如果四個有理數(shù)相乘,積為負數(shù),那么負因數(shù)個數(shù)是________; 29.用簡便方法計算: 30.比較4a和-4a的大?。? 31.計算下列各題: (5)-15×12÷6×5. 34.下列敘述是否正確?若不正確,改正過來. (
19、1)平方等于16的數(shù)是(±4)2; (2)(-2)3的相反數(shù)是-23; 35.計算下列各題; (1)-0.752; (2)2×32. 36.已知n為自然數(shù),用“一定”、“不一定”或“一定不”填空: (1)(-1)n+2________是負數(shù); (2)(-1)2n+1________是負數(shù); (3)(-1)n+(-1)n+1________是零. 37.下列各題中的橫線處所填寫的內(nèi)容是否正確?若有誤,改正過來. (1)有理數(shù)a的四次冪是正數(shù),那么a的奇數(shù)次冪是負數(shù); (2)有理數(shù)a與它的立方相等,那么a=1; (3)有理數(shù)a的平方與它的立
20、方相等,那么a=0; (4)若|a|=3,那么a3=9; (5)若x2=9,且x<0,那么x3=27. 38.用“一定”、“不一定”或“一定不”填空: (1)有理數(shù)的平方________是正數(shù); (2)一個負數(shù)的偶次冪________大于這個數(shù)的相反數(shù); (3)小于1的數(shù)的平方________小于原數(shù); (4)一個數(shù)的立方________小于它的平方. 39.計算下列各題: (1)(-3×2)3+3×23; (2)-24-(-2)÷4; (3)-2÷(-4)-2; 第三章 整式加減易做易錯題選 例1 下列說法正確的是( ) A
21、. 的指數(shù)是0 B. 沒有系數(shù) C. -3是一次單項式 D. -3是單項式 分析:正確答案應(yīng)選D。這道題主要是考查學(xué)生對單項式的次數(shù)和系數(shù)的理解。選A或B的同學(xué)忽略了的指數(shù)或系數(shù)1都可以省略不寫,選C的同學(xué)則沒有理解單項式的次數(shù)是指字母的指數(shù)。 例2 多項式的次數(shù)是( ) A. 15次 B. 6次 C. 5次 D. 4次 分析:易錯答A、B、D。這是由于沒有理解多項式的次數(shù)的意義造成的。正確答案應(yīng)選C。 例3 下列式子中正確的是( ) A. B. C. D.
22、 分析:易錯答C。許多同學(xué)做題時由于馬虎,看見字母相同就誤以為是同類項,輕易地就上當,學(xué)習(xí)中務(wù)必要引起重視。正確答案選B。 例4 把多項式按的降冪排列后,它的第三項為( ) A. -4 B. C. D. 分析:易錯答B(yǎng)和D。選B的同學(xué)是用加法交換律按的降冪排列時沒有連同“符號”考慮在內(nèi),選D的同學(xué)則完全沒有理解降冪排列的意義。正確答案應(yīng)選C。 例5 整式去括號應(yīng)為( ) A. B. C. D. 分析:易錯答A、D、C。原因有:(1)沒有正確理解去括號法則
23、;(2)沒有正確運用去括號的順序是從里到外,從小括號到中括號。 例6 當取( )時,多項式中不含項 A. 0 B. C. D. 分析:這道題首先要對同類項作出正確的判斷,然后進行合并。合并后不含項(即缺項)的意義是項的系數(shù)為0,從而正確求解。正確答案應(yīng)選C。 例7 若A與B都是二次多項式,則A-B:(1)一定是二次式;(2)可能是四次式;(3)可能是一次式;(4)可能是非零常數(shù);(5)不可能是零。上述結(jié)論中,不正確的有( ) A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 分析:易錯答A、
24、C、D。解這道題時,盡量從每一個結(jié)論的反面入手。如果能夠舉出反例即可說明原結(jié)論不成立,從而得以正確的求解。 例8 在的括號內(nèi)填入的代數(shù)式是( ) A. B. C. D. 分析:易錯答D。添后一個括號里的代數(shù)式時,括號前添的是“-”號,那么這兩項都要變號,正確的是A。 例9 求加上等于的多項式是多少? 錯解: 這道題解錯的原因在哪里呢? 分析:錯誤的原因在第一步,它沒有把減數(shù)()看成一個整體,而是拆開來解。 正解: 答:這
25、個多項式是 例10 化簡 錯解:原式 分析:錯誤的原因在第一步應(yīng)用乘法分配律時,這一項漏乘了-3。 正解:原式 鞏固練習(xí) 1. 下列整式中,不是同類項的是( ) A. B. 1與-2 C. 與 D. 2. 下列式子中,二次三項式是( ) A. B. C. D. 3. 下列說法正確的是( ) A. 的項是 B. 是多項式 C. 是三次多項式 D. 都是整式 4
26、. 合并同類項得( ) A. B. 0 C. D. 5. 下列運算正確的是( ) A. B. C. D. 6. 的相反數(shù)是( ) A. B. C. D. 7. 一個多項式減去等于,求這個多項式。 參考答案 1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 6. C 7. 初一數(shù)學(xué)因式分解易錯題 例1.18x3y-xy3 錯解:原式= 分析:提取公因式后,
27、括號里能分解的要繼續(xù)分解。 正解: 原式=xy(36x2-y2) =xy(6x+y)(6x-y) 例2. 3m2n(m-2n) 錯解:原式=3mn(m-2n)(m-2n) 分析:相同的公因式要寫成冪的形式。 正解:原式=3mn(m-2n)(m-2n) =3mn(m-2n)2 例3.2x+x+ 錯解:原式= 分析:系數(shù)為2的x提出公因數(shù)后,系數(shù)變?yōu)?,并非;同理,系數(shù)為1的x的系數(shù)應(yīng)變?yōu)?。 正解:原式= = 例4. 錯解:原式= = 分析:系數(shù)為1的x提出公因數(shù)后,系數(shù)變?yōu)?,并非
28、。 正解:原式= = 例5.6x+3 錯解:原式=3 分析:3表示三個相乘,故括號中與之間應(yīng)用乘號而非加號。 正解:原式=6x+ =3 =3 例6. 錯解:原式= = 分析:8并非4的平方,且完全平方公式中b的系數(shù)一定為正數(shù)。 正解:原式=-4(x+2) =(x+2) =(x+2)(x-2) 例7. 錯解:原式= = 分析:題目中兩二次單項式的底數(shù)不同,不可直接加減。 正解:原式= =
29、 =12(2m+n)(m+6n) 例8. 錯解:原式= =(a2+1)(a2-1) 分析:分解因式時應(yīng)注意是否化到最簡。 正解:原式= =(a2+1)(a2-1) =(a2+1)(a+1)(a-1) 例9. 錯解:原式=(x+y)(x+y-4) 分析:題目中兩單項式底數(shù)不同,不可直接加減。 正解:原式= = 例10. 錯解:原式= 分析:分解因式時應(yīng)注意是否化到最簡。 正解:原式= = = 因式分解錯題 例1.81(
30、a-b)2-16(a+b)2 錯解:81(a-b)2-16(a+b)2 =(a-b)2(81-16) = 65(a-b)2 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式 正解: 81(a-b)2-16(a+b)2 = [9(a-b)] 2 [4(a+b)] 2 = [9(a-b)+4(a+b)][ 9(a-b)-4(a+b)] =(9a-9b+4a+4b)(9a-9b-4a-4b) =(13a-5b)(5a-13b) 例2.x-x2 錯解: x-x2 =(x2)2-x2 =(
31、x2+x)(x2-x) 分析:括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解: x-x2 =(x2)2-x2 =(x2+x)(x2-x) =(x2+x)(x+1)(x-1) 例3.a-2a2b2+b 錯解: a-2a2b2+b =(a2)2-2×a2b2+(b2)2 =(a2+b2)2 分析:仔細看清題目,不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運用完全平方公式,括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:a-2a2b2+b =(a2)2-2×a2b2+(b2)2 =(a2+b2)2 =(a-b)2(a+b)2 例4.(a2-a
32、)2-(a-1)2 錯解:(a2-a)2-(a-1)2 =[(a2-a)+(a-1)][ (a2-a)-(a-1)] =(a2-a+a-1)(a2-a-a-1) =(a2-1)(a2-2a-1) 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式,去括號要變號,括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:(a2-a)2-(a-1)2 =[(a2-a)+(a-1)][ (a2-a)-(a-1)] =(a2-a+a-1)(a2-a-a-1) =(a2-1)(a2-2a+1) =(a+1)(a-1)3 例5.
33、 x2y3-2 x2+3xy2 錯解: x2y3-2 x2+3xy2 =xy(x2y3-x+y) 分析:多項式中系數(shù)是分數(shù)時,通常把分數(shù)提取出來,使括號內(nèi)各項的系數(shù)是整數(shù),還要注意分數(shù)的運算 正解:x2y3-2 x2+3xy2 =xy(x2y3-4x+6y) 例6. -15a2b3+6a2b2-3a2b 錯解:-15a2b3+6a2b2-3a2b =-(15a2b3-6a2b2+3a2b) =-(3a2b×5b2-3a2b×2b+3a2b×1) =-3a2b(5b2-2b) 分析:多項式首項是負的,一般要提出負號,如果提取的公因式
34、與多項式中的某項相同,那么提取后多項式中的這一項剩下“1”,結(jié)果中的“1”不能漏些 正解:-15a2b3+6a2b2-3a2b =-(15a2b3-6a2b2+3a2b) =-(3a2b×5b2-3a2b×2b+3a2b×1) =-3a2b(5b2-2b+1) 例7.m2(a-2)+m(2-a) 錯解: m2(a-2)+m(2-a) = m2(a-2)-m(a-2) = (a-2)(m2-m) 分析:當多項式中有相同的整體(多項式)時,不要把它拆開,提取公因式是把它整體提出來,有的還需要作適當變形,括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解
35、: m2(a-2)+m(2-a) = m2(a-2)-m(a-2) =(a-2)(m2-m) =m(a-2)(m-1) 例8.a2-16 錯解: a2-16 =(a+4)(a+4) 分析:要熟練的掌握平方差公式 正解:a2-16 =(a-4)(a+4) 例9.-4x2+9 錯解: -4x2+9 = -(4x2+32) 分析:加括號要變符號 正解:-4x2+9 = -[(2x)2-32] =-(2x+3)(2x-3) =(3+2x)(3-2x) 例10. (m+n)2-4
36、n2 錯解:(m+n)2-4n2 =(m+n)2×1-4×n2 =(x+y)2(1-n) 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式 正解: (m+n)2-4n2 =(m+n)2-(2n2) =[(m+n)+2n][(m+n)-2n] =[m+n+2n][m+n-2n] =(m+3n)(m-n) 因式分解錯題 例1.a2-6a+9 錯解: a2-6a+9 = a2-2×3×a+32 =(a+3)2 分析:完全平方公式括號里的符號根據(jù)2倍多項式的符號來定 正解:a2-6a+9
37、 = a2-2×3×a+32 =(a-3)2 例2. 4m2+n2-4mn 錯解:4m2+n2-4mn =(2m+n) 2 分析:要先將位置調(diào)換,才能再利用完全平方公式 正解:4m2+n2-4mn =4m2-4mn+n2 =(2m)2-2×2mn+n2 =(2m-n)2 例3.(a+2b)2-10(a+2b)+25 錯解:(a+2b)2-10(a+2b)+25 =(a+2b)2-10(a+2b)+52 = (a+2b+5)2 分析:要把a+2b看成一個整體,再運用完全平方公式 正解:(a+2b)
38、2-10(a+2b)+25 =(a+2b)2-2×5×(a+2b)+52 =(a+2b-5)2 例4.2x2-32 錯解:2x2-32 =2(x2-16) 分析:要先提取2,在運用平方差公式括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:2x2-32 =2(x -16) =2(x2+4)(x2-4) =2(x2+4)(x+2)(x-2) 例5.(x2-x)2-(x-1)2 錯解:(x2-x)2-(x-1)2 =[(x2-x)+(x-1)][ (x2-x)-(x-1)] =(x2-x+x-1)(x2-
39、x-x-1) =(x2-1)(x2-2x-1) 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式,去括號要變號,括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:(x2-x)2-(x-1)2 =[(x2-x)+(x-1)][(x2-x)-(x-1)] =(x2-x+x-1)(x2-x-x-1) =(x2-1)(x2-2x+1) =(x+1)(x-1)3 例6. -2a2b2+ab3+a3b 錯解:-2a2b2+ab3+a3b =-ab(-2ab+b2+a2) =-ab(a-b) 2 分析:先提公因式才能再
40、用完全平方公式 正解:-2a2b2+ab3+a3b =-(2a2b2-ab3-a3b) =-(ab×2ab-ab×b2-ab×a2) =-ab(2ab-b2-a2) =ab(b2+a2-2ab) =ab(a-b)2 例7.24a(a-b)2-18 (a-b)3 錯解:24a(a-b)2-18 (a-b)3 =(a-b)2[24a-18(a-b) ] =(a-b)2(24a-18a+18b) 分析:把a-b看做一個整體再繼續(xù)分解 正解: 24a(a-b)2-18 a-b) = 6(a-b)2×4a-6(a
41、-b)2×3(a-b) = 6(a-b)2[4a-3(a-b)] =6(a-b)2(4a-3a+3b) =6(a-b)2(a+3b) 例8.(x-1)(x-3)+1 錯解:(x-1)(x-3)+1 = x2+4x+3+1 = x2+4x+4 =(x+2)2 分析:無法直接分解時,可先乘開再分解 正解:(x-1)(x-3)+1 = x2-4x+3+1 = x2-4x+4 =(x-2)2 例9.2(a-b)3+8(b-a) 錯解:2(a-b)3+8(b-a) =2(b-a) 3+8(b-a)
42、 = 2(b-a) [(b-a) 2+4] 分析:要先找出公因式再進行因式分解 正解: 2(a-b)3+8(b-a) = 2(a-b)3-8(a-b) = 2(a-b)×(a-b)2-2(a-b) = 2(a-b)[(a-b)2-4] = 2(a-b)(a-b+2)(a-b-2) 例10. (x+y)2-4(x+y-1) 錯解: (x+y)2-4(x+y-1) =(x+y)2-(4x-4y+4) =(x2+2xy+y2)-(4x-4y+4) 分析:無法直接分解時,要仔細觀察,找出特點,再進行分解 正解: (x+y)
43、2-4(x+y-1) =(x+y)2-4(x+y)+4 =(x+y-2)2 因式分解錯題 例1.-8m+2m3 錯解: -8m+2m3 = -2m×4+(-2m)×(-m2) = -2m(4- m2) 分析:這道題錯在于沒有把它繼續(xù)分解完,很多同學(xué)都疏忽大意了,在完成到這一步時都認為已經(jīng)做完,便不再仔細審題了 正解: -8m+2m3 = -2m×4+(-2m)×(-m2) = -2m(4- m2) = -2m(2+ m)(2- m) 例2.-x2y+4xy-5y 錯解: -x2y+4x
44、y-5y = y×(-x2)+4x×y-5x×y = y(-x2+4x-5) 分析:括號里的負號需要提到外面,這道題就因為一開始的提取公因式混亂,才會有后面的y(-x2+4x-5)沒有提負號。 正解: -x2y+4xy-5y = -y×x2+(-4x)×(-y)-(-5x)×(-y) = -y(x2-4x+5) 例3.m2(a-3)+m(3-a) 錯解: m2(a-3)+m(3-a) = m2(a-3)- m(a-3) =(m2- m)(a-3) 分析:括號里還能提取公因式的要全部提取出來 正解:m2(a-3)
45、+m(3-a) = m2(a-3)- m(a-3) =(m2- m)(a-3) = m(m-1)(a-3) 例4. 5ax+5bx+3ay+3by 錯解:= 5(ax+bx)+3(ay+by) 分析:系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕松解出。 正解: 5ax+5bx+3ay+3by = 5x(a+b)+3y(a+b) = (5x+3y)(a+b) 例5. –xy3+x3y 錯解: –xy3+x3y =–xy×y2+(﹣xy)×(﹣x2)
46、 =–xy(y2-x2) 分析:括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:–xy3+x3y =–xy×y2+(﹣xy)×(﹣x2) =–xy(y2-x2) =–xy(x-y)(x+y) 例6.(x+y)2-4(x-y)2 錯解:(x+y)2-4(x-y)2 =(x+y)2×1-4×(x-y)2 =(x+y)2(1-4) =-3(x+y)2 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式 正解: (x+y)2-4(x-y)2 =(x+y)2-[2(x-y)2] =[(x+y)+2(
47、x-y)][(x+y)-2(x-y)] =[x+y+2x-2y][x+y-2x+2y] =(3x-y)(3y-x) 例7.x2(a-1)+4(1-a) 錯解: x2(a-1)+4(1-a) = x2(a-1)-4(a-1) = (a-1)(x2-4) 分析:括號里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解 正解:x2(a-1)+4(1-a) = x2(a-1)-4(a-1) =(a-1)(x2-4) =(a-1)(x-4)(x+4) 例8.4(x+1)2-9 錯解: 4(x+1)2-9 = 4(x+1)
48、2-8-1 =4×(x+1)2-4×2-4× =4[(x+1)2-2-] =4(x2+2x-) 分析:做題前仔細分析題目,看有沒有公式,此題運用平方差公式 正解: 4(x+1)2-9 = [2(x+1)]2-32 = [2(x+1)+3][ 2(x+1)-3] = [2x+2+3][2x+2-3] =(2x+5)(2x-1) 例9.x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 錯解: x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 = x(x2-y2)-x(x+y)2 = x(x2-y2-x2
49、-2xy-y2) = x(-2y2-2xy) = -x(2y2+2xy) 分析:提取公因式錯誤,要仔細看題,準確找出公因式 正解: x(x+y)(x-y)-x(x+y)2 = x(x+y)(x-y)-x(x+y)(x+y) = x(x+y)[(x-y)-(x+y)] = -2xy(x+y) 例10.(x2-2)2-14(x2-2)2+49 錯解:(x2-2)2-14(x2-2)2+49 =(x2-2)2-2×7(x2-2)2+72 =(x2+5)2 分析:仔細看清題目,不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運用完全平方公式
50、 正解:(x2-2)2-14(x2-2)2+49 =(x2-2)2-2×7(x2-2)2+72 =(x2-9)2 =(x-3)2(x+3)2 第五章《一元一次方程》 查漏補缺題 供題:寧波七中 楊慧 一、 解方程和方程的解的易錯題 一元一次方程的解法: 重點:等式的性質(zhì),同類項的概念及正確合并同類項,各種情形的一元一次方程的解法; 難點:準確運用等式的性質(zhì)進行方程同解變形(即進行移項,去分母,去括號,系數(shù)化一等步驟的符號問題,
51、遺漏問題); 學(xué)習(xí)要點評述:對初學(xué)的同學(xué)來講,解一元一次方程的方法很容易掌握,但此處有點類似于前面的有理數(shù)混合運算,每個題都感覺會做,但就是不能保證全對。從而在學(xué)習(xí)時一方面要反復(fù)關(guān)注方程變形的法則依據(jù),用法則指導(dǎo)變形步驟,另一方面還需不斷關(guān)注易錯點和追求計算過程的簡捷。 易錯范例分析: 例1. (1)下列結(jié)論中正確的是( ) A.在等式3a-6=3b+5的兩邊都除以3,可得等式a-2=b+5 B.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x-3,可以得等式6x-3=4x+6 C.在等式-5=0.1x的兩邊都除以0.1,可以得等式x=0.5 D.如果-2=x,那么x=-2 (2)解方程20-3x
52、=5,移項后正確的是( ) A.-3x=5+20 B.20-5=3x C.3x=5-20 D.-3x=-5-20 (3)解方程-x=-30,系數(shù)化為1正確的是( ) A.-x=30 B.x=-30 C.x=30 D. (4)解方程 ,下列變形較簡便的是( ) A.方程兩邊都乘以20,得4(5x-120)=140 B.方程兩邊都除以 ,得 C.去括號,得x-24=7 D.方程整理,得 解析: (1) 正確選項D。方程同解變形的理論依據(jù)一為數(shù)的運算法則,運算性質(zhì);一為等式性質(zhì)(1)、(2)、(3
53、),通常都用后者,性質(zhì)中的關(guān)鍵詞是“兩邊都”和“同一個”,即對等式變形必須兩邊同時進行加或減或乘或除以,不可漏掉一邊、一項,并且加減乘或除以的數(shù)或式完全相同。選項A錯誤,原因是沒有將“等號”右邊的每一項都除以3;選項B錯誤,原因是左邊減去x-3時,應(yīng)寫作“-(x-3)”而不“-x-3”,這里有一個去括號的問題;C亦錯誤,原因是思維跳躍短路,一邊記著是除以而到另一邊變?yōu)槌艘粤耍瑢σ话阆筮@樣小數(shù)的除法可以運用有理數(shù)運算法則變成乘以其倒數(shù)較為簡捷,選項D正確,這恰好是等式性質(zhì)③對稱性即a=bb=a。 (2) 正確選項B。解方程的“移項”步驟其實質(zhì)就是在“等式的兩邊同加或減同一個數(shù)或式”性質(zhì)①,運用
54、該性質(zhì)且化簡后恰相當于將等式一邊的一項變號后移到另一邊,簡單概括就成了“移項”步驟,此外最易錯的就是“變號”的問題,如此題選項A、C、D均出錯在此處。解決這類易錯點的辦法是:或記牢移項過程中的符號法則,操作此步驟時就予以關(guān)注;或明析其原理,移項就是兩邊同加或減該項的相反數(shù),使該項原所在的這邊不再含該項----即代數(shù)和為0。 (3)正確選項C。選項B、D錯誤的原因雖為計算出錯,但細究原因都是在變形時,法則等式性質(zhì)指導(dǎo)變形意識淡,造成思維短路所致。 (4)等式性質(zhì)及方程同解變形的法則雖精煉,但也很宏觀,具體到每一個題還需視題目的具體特點靈活運用,解一道題目我們不光追求解出,還應(yīng)有些簡捷意識,如
55、此處的選項A、B、D所提供方法雖然都是可行方法,但與選項C相比,都顯得繁。 例2. (1)若式子 3nxm+2y4和 -mx5yn-1能夠合并成一項,試求m+n的值。 (2)下列合并錯誤的個數(shù)是( ) ①5x6+8x6=13x12②3a+2b=5ab③8y2-3y2=5④6anb2n-6a2nbn=0 (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 解析: (1)3nxm+2y4和-mx5yn-1能夠合并,則說明它們是同類項,即所含字母相同,且相同字母的指數(shù)也相同。此題兩式均各含三個字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分別看成2個字母,則此題顯然
56、與概念題設(shè)不合,故應(yīng)該把m、n看作是可由已知條件求出的常數(shù),從而該歸并為單項式的系數(shù),再從同類項的概念出發(fā),有: 解得m=3 ,n=5從而m+n=8 評述:運用概念定義解決問題是數(shù)學(xué)中常用的方法之一,本題就是準確地理解了“同類項”、“合并”的概念,認真進行了邏輯判斷;確定了m、n為可確定值的系數(shù)。 (2)“合并”只能在同類項之間進行,且只對同類項間的系數(shù)進行加減運算化簡,這里的實質(zhì)是逆用乘法對加法的分配律,所以4個合并運算,全部錯誤,其中②、④就不是同類項,不可合并,①、②分別應(yīng)為:5x6+8x6=13x6 8y2-3y2=5y2 例3.解下列方程 (1)8-9x=9-8x (2)
57、(3) (4) 解: (1)8-9x=9-8x -9x+8x=9-8 -x=1 x=1 易錯點關(guān)注:移項時忘了變號; (2) 法一: 4(2x-1)-3(5x+1)=24 8x-4-15x-3=24 -7x=31 易錯點關(guān)注:兩邊同乘兼約分去括號,有同學(xué)跳步急趕忘了, 4(2x-1)化為8x-1,分配需逐項分配, -3(5x+1)化為-15x+3忘了去括號變號; 法二:(就用分數(shù)算) 此處易錯點是第一步拆分式時將 ,忽略此處有一個括號前面是負號,去掉括號要變號的問題,即 ; (3) 6x-3(3-2x)=6-(x+2) 6x-9+6
58、x=6-x-2 12x+x=4+9 13x=13 x=1易錯點關(guān)注:兩邊同乘,每項均乘到,去括號注意變號; (4) 2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x) 8x-3-25x+4=12-10x -7x=11 評述:此題首先需面對分母中的小數(shù),有同學(xué)會忘了小數(shù)運算的細則,不能發(fā)現(xiàn) ,而是兩邊同乘以0.5×0.2進行去分母變形,更有思維跳躍的同學(xué)認為0.5×0.2=1,兩邊同乘以1,將方程變形為:0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x) 概述:無論什么樣的一元一次方程,其解題步驟概括無非就是“移項,合并,未知數(shù)系數(shù)化1”這幾個步驟,從操作
59、步驟上來講很容易掌握,但由于進行每個步驟時都有些需注意的細節(jié),許多都是我們認識問題的思維瑕點,需反復(fù)關(guān)注,并落實理解記憶才能保證解方程問題――做的正確率。若仍不夠自信,還可以用檢驗步驟予以輔助,理解方程“解”的概念。 例4.下列方程后面括號內(nèi)的數(shù),都是該方程的解的是( ) A.4x-1=9 B. C.x2+2=3x (-1,2) D.(x-2)(x+5)=0 (2,-5) 分析:依據(jù)方程解的概念,解就是代入方程能使等式成立的值,分別將括號內(nèi)的數(shù)代入方程兩邊,求方程兩邊代數(shù)式的值,只有選項D中的方程式成立,故選D。 評述:依據(jù)方程解的概念
60、,解完方程后,若能有將解代入方程檢驗的習(xí)慣將有助于促使發(fā)現(xiàn)易錯點,提高解題的正確率。 例5.根據(jù)以下兩個方程解的情況討論關(guān)于x的方程ax=b(其中a、b為常數(shù))解的情況。 (1)3x+1=3(x-1) (2) 解: (1)3x+1=3(x-1) 3x-3x=-3-1 0·x=-4 顯然,無論x取何值,均不能使等式成立,所以方程3x+1=3(x-1)無解。 (2) 0·x=0 顯然,無論x取何值,均可使方程成立,所以該方程的解為任意數(shù)。 由(1)(2)可歸納: 對于方程ax=b 當a≠0時,它的解是 ; 當a=0時,又分兩種情況: ①當b=0時,方程有無數(shù)個解,任意
61、數(shù)均為方程的解; ②當b≠0時,方程無解。 二、從實際問題到方程 (一)本課重點,請你理一理 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: (1)“找”:看清題意,分析題中及其關(guān)系,找出用來列方程的____________; (2)“設(shè)”:用字母(例如x)表示問題的_______; (3)“列”:用字母的代數(shù)式表示相關(guān)的量,根據(jù)__________列出方程; (4)“解”:解方程; (5)“驗”:檢查求得的值是否正確和符合實際情形,并寫出答 (6)“答”:答出題目中所問的問題。 (二)易錯題,請你想一想 1.建筑工人澆水泥柱時,要把鋼筋折彎成正方形.若每個正方形的面積為400平方厘
62、米,應(yīng)選擇下列表中的哪種型號的鋼筋? 型號 A B C D 長度(cm) 90 70 82 95 思路點撥:解出方程有兩個值,必須進行檢查求得的值是否正確和符合實際情形,因為鋼筋的長為正數(shù),所以取x=80,故應(yīng)選折C型鋼筋. 2.你在作業(yè)中有錯誤嗎?請記錄下來,并分析錯誤原因. 三、行程問題 (一)本課重點,請你理一理 1.基本關(guān)系式:_________________ __________________ ; 2.基本類型: 相遇問題; 相距問題; ____________ ; 3.基本分析方
63、法:畫示意圖分析題意,分清速度及時間,找等量關(guān)系(路程分成幾部分). 4.航行問題的數(shù)量關(guān)系: (1)順流(風(fēng))航行的路程=逆流(風(fēng))航行的路程 (2)順水(風(fēng))速度=_________________________ 逆水(風(fēng))速度=_________________________ (二)易錯題,請你想一想 1.甲、乙兩人都以不變速度在400米的環(huán)形跑道上跑步,兩人在同一地方同時出發(fā)同向而行,甲的速度為100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍,問(1)經(jīng)過多少時間后兩人首次遇(2)第二次相遇呢? 思路點撥:此題是關(guān)于行程問題中的同向而行類型。由題可知,甲、
64、乙首次相遇時,乙走的路程比甲多一圈;第二次相遇他們之間的路程差為兩圈的路程。所以經(jīng)過8分鐘首次相遇,經(jīng)過16分鐘第二次相遇。 2.你在作業(yè)中有錯誤嗎?請記錄下來,并分析錯誤原因. 四、調(diào)配問題 (一)本課重點,請你理一理 初步學(xué)會列方程解調(diào)配問題各類型的應(yīng)用題;分析總量等于_________一類應(yīng)用題的基本方法和關(guān)鍵所在. (二)易錯題,請你想一想 1.. 為鼓勵節(jié)約用水,某地按以下規(guī)定收取每月的水費:如果每月每戶用水不超過20噸,那么每噸水按1.2元收費;如果每月每戶用水超過20噸,那么超過的部分按每噸2元收費。若某用戶五月份的水費為平均每噸1.5元,問,該用戶五月份應(yīng)
65、交水費多少元? 2.. 甲種糖果的單價是每千克20元,乙種糖果的單價是每千克15元,若要配制200千克單價為每千克18元的混合糖果,并使之和分別銷售兩種糖果的總收入保持不變,問需甲、乙兩種糖果各多少千克? 五、工程問題 (一)本課重點,請你理一理 工程問題中的基本關(guān)系式: 工作總量=工作效率×工作時間 各部分工作量之和 = 工作總量 (二)易錯題,請你想一想 1.一項工程,甲單獨做要10天完成,乙單獨做要15天完成,甲單獨做5天,然后甲、乙合作完成,共得到1000元,如果按照每人完成工作量計算報酬,那么甲、乙兩人該如何分配? 思路點撥:此題注意的問題是報酬分配
66、的根據(jù)是他們各自的工作量。所以甲、乙兩人各得到800元、200元. 2.你在作業(yè)中有錯誤嗎?請記錄下來,并分析錯誤原因. 六、儲蓄問題 (一)本課重點,請你理一理 1.本金、利率、利息、本息這四者之間的關(guān)系: (1)利息=本金×利率 (2)本息=本金+利息 (3)稅后利息=利息-利息×利息稅率 2.通過經(jīng)歷“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的過程,理解和體會數(shù)學(xué)建模思想在解決實際問題中的作用. (二)易錯題,請你想一想 1.一種商品的買入單價為1500元,如果出售一件商品獲得的毛利潤是賣出單價的15%,那么這種商品出售單價應(yīng)定為多少元?(精確到1元) 思路點撥:由“利潤=出售價-買入價”可知這種商品出售單價應(yīng)定為2000元. 2.你在作業(yè)中有錯誤嗎?請記錄下來,并分析錯誤原因。 專心---專注---專業(yè)
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