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初二數(shù)學(xué)面積法幾何專題

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初二數(shù)學(xué)面積法幾何專題

初二數(shù)學(xué)---面積法解題 【本講教育信息】 【講解內(nèi)容】——怎樣證明面積問(wèn)題以及用面積法解幾何問(wèn)題 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 使學(xué)生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。 2. 培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 【 重點(diǎn)、難點(diǎn)】: 重點(diǎn):證明面積問(wèn)題的理論依據(jù)和方法技巧。 難點(diǎn):靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)證明面積問(wèn)題。 【教學(xué)過(guò)程】 (一)證明面積問(wèn)題常用的理論依據(jù) 1. 三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。 3. 平行四邊形的對(duì)角線把其分成兩個(gè)面積相等的部分。 4. 同底(等底)的兩個(gè)三角形面積的比等于高的比。 同高(或等高)的兩個(gè)三角形面積的比等于底的比。 5. 三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。 8. 有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。 (二)證明面積問(wèn)題常用的證題思路和方法 1. 分解法:通常把一個(gè)復(fù)雜的圖形,分解成幾個(gè)三角形。 2. 作平行線法:通過(guò)平行線找出同高(或等高)的三角形。 3. 利用有關(guān)性質(zhì)法:比如利用中點(diǎn)、中位線等的性質(zhì)。 4. 還可以利用面積解決其它問(wèn)題。 【典型例題】 (一)怎樣證明面積問(wèn)題 1. 分解法 例1. 從△ABC的各頂點(diǎn)作三條平行線AD、BE、CF,各與對(duì)邊或延長(zhǎng)線交于D、E、F,求證:△DEF的面積=2△ABC的面積。 分析:從圖形上觀察,△DEF可分為三部分,其中①是△ADE,它與△ADB同底等 ③三是△AEF,只要再證出它與△ABC的面積相等即可 由S△CFE=S△CFB 故可得出S△AEF=S△ABC 證明:∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB=S△ADE 同理可證:S△ADC=S△ADF ∴S△ABC=S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF=S△CBF ∴S△ABC=S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF=2S△ABC ∴S△DEF=2S△ABC 2. 作平行線法 例2. 已知:在梯形ABCD中,DC//AB,M為腰BC上的中點(diǎn) 分析:由M為腰BC的中點(diǎn)可想到過(guò)M作底的平行線MN,則MN為其中位線,再利用平行線間的距離相等,設(shè)梯形的高為h 證明:過(guò)M作MN//AB ∵M(jìn)為腰BC的中點(diǎn) ∴MN是梯形的中位線 設(shè)梯形的高為h (二)用面積法解幾何問(wèn)題 有些幾何問(wèn)題,往往可以用面積法來(lái)解決,用面積法解幾何問(wèn)題常用到下列性質(zhì): 性質(zhì)1:等底等高的三角形面積相等 性質(zhì)2:同底等高的三角形面積相等 性質(zhì)3:三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半 性質(zhì)4:等高的兩個(gè)三角形的面積比等于底之比 性質(zhì)5:等底的兩個(gè)三角形的面積比等于高之比 1. 證線段之積相等 例3. 設(shè)AD、BE和CF是△ABC的三條高,求證:AD·BC=BE·AC=CF·AB 分析:從結(jié)論可看出,AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高,故可聯(lián)想到可用面積法。 證明:∵AD、BE、CF是△ABC的三條高 2. 證等積問(wèn)題 例4. 過(guò)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A引直線,和BC、DC或其延長(zhǎng)線分別交于E、F,求證:S△ABF=S△ADE 分析:因?yàn)锳B//DF,所以△ABF與△ABC是同底AB和等高的兩個(gè)三角形,所以這兩個(gè)三角形的面積相等。 證明:連結(jié)AC ∵CF//AB 又∵CE//AD 3. 證線段之和 例5. 已知△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任一點(diǎn),PE⊥AB,PF⊥AC,BH⊥AC,求證:PE+PF=BH 分析:已知有垂線,就可看作三角形的高,連結(jié)AP,則 故PE+PF=BH 證明:連結(jié)AP,則 ∵AB=AC,PE⊥AB,PF⊥AC 又∵BH⊥AC ∴PE+PF=BH 4. 證角平分線 例6. 在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)F、E,使AE=CF,連AE、CF交于P,求證:BP平分∠APC。 分析:要證BP平分∠APC,我們可以考慮,只要能證出B點(diǎn)到PA、PC的距離相等即可,也就是△ABE和△BFC的高相等即可,又由已知AE=FC可聯(lián)想到三角形的面積,因此只要證出S△ABE=S△BCF即可 由平行四邊形ABCD可得S△ABE=S△ABC,S△BFC=S△ABC 所以S△ABE=S△BFC,因此問(wèn)題便得解。 證明:連結(jié)AC、BE、BF ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴S△ABE=S△ABC S△BFC=S△ABC ∴S△ABE=S△BFC 又∵AE=CF 而△ABE和△BFC的底分別是AE、CF ∴△ABE和△BFC的高也相等 即B到PA、PC的距離相等 ∴B點(diǎn)在∠APC的平分線上 ∴PB平分∠APC 【模擬試題】(答題時(shí)間:25分鐘) 1. 在平行四邊形ABCD中,E、F點(diǎn)分別為BC、CD的中點(diǎn),連結(jié)AF、AE,求證:S△ABE=S△ADF 2. 在梯形ABCD中,DC//AB,M為腰BC上的中點(diǎn),求證: 3. Rt△ABC中,∠ACB=90°,a、b為兩直角邊,斜邊AB上的高為h,求證: 4. 已知:E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn),G、H為邊DC的三等分點(diǎn),求證: 5. 在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E在AC上,且,CD和BE交于G,求△ABC和四邊形ADGE的面積比。 【試題答案】 1. 證明:連結(jié)AC,則 又∵E、F分別為BC、CD的中點(diǎn) 2. 證明:過(guò)M作MN//DC//AB ∵M(jìn)為腰BC上的中點(diǎn) ∴△DCM和△ABM的高相等,設(shè)為h1 又∵△DMN與△AMN的高也為h1 ∵M(jìn)N為梯形的中位線 ∴ 3. 證明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB ∴兩邊同時(shí)除以得: 4. 證明:連結(jié)FD、FG、FC 則由已知可得 ① 作DM//AB,設(shè)它們之間的距離為h,G到DM的距離為a,則由已知可得H、C到DM的距離分別為2a、3a 即 ② ①+②得: 5. 證明:作DF//AC交BE于F 可得△DFG≌△CEG 而 ∴△ABC和四邊形ADGE的面積比是12:5

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